利用空間向量尋找直棱柱中過某線段且垂直于已知平面的平面

官欣

摘 要：在直棱柱中找過某一線段且滿足其他條件的平面的問題，由于此類考題思維的逆向性，加之需要較強的空間想象力，是立體幾何考查中的一個難點。解決此類問題往往依據(jù)的是對直棱柱性質(zhì)的熟練程度和解題經(jīng)驗。本文通過具體例子，利用空間向量，找到了一種解決此類問題的通法。

關(guān)鍵詞：直棱柱；空間向量；找平面

在2016年10月舉行的昆明市2017屆高三摸底調(diào)研測試理科數(shù)學試卷的第15題，難倒了不少學生，甚至不少老師也覺得比較棘手。

第15題題目如下：

如圖1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，過直線B1D1的平面α⊥平面A1BD，則平面α截該正方體所得截面的面積為 。

圖1

基本思路：在正方體內(nèi)找一條線，使之與平面A1BD垂直，同時，這條直線和直線B1D1相交（或在直線B1D1上找一個點，過此點作直線，使得該直線與平面A1BD垂直）。很多學生會習慣性地找到正方形A1ABB1的對角線AB1，線段AB1雖然與A1B垂直，但不與平面A1BD內(nèi)的其他線段垂直，同理AD1也不是滿足條件的線段（如圖2）。

圖2

到這里思路就斷了。對正方體性質(zhì)熟悉的老師和學生都知道，其實對角線AC1是垂直于平面A1BD的，只需要在線段B1D1上找一點，過此點作AC1的平行線，那么，垂直于平面A1BD的平面α就找到了，再作出平面α與正方體的交線就可以得到所求的截面。

由以上的敘述可以看出，如果不知道正方體對角線AC1垂直于平面A1BD這一性質(zhì)，想用幾何法找出這個截面難度是比較大的。

不如換一種思路，由正方體想到建立空間直角坐標系，利用空間向量的特性來嘗試解決。

基本原理如下：平面A1BD的法向量所在的直線垂直于平面A1BD，由向量的性質(zhì)可知：要找到過B1D1垂直于平面A1BD的平面，只需找到平面A1BD的法向量n，作出n所在的直線，然后在線段B1D1上找一點，過此點作出n所在的直線的平行線，平面α就找到了，再作出平面α與正方體的交線就可以得到所求的截面，進而求出該截面的面積。

解析如下：

如圖建立空間直角坐標系，由正方體棱長為2，有：

A1（2，0，2），B（2，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2）， A1B=（0，2，-2），DB=（2，2，0）

設(shè)n=（x，y，z）為平面A1BD的法向量，則

A1B·n=0DB·n=0，整理得y-z=0x+y=0，令 z=1，得n=（-1，1，1）。

因為AC1=（-2，2，2），所以AC1與n為共線向量，即AC1為平面A1BD的一個法向量，故只需在線段D1B1上找一點，并過此點作AC1的平行線即可作出所求平面，該平面與正方體的交線組成的平面即為滿足題意的截面α，然后求出平面α的面積即可。

為方便解題，利用三角形中位線定理，連接A1C1，AC1，且A1C1，D1B1交于點M，作MN平行AC1，連接NB1，ND1，則平面NB1D1就是所求截面，且N為AA1中點（如圖3）。

圖3

計算得三角形NB1D1的面積為6，所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，過直線B1D1的平面α⊥平面A1BD，則平面α截該正方體所得截面的面積為6。

到這里，題目得到了解答，但是思考并沒有結(jié)束：長期以來，我們在對空間向量的教與學中，強化的是利用空間向量來證明空間中的線和面，面和面的平行、垂直關(guān)系，用于計算點到面的距離，直線和平面所成的角，計算二面角的大小等，這道題提示了我們關(guān)于空間向量的一個新的用法：可以用來找經(jīng)過某一已知直線與另一平面垂直的平面。不僅僅對于正方體可用，還可以推廣到長方體，直棱柱。

結(jié)論：1. 若正方體棱長為a，若經(jīng)過直線B1D1的平面α⊥平面A1BD，則平面α截該正方體所得截面的面積為64a2；

2. 底面邊長為a，側(cè)棱長為b的直四棱柱，若經(jīng)過直線B1D1的平面α⊥平面A1BD，則平面α與該四棱柱側(cè)棱AA1的交點在A1點距A點ab個單位處。

3. 若直四棱柱的底面為矩形，平行四邊形，菱形，則用通法利用作與已知平面的法向量共線的向量的方法來找到與已知平面垂直的平面。endprint