通信延時環境下虛擬發電廠分布式控制收斂速度分析

郭峰，趙逸嵐，楊歡

（1．國網陜西省電力公司電力科學研究院，陜西西安 710100；2．杭州市電力設計院有限公司，浙江 杭州 310062；3．浙江大學，浙江杭州 310027）

通信延時環境下虛擬發電廠分布式控制收斂速度分析

郭峰1，趙逸嵐2，3，楊歡3

（1．國網陜西省電力公司電力科學研究院，陜西西安 710100；2．杭州市電力設計院有限公司，浙江 杭州 310062；3．浙江大學，浙江杭州 310027）

針對一種考慮通信延時環境下的應用于虛擬發電廠的分布式一致性控制策略進行研究，分析了控制策略收斂速度的影響因素，并據此提出了收斂速度衡量指標。在仿真算例中，分析了線路權重、領導節點位置以及算法收斂系數大小對收斂速度的影響，并對比了有/無延時兩種情況下一致性算法的收斂速度差異，為通信網的優化設計提供了參考。

分布式控制；虛擬發電廠；通信延時；收斂速度

隨著當今全球能源形勢的逐漸緊張以及環境污染問題的日益凸顯，可再生清潔能源的大力開發利用已成為電力行業的革新趨勢，這也促進了分布式電源的使用和發展。分布式電源是指位于負荷側，就近接入中低壓配電網的小型發電系統[1]，主要包含光伏發電、風力發電、生物質能發電等可再生能源發電單元，以及燃氣輪機等清潔能源發電單元[2]。

虛擬發電廠（virtual power plant，VPP）是一種電源管理技術，該技術將多個分散小電源聚合起來，使其整體的出力外特性與傳統發電機類似。應用虛擬發電廠技術，能有效地對地理位置分散，單機容量小的分布式電源進行控制管理。在虛擬發電廠的控制模式選取上，傳統的集中式控制模式在管理規模較大且地理分布較為廣泛的受控電源時，存在通信帶寬較窄、控制中心計算負擔較重等問題，并且某一信道的通信故障有可能會對整個系統造成嚴重的影響[3]。相比之下，分布式控制模式則無需通過一個控制中心來對所有電源下發控制指令；各電源在與少數鄰居電源通信的基礎上即可計算得出各自的控制參數值。因此，分布式控制模式具有經濟性好、魯棒性強以及通信容錯程度高等特點，更適用于對虛擬發電廠內部分布式電源的管理。

一致性算法是一種廣泛應用于多智能體協同控制的分布式算法。多智體協同控制的本質在于，通過多個價格低廉且結構簡單的智能體的聯合工作，代替單個復雜且昂貴的個體[4]。目前，一致性算法在控制、計算機領域已有大量的研究成果，可應用于解決智能體編隊控制[5]、無線傳感網絡[6]、多航天器控制[4]等問題。除此之外，一致性算法也被引入到了電力系統領域，用以設計分布式控制策略以對發電設備輸出的有功、無功功率進行控制[7-8]。文獻[9]提出了一種用于光伏系統有功、無功功率自適應控制的分布式策略，實現了系統有功功率的自平衡，并維持了電壓穩定。文獻[10]結合多智體一致性協同控制理論，設計了一種分散自治的自動發電控制功率分配框架。文獻[11]基于一致性算法，提出了一種適用于直流孤島微網的控制策略，實現了變虛擬電阻的自適應下垂控制。

分布式控制需要通過多次迭代計算才能實現控制目標，因此收斂速度成為了評判控制效果優劣的一個重要標準。已有研究表明，相較于無通信延時的情況，一致性算法在考慮通信延時下的收斂性較差[12]。在此基礎上，文獻[12]結合代數圖論、矩陣理論、控制理論分析了連續一致性算法的收斂性與延時長短的關系；文獻[13]將一致性算法應用于兩階離散系統，考慮不均勻通信延時以及時變通信結構，推導出了系統實現一致性收斂所需滿足的充分條件。

本文將一階離散一致性算法應用于虛擬發電廠內部分布式電源的有功功率控制之中，分析了在考慮均勻通信延時的情況下，控制方法收斂速度的影響因素，并提出了收斂速度衡量指標。在仿真算例中，分析了線路權重、領導節點位置以及算法收斂系數大小對收斂速度的影響，并對比了有/無通信延時兩種情況下一致性算法的收斂速度差異，為通信網優化設計提供了參考。

1 虛擬發電廠分布式控制策略

1.1 虛擬發電廠分布式經濟調度

虛擬發電廠中分布式電源的調度控制結構為：能量管理系統（energy management system，EMS）向虛擬發電廠下發總功率指令，在滿足這一總出力目標的前提下，各分布式電源的功率分配將由分布式控制方法實現，即分布式電源不直接接受上級的調度。如圖1所示，根據地理位置的不同將配電網中的部分分布式電源劃分為一個虛擬發電廠。虛擬發電廠中設有一個領導節點，用以直接接收上級EMS下發的功率調度指令，并將功率偏差信息通過通信網傳遞給所在虛擬發電廠中的鄰居電源；其余分布式電源作為跟隨節點，相互之間可以進行通信，并根據鄰域信息決定發電量。需要注意的是，為確保控制的有效性，虛擬發電廠內部的通信網絡須保持連通[14]。

