馬爾可夫鏈模型在教學定量評價中的應用

馮年發

摘 要： 本文對馬爾可夫鏈模型的基本原理進行了分析，建立了數學模型，提供算法步驟，并通過實例數據分析，闡明了這種模型的應用可以剔除學生生源參差不齊，同一班級內、同一年級不同專業間生源綜合基礎差別很大等客觀因素對教師教學評價的影響，從而客觀公正地評價教師的教學質量；同時模型分析過程中得到的數據，可以使教師有的放矢地采取各種措施因材施教。

關鍵詞：馬爾可夫鏈模型；基本原理；算法步驟；教學評價

一、 問題的提出

教師的教學行為既有量的問題，也有質的問題，因此，對教師教學水平的評價必須遵循定量與定性相結合的原則。目前，在教師教學目標定量評價過程中，學校往往通過教師所帶班級的學生某次成績的平均分和及格率來評價教師教學水平。這是一種最常用、最直接的教師評價方式，但是這種評價方式是片面的、不準確的、靜態的，缺乏針對性和診斷性，不助于任課教師的自我評估及預測學生變化趨勢，從而采取相應措施，因材施教，努力提高課程教學工作的質量和效果。因為教學質量評價是一個復雜的動態系統工程，既要關注學生學習的結果，又要關注他們在學習過程中的發展，同時還要考慮技工院校學生生源參差不齊，同一班級內、同一年級不同專業間生源綜合基礎差別很大等客觀因素的影響。因此，為了能在教師教學目標定量評價過程中客觀公正地評價老師的教學效果，本文將馬爾可夫鏈模型引入到教師的教學評價中。

二、 馬爾可夫鏈模型的基本原理及算法步驟

（一） 基本原理

馬爾可夫鏈，因安德烈·馬爾可夫得名，是數學中具有馬爾可夫性質的離散時間隨機過程。該過程中，在給定當前知識或信息的情況下，過去（即當期以前的歷史狀態）對于預測將來（即當期以后的未來狀態）是無關的。于是，在理論研究上我們可運用馬爾可夫過程的極限分布作為教學效果的量化指標，從而也解決了因學生基礎存在差異而無法以學生的成績去有效的評估教學質量的難題，并能預測今后整體的學習情況。因此馬爾可夫鏈模型教學評價法是一種以概率論和隨機過程理論為基礎，建立隨機數學模型分析現實活動變化發展過程中數量關系的一種定量分析方法。

在運用這種模型時，馬爾可夫過程轉移概率矩陣在教學評估中的意義是至關緊要的。我們可以從轉移概率矩陣中分析到學生各層次之間的變化狀況。學生考試成績的變化反映了學生內在心理狀態、外部社會影響、教師授課方式等綜合的變化。因此，轉移概率矩陣是教學質量、教學條件、學生內在心理狀態、外部社會影響等因素的集中反映。于是，我們把轉移概率矩陣轉換變為進步矩陣，引入進步度的概念，把進步度作為評價教學效果的一個參數，結合馬爾可夫鏈分析的過程中得到的教學效果的各類數據，教師就能對教學實踐作出自我檢測，從而有針對性地采取多種措施，探索教學規律，改進教學方法，做到因材施教。

（二） 建立馬爾可夫評估模型的算法步驟

基于以上分析，馬爾可夫鏈模型在教學評價中的方法首先按照一定的方法將學生成績分級，這樣就可以確定統一的狀態空間，然后由相關等級變化來確定一步轉移矩陣，利用馬爾可夫鏈的平穩性和遍歷性求出極限向量，同時由一步轉移矩陣構造進步度矩陣，計算進步度，最后利用極限向量值和進步度進行比較判斷。具體步驟如下：

1. 將某班學生的某次成績按高低分劃分為m個等級，然后計算出各等級的學生人數占總人數之比并作為狀態向量，比如用C0表示：C0=n1n，n2n，…，nmn，其中n1、n2…nm為各等級的學生人數，n為學生總人數。

2. 列出前后兩次學生成績的轉移情況表，以表示由第一次學生成績等級向第二次成績等級的轉移。

8. 比較評價。

三、 實例分析

（一） 下面舉例說明該方法的使用。選取我校某一門課程的不同教學班級的兩位教師，在同等條件下，列出了他們的學生前后兩次考試成績及對應的狀態轉移情況表和狀態轉移統計表。其學生成績為百分制，將成績分為5個等級，Ⅰ（90分以上）、Ⅱ（80～90分）、Ⅲ（70～79分）、Ⅳ（60～69分）、Ⅴ（59分以下）。在表中的最后一列的有序數對ij表示第一次成績從第i等級轉移到了第二次成績的第j等級。

上表表示學生從第一次考試到第二次考試成績狀態發生轉移的人數。如原來甲班獲得Ⅰ等成績12名學生中繼續保持Ⅰ等的有2人，下降為Ⅱ等的有7人，下降為Ⅲ等的3人。

（二） 根據兩班學生成績的轉移情況，得到兩班評估的轉移矩陣：

（七） 比較評價

1. 根據所求得兩個班的極限向量，按最大概率原則，可以預測，甲班的教學質量將達到第“3”等級，而乙班的教學質量將達到第“2”等級；通過從轉移矩陣得到的進步度來看，一班的整體成績是退步的，二班則是上升的，但無論上升還是下降不會無限進行下去，最終二班成績將穩定在81.62左右，一班將在71.67上下變化。

2. 從實例來看，一班考試的平均分為82.29，二班為80.33，似乎一班教師應該受到表揚，但從以上的分析來看，這是不合理的，主要原因是平均分不能排除兩班的學生基礎不同，所以不能準確反映出兩教師的實際教學水平。

參考文獻：

[1] 周艷榕.淺析馬爾可夫模型在教學評價中的應用[J].東方企業文化，2014（09）.endprint