多項式方程的迭代方法

高 尚，王長寶

（江蘇科技大學計算機科學與工程學院，江蘇 鎮江 212003）

多項式方程的迭代方法

高 尚，王長寶

（江蘇科技大學計算機科學與工程學院，江蘇 鎮江 212003）

基于韋達定理，給出了求解高次代數方程迭代方法，可同時迭代出所有實解。對其收斂性作了初步討論。給出了實例以及MATLAB源程序.

多項式方程；韋達定理；迭代方法

0 引言

由于矩陣特征值、微分方程等許多實際問題的求解往往歸結為多項式的求根問題；許多實際工程問題，如信號處理中經常遇到的濾波器和最小相位系統的設計、頻譜分析、語音信號處理、信道編碼與解碼等都轉化成多項式求根問題[1-4]。4次以下的一元多項式在17世紀之前已有了公式解,但是對于5次及以上代數方程已經沒有求根公式，只能求其數值解[5-6]。盡管已經出現了一些數值計算意義下的求近似解的方法，如二分法、弦截法、迭代法、牛頓法等，但是這些方法卻都有模糊的先決條件和其他一些局限性。因此多項式的求根問題一直受到科技界的廣泛研究，對其研究有深遠地意義。一般地，我們把關于x的代數方程稱 為x的n次多項式方程一般式。多項式方程基本定理：關于x的復系數方程 a xn+ a xn-1+ … + ax +a =0nn-11 0有且只有n個根（重根按重數計算）。本文基于韋達定理，擬采用迭代方法來求解2次以上的多項式方程。并且對于迭代方法一般迭代出一個根[7-10]，而本文方法將同時迭代出所有根。

1 韋達定理

2 一元2次方程的迭代方法

3 一元n次方程的迭代方法

4 代數方程的迭代方法的收斂性

從線性方程組的雅可比迭代方法、高斯賽德爾迭代方法的收斂性可知，不是所有迭代公式收斂，須滿足一些收斂條件[1-2]。對于本文的迭代方法，很明顯迭代方程是非線性的，其收斂性情況更復雜。這里僅討論一元2次方程的迭代收斂性。

先討論改進方法的收斂性：

由公式（6）可知：

5 結束語

對于代數方程求根一般迭代方法，每次迭代只能求出一個根。而本文方法是n個根同時迭代，可得到n個根，而且方法簡單，便于編程。本文只對一元2次方程迭代方法的收斂性進行了討論，其他情況的收斂性比較復雜，還需進一步研究。

附注1 3次方程的源程序：

clear all

b=–2;

c=–1;

d=2;

e=0.00005;

x1(1)=–0.5;

x2(1)=3;

x3(1)=–d/(x1(1)*x2(1));

x1(2)=–b–x2(1)–x3(1);

x2(2)=(c–x1(1)*x3(1))/(x1(1)+x3(1));

x3(2)=–d/(x1(1)*x2(1));

i=2;

while abs(x1(i)–x1(i–1))>e || abs(x2(i)–x2(i–1))>e || abs(x3(i)–x3(i–1))>e

i=i+1;

x1(i)=–b–x2(i–1)–x3(i–1);

x2(i)=(c–x1(i–1)*x3(i–1))/(x1(i–1)+x3(i–1));

x3(i)=–d/(x1(i–1)*x2(i–1));

end

x1

x2

x3

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Iterative Methods for Polynomial Equations

GAO Shang, WANG Chang-bao
(School of Computer Science and Engineering, Jiangsu University of Science and Technology, Zhenjiang 212003, China)

Base Vieta theorem, iterative methods for polynomial equations are proposed and all roots of polynomial equation can be found simultaneously. The convergence of methods is preliminarily discussed. Examples and MATLAB source code are given.

Polynomial equations; Vieta theorem; Iteration method

TP301.6

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.11.016

本文著錄格式：高尚，王長寶. 多項式方程的迭代方法[J]. 軟件，2017，38（11）：82-84

高尚(1972-)，教授，研究方向：數值計算，人工智能等；王長寶(1963-)，實驗室，研究方向：智能信息處理，嵌入式系統等。