“集合分類與等價關系”新講＊

趙 靜，陳向陽

（廣西民族大學 理學院，廣西 南寧530006）

近世代數（又名抽象代數）是現代科學各個分支的基礎，而且隨著科學技術的不斷進步，近世代數的思想、理論與方法的應用日臻廣泛.“集合分類與等價關系”是近世代數課程的一個非常重要的知識點，對學好這門課程有很大的影響.對集合進行分類是研究集合自身性質的一種方法，通過“分類”把“大集合”變成相對“較小的集合”，從而有利于研究；此外，通過定義等價關系對集合進行分類也是構造新的代數對象的一種有效方法，比如構造商群、商環、域等等，我們最熟悉的有限域Zp（p為素數）和有理數域都是通過這種方法構造出來的.如果學生對這部分內容把握不到位的話，會嚴重影響后續課程的學習.

1 當前教材及內容講授狀況

目前，大多數教材把“集合分類與等價關系”這一部分內容作為預備知識單獨一節放在“群”的講述之前.近世代數課程本身就很抽象，學生在學習這部分內容的時候，由于“商群、商環”等概念還沒有學，缺乏必要的實例，必定會覺得生澀難懂.即使在后面學習了“商”的概念之后，教師再加以鞏固，由于間隔時間太長，又要重新補習，浪費很多寶貴的時間.

筆者自工作以來，不僅講授本科生的近世代數、高等代數等課程，也講授研究生的代數學.代數學是近世代數課程的延續和發展，也是數學專業研究生的必修基礎課程.在給研究生講述代數學的過程中，筆者發現，很多學生對“集合分類與等價關系”并不熟悉，尤其在講述“分式環”這部分內容的時候，學生學習就感覺非常吃力，關鍵問題就在于本科學習近世代數的時候沒有把“集合分類與等價關系”學好，沒有把握其本質思想.

2 新講的具體內容

2.1 改變講授順序

把“集合分類與等價關系”放在“正規子群”這個知識點的后面來講述，然后再講商群.這樣，商群就是集合的分類的一個具體的例子.從而加強學生對這個知識點的理解.在學習商環、分式環等后繼知識的時候，教師再帶領學生一起把這一知識點復習一遍，這樣，學生就會知道“集合分類與等價關系”確實是有用，至少可以通過它來定義商群、商環.

2.2 把抽象的概念具體化

學生之所以覺得抽象，根本原因在于沒有把具有高度概括性的概念轉化為具體的、直觀的例子，缺乏容易理解的具體實例的支撐.所以，在授課過程中，教師要想辦法用生活中的實例來闡述所講授的知識.

首先，對于基本定義的講授.現行的大多數“近世代數”教材一般是這樣給出集合分類的定義：

若把集合分成若干個叫作類的子集，使得的每一個元素屬于而且只屬于一個類，那么這些類的全體叫作集合的一個分類.

教材給出的這個定義其實是很抽象的，學生往往搞不懂到底什么是集合的一個分類，這個“類”到底是什么.同學們在讀中學的時候，所在同一年級的同學往往被分成幾個班.其實這件事情就是集合分類的一個例子.在這個例子中，“某年級的全體同學”是一個集合，被分成的幾個班級就是集合的分類.集合的每一個元素－－－每個同學都屬于并且只屬于一個班級.通過舉例，學生就會明白：集合分類的思想無非就是把一個集合劃分成若干互不相交的“小塊”（即子集），每一個“小塊”都是集合的一個類，這些“小塊”放在一起就是集合的一個分類.

其次，怎樣對集合進行分類？對集合分類是根據具體需要，依據該集合上的等價關系.

有些教材，例如張禾瑞的《近世代數基礎》，是這樣定義集合上的“關系”的：一個A×A→D（只含有“對”與“錯”兩個元素）的映射R叫作A上的一個關系，若R（a，b）＝對，就說a與b有關系，記為aRb；若R（a，b）＝錯，就說a與b沒有關系.

如果教師就按照課本把這個定義呈現給學生，那學生會完全搞不懂“關系”到底是什么.筆者在授課過程中，首先深入挖掘該定義的深層次內涵，然后在此基礎上給出“等價關系”的定義.那么，如上給出的“關系”的定義的深層內涵到底有哪些呢？

第一，由定義中要求“R是A×A→D（只含有“對”與“錯”兩個元素）的映射”，我們知道集合A中任何兩個元素要么有關系，要么沒有關系；

第二，若R（a，b）＝對（即aRb，a與b有關系），但未必有R（b，a）＝對（即bRa，b與a有關系），即若a與b有關系，未必b與a有關系；

第三，“關系”實際就是集合內部元素間的某種聯系，這種聯系可以有多種，是根據不同需要來確定的.例如，把某班級看作一個集合，規定“如果兩個同學來自同一個省份，則說他們有關系；否則，稱之為沒有關系”.按照這個規則，班級的任兩個同學或者來自同一個省份，或者來自于不同的省份.也就是說，班級的任兩個同學要么“有關系”，要么“沒有關系”.凡是來自同一個省份的同學之間都是“有關系”的，而來自于不同省份的同學之間則“沒有關系”.還是這個班級，如果規定“如果兩個同學住在同一個宿舍，則說他們有關系；否則，稱之為沒有關系”.同樣，按照這個規則，住在同一個宿舍的同學之間都是“有關系”的，而住在不同宿舍的同學之間“沒有關系”.還有很多例子，比如，對于整數集合Z，兩個整數a與b，若a｜b，則稱a與b有關系；否則稱之為沒有關系.在這種“關系”的定義下，2與4有關系，但是4與2卻沒有關系.再例如，設G為群，N為G的子群，a，b∈G.若b－1a∈H，就稱a與b有關系；否則，就稱它們沒有關系.