圖1 虛擬發電廠分布式控制結構Fig.1 Distributed control architecture of VPP

在該結構中，控制目標選取為整體運行經濟性最優，據此在分布式電源間進行有功出力的分配：

式中：n為該虛擬發電廠中分布式電源的總數；Pi為第i個分布式電源的有功出力；Ci（Pi）為第i個分布式電源的發電成本函數；Pref為由EMS下發的整個虛擬發電廠有功總出力的參考值。

分布式電源的成本函數可用如下的二次函數近似表示[15]：

式中，αi、βi、γi為發電機i的發電成本系數。

為實現經濟性最優目標，各分布式電源需滿足等微增率原則[16]，并結合公式可以得到：

式中，xi為DG i的成本微增率。

在虛擬發電廠的經濟調度中，分布式控制需要實現以下目標：

1）僅使用自己和相鄰單元的信息，無集中控制信號；

2）最終每個分布式電源的成本微增率xi及有功出力Pi需滿足式（3）。

1.2 考慮均勻通信延時的分布式控制算法

假設分布式電源之間的通信網絡為雙向通信，對應的無向圖G?（V，S）。其中，V={1，…，n}為節點（分布式電源）集合，S?V×V為邊（通信線路）集合。當Vi、Vj間無通信時，邊Sij對應的權重eij=0；當Vi、Vj間有通信時，邊Sij對應的權重eij＞0。

本文采用離散一致性算法。為便于描述，暫不考慮來自EMS的總功率指令，僅先實現各分布式電源成本微增率xi相等。

設迭代次數為k，信號采樣周期為T，信號由Vi傳輸到Vj的通信延時為τij。在（k+1）T時刻，DGi的微增率xi由下式決定：

當采樣周期T大于通信網最大延時τmax時，式（5）等價于由式（6）所表示的無延時情況下的一致性算法：

盡管增長采樣周期可以有效抑制通信延時對控制過程帶來的不利影響，但同時也會導致算法收斂時間的延長。為選取合適的采樣周期，現針對網絡通信延時較均勻的情況開展研究，以使φ（τij）=1。

公式（6）可簡化為

設矩陣D為通信網的權重矩陣，D的對角元素為零，非對角元素Dij等于邊權eij。有eij=eji，故D為對稱矩陣。將式（7）表示為如下的矩陣形式（x∈R1×1，A∈Rn×n，D∈Rn×n）：

下一步，在公式（8）的基礎上引入總功率約束。即把總功率偏差量信息反饋給領導節點，構成主-從一致性算法，作為整個虛擬發電廠有功控制策略的核心：

式中：ε為收斂系數常數；列向量dn×1的每行對應一個分布式電源，領導節點所在行為1，跟隨節點所在行為0；矩陣a、b中的元素可由各臺發電機成本函數系數確定。當對于任意兩個分布式電源DGi、DGj均滿足時，系統微增率狀態值完成收斂，從而在完成虛擬電廠內部的有功出力分配的同時實現運行經濟性最優的目標。

式（9）所示的一致性算法由兩部分組成：

1）均攤部分：算法x（k+1）=Ax（k）+x（k-1）能通過多次迭代，削減向量x每行元素之間的差別，最終使得每個單元的微增率相等。

2 收斂速度分析

2.1 均攤算法

首先暫不計及領導節點接收到的功率偏差反饋信號，僅考慮算法的均攤部分。在通信延時均勻、延時時長為τ時，令采樣周期T的取值略大于τ/2，使得對于所有通信線路Sij均存在φ（τij）=1。

現將公式（8）改寫成如下形式：

式中：I為n×n的單位矩陣；W為非負矩陣，滿足W·1n×1=1n×1，因此W為行隨機矩陣，譜半徑為1[3]。

定理1[3]：定義矩陣A=[aij]∈Rn×n對應的拓撲圖為Γ（A），則當且僅當Γ（A）為強連通時，矩陣A不可約。

定理2[3]：若矩陣A=[Aij]∈Rn×n為非負矩陣且不可約，則其譜半徑ρ（A）為其代數重度為1的特征值。

定理3[3]：設矩陣A=[aij]∈Rn×n為行隨機矩陣，若A有代數重度為1的特征值λ=1，且其他特征值均滿足|λ|＜1，則A為SIA（Indecomposable and Aperiodic），有向量v滿足vTA=vT且

