淺談輔助函數在初等數學解題中的應用

辛小剛

摘 要：通過構造輔助函數對初等數學中出現的分解因式、證明整除性問題、確定參數的取值范圍以及解方程與方程解的個數討論等四類一般問題給予巧妙解答或證明。

關鍵詞：輔助問題；輔助函數；解題

在解決數學問題的過程中，人們往往會碰到各種各樣的障礙，不能簡潔地給出答案。數學教育家G.波利亞指出：“人的高明之處就在于當他碰到一個不能直接克服的障礙時，他就會繞過去；當原來的問題看起來似乎不好解時，就想出一個合適的輔助問題”。構造輔助的問題，并不是只是為了它本身，而是要通過輔助問題來幫助我們解決原來的問題，這才是我們要達到的目的，而輔助問題就只是我們用來達到目的的手段，是將原來的問題轉化的橋梁。

輔助函數是數學解題中構造的輔助問題中的一種，它是在數學問題提供的信息的基礎上構造的函數，然后再利用這個函數的特性來進行求解。構造輔助函數，就是把原來的數學問題轉化成容易解決的輔助函數問題，其解題過程是：

數學問題M輔助問題G解決F解決M

全面把握數學問題所提供的信息：即問題本身的特點、背景、需要以及與其他問題之間的聯系，運用基本的數學思想，通過認真地觀察，深入地思考，然后構造出輔助函數，這是解題的關鍵。這個構造過程是一個從特殊到一般的過程。反過來，運用輔助函數返回去解決原來的數學問題又是一個從一般到特殊的過程。

利用輔助問題解決數學問題，也表明不少數學問題從一般化入手更容易得到解決。“一般”比“特殊”更為深刻地反映著事物的本質，啟發我們從普通的聯系中去發現規律和解題的途徑。

在初等數學問題中，有不少問題是用構造輔助函數的方法求解的，我們通過對一些典型命題在證明中構造的輔助函數，討論構造輔助函數的一些技巧。

一、 分解因式

【例5】和【例6】把題目中已知的條件或者要證結論重新組合成一種新的關系，即構造輔助函數，然后借助函數圖象的直觀性以及相關性，將抽象或隱含的條件清晰化，從而化難為易，解決問題。

構造輔助函數可沿以下兩條思路去思考：一是如果考查的問題有明顯的幾何意義，那可憑借幾何直觀引出必然聯系來構造函數；二是通過恒等變形，將原問題轉化成等價的更加簡潔的形式，從中找出必然聯系，構造輔助函數，這種“執果索因”的方法比之前的方法更為廣泛適用。

由于函數的內涵極為豐富，蘊含著許多數學思想，因而用輔助函數將問題轉為函數問題，借助函數思想方法來解決這些問題有很大的應用空間，通過引進輔助函數還可以解決其他大量相關的數學問題。輔助函數解題法是解題的一個常用且十分有效的方法，只要我們用心分析各類數學問題與函數的直接或間接聯系，大膽聯想、猜測、推理，然后利用轉化運動的觀點，就可構造出合適的輔助函數，創造出巧妙簡捷的解題方法。

參考文獻：

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