2.3 由等價關系確定集合的分類

在如上例1和例3中，這三種關系都滿足：反身性：每個元素都與他自己“有關系”；對稱性：若a與b有關系，則一定會有b與a也有關系；傳遞性：若a與b有關系，b與c有關系，則a與c也有關系.我們就把具有反身性、對稱性和傳遞性的關系稱為等價關系.因此，例1和例3定義的關系都是等價關系，而第二個例子中的“整除關系”不滿足對稱性，故不是等價關系.

設R為集合A上的等價關系，任取a1∈A，記A1＝｛b∈A｜a1Rb｝，即A1為集合A中所有與元素a的元素構成的集合；任取a2∈A＼A1，A2＝｛c∈A｜a2Rc｝如此繼續下去，就會得到A的若干子集A1，A2，… 可以證明這些子集A1，A2，… 構成了集合A的一個分類.因此，只要集合上能定義等價關系，就可以從這個等價關系出發，構造出該集合的一個分類.

那么，為什么要對集合進行分類呢？

第一，對集合進行分類便于研究和管理.相信每個同學都不會把自己所有的衣服都堆放在一起，等穿衣服的時候再從這堆衣服中找.而是把衣服分門別類分別放置在不同的地方，比如有的同學會按照季節，把春夏秋冬的衣服分別存放.其實這就是把集合進行分類的一個最簡單的例子，在這個例子中，這位同學的所有衣服是一個集合，根據需要，把衣服分成春夏秋冬四個季節的.集合的兩元素（兩件衣服）間的“關系”就是是否屬于同一個季節，如果這兩件衣服都屬于同一個季節，那么就稱它們有關系；否則稱之為沒有關系.

第二，構造新的代數對象.在例3中，把N改為群G的正規子群，按照如上定義的關系，把群G分成了若干不同的陪集類，把這些陪集類看作另外一個集合M，g1N，g2N∈M，定義（g1N）（g2N）＝g1g2N.可以證明，集合M在如此定義的“乘法”下，也是群，并且，這個群的單位元是N.商群扮演著重要的角色，由群的同態，我們知道“任何一個群G′，若G到G′存在滿同態，則G′同構于G的某個商群”，即在群同構意義下，商群代表了與G存在滿同態的所有群.

在學習了環和域的相關知識之后，可以從一個環和其理想出發，構造商環，甚至可以構造出域.例如，整數環Z，n為任意不為0的正整數，不難證明I＝nZ是整數環Z的理想，規定：a，b∈Z，若n｜（a－b），則稱a與b有關系；否則，稱其沒有關系.此“關系”是等價關系，按照這個定義，集合Z被分成了n類.設集合Zn＝｛［0］，［1］，…，［n－1］｝為這n個類構成的集合，其中x∈［i］?x除以n的余數為i.集合Zn在運算?［i］，［j］∈H，［i］＋［j］＝［i＋j］，［i］·［j］＝［ij］下，構成環，稱為Z對理想I＝nZ的商環.特別的，當n為素數時，Zn是域.這樣，從環和其理想出發，利用集合分類，構造出了與原來完全不同的代數對象“域”.

從上面的例子來看，通過集合分類的方法構造新的代數對象，好像只能把原對象做“小”，實則不然，環的局部化問題就是反例之一.設R為整環，P為R的素理想，S＝R＼P，在集合S－1R＝｛r/s｜r∈R，s∈S｝上定義關系：r1／s1＝r2/r2??u∈S，使得u（r1s2－r2s1）＝0.易知此關系為等價關系，故確定了集合S－1R的一個分類，仍以S－1R表示該集合的分類構成的集合.任取r1／s1，r2／s2∈S－1R，規定：r1/s1＋r2/s2＝ （r1s2＋r2s1）/s1s2，（r1/s1）·（r2/s2）＝r1r2/s1s2，可以證明，S－1R在這兩種運算下是域，稱為環R在素理想P處的局部化.并且存在R到S－1R的單值嵌入：r｜→r/1，即S－1R比R“大”.我們熟知的有理數域就是通過整數環在其唯一的素理想零理想處的局部化.

已知S－1R為環R在素理想P處的局部化，設M＝｛Q?P｜Q為R的素理想｝，N＝｛S－1R的素理想｝.定義映射：f∶M→N，f（Q）＝S－1Q，可以證明該映射是一一映射.由此可以看出“局部化”實際上研究的是那些包含在理想P內的素理想；而“商”（R／P）研究的卻是那么比P“大”的理想.所以，從這個角度來說，“局部化”和“商”是兩個相反的過程，它們互為補充，是研究環的兩個非常重要的工具.

2.4 由集合分類確定集合上的等價關系

通過上面的學習我們知道，在集合上定義一個等價關系，根據這個等價關系就可以確定集合的一個分類；反之，如果已知集合的一個分類，能不能定義其上的等價關系呢？答案是肯定的.設A1，A2，…為集合A的一個分類，定義A上的關系：?a，b∈A若存在Ai，使得a∈Ai，b∈Ai，則稱a與b有關系；否則，稱之為沒有關系.不難證明，這樣定義的關系確實是集合A的一個等價關系.

3 結語

集合分類和集合的等價關系這兩個概念本質上是一回事，對集合分類是依據其上的某個等價關系；反之，給定集合的一個分類，也可以由此確定集合上的一個等價關系.

對集合進行分類是數學尤其代數中常用的并且非常有用的研究工具，這一工具不僅可以通過放“小”（例如做商），還可以通過放“大”（例如局部化），來對集合進行研究.在日常教學中，有必要讓學生熟練掌握該知識點.

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