由1.2節可知，矩陣A+D對應的拓撲圖為G，可以證明，對于連通的無向圖G，矩陣W對應的有向圖為強連通；由定理1和定理2可知，矩陣W不可約，且有代數重度為1的特征值λ=1，其他特征值均滿足|λ|＜1。由定理3可得，W為SIA，故當k→∞時，列向量中的所有元素會收斂至相等，即能夠實現使所有分布式電源的成本微增率相同。

因為W僅有一個模值為1的特征值，而其余特征值的模值均小于1，故收斂過程的收斂速度由矩陣W中模值第二大的特征值決定，記該特征值的模值為μ（W）。本文將μ（W）作為均攤部分收斂速度衡量指標，即μ（W）越小，公式式收斂速度越快。

由上述分析知，矩陣A、D為非負且通信拓撲保持連通，是公式成功收斂的充分條件。

2.2 主-從一致性算法

當計及接收功率反饋信息的領導節點后，在通信延時均勻，延時時長為τ的情況下，令采樣周期T的取值略大于τ/2，使得對于所有通信線路Sij均存在φ（τij）。主-從一致性算法（9）可進一步改寫為式（11）所示的矩陣形式：

定義誤差ξ（k+1）為：

將式（12）與式（13）相減，有：

當且僅當M為收斂矩陣，即譜半徑ρ（M）＜1時，ξ（k）會在k→∞的過程中逐漸消減為0[17]。ρ（M）能夠反映Mk的收斂速度，故可作為整個主-從一致性算法收斂速度的衡量指標，即ρ（M）越小，算法的收斂速度越快。

通過觀察矩陣M可以發現，ρ（M）會受到矩陣W、向量dn×1、系數ε以及對角陣a的影響。這些因素各自的含義為：通信網絡拓撲結構及通信線路權重、領導節點位置、功率反饋收斂系數ε以及各分布式電源發電成本函數。因此，在設計分布式控制的通信網絡時，可以ρ（M）最小化為目標，對上述因素進行優化。

3 仿真算例

虛擬發電廠中的分布式電源群組均采用如下形式的發電成本函數[7]：

設虛擬發電廠中分布式電源數量為n=15，通信線路數目為nl=22。能量管理系統下發的有功出力參考值為Pref=6 MW。

將分布式電源分為5組，每個群組對應的發電成本函數系數如表1所示。

表1 分布式電源發電成本函數系數Tab.1 Cost function coefficients of DGs

各分布式電源之間的通信網拓撲結構如圖2所示，記該通信網絡對應的拓撲圖為圖G（圖中所示線路權重為代數連通度最大權重D3，詳見后文）。

采取如下3種不同的權重選擇方式[18]，應用策略式（9）分別進行仿真實驗，并記錄相應的收斂所需的迭代次數：

1）最大度權重D1

圖2 通信網拓撲結構Fig.2 Topology structure of a communication network

其中，di為節點Vi的度，即與節點Vi直接相連的節點的數量。定義此時的通信網為G-D1，在此通信網下，以分布式電源DGk為領導節點時的矩陣M的譜半徑為ρ（M1-DGk）。

2）均勻權重D2

算例中，取α=5，定義此時的通信網為G-D2，在此通信網下，以分布式電源DGk為領導節點時的矩陣M的譜半徑為ρ（M2-DGk）。

3）代數連通度最大權重D3

對于通信拓撲確定的虛擬發電廠，令l為圖G對應的權重矩陣的集合，則有當Sij?G且i≠j時，當Sij∈G時

需求解如下問題：

依照本算例的優化方法計算出相應的權重結果如圖2所示，定義此時的通信網為G-D3，在此通信網下，以分布式電源DG k為領導節點時的矩陣M的譜半徑為ρ（M3-DG k）。

4 仿真結果分析

4.1. 線路權重及領導節點選取對收斂速度的影響

對于本節的仿真算例，設收斂變量初始值為x（0）=[1 1 … 1]T。當同時滿足條件：

1）總功率差額ΔP＜0.001 MW。

2）對于任意一個分布式電源均有|xi（k+1）-xi（k）|＜0.001，迭代過程結束。

在通信網G-D1、G-D2和G-D3中，依次選擇1～n號分布式電源作為領導節點，取收斂系數ε=0.1，分別計算矩陣M對應的譜半徑ρ（M），結果如圖3所示。按照同樣的步驟，應用公式（9）所示策略進行仿真，并分別記錄收斂所需的迭代次數，如圖4所示。需要注意的是，當采用通信網G-D3進行仿真時，無論領導節點如何選擇，系統均無法收斂，故未展示于圖中。

圖3 3種通信網的M矩陣譜半徑Fig.3 Spectral radius of matrix M in three kinds of communication networks

由圖3可知，對于通信網G-D3，無論領導節點如何選擇，均有ρ（M）＞1成立。前文2.2節的分析表明當ρ（M）＞1時，一致性算法無法收斂，仿真結果也印證了這一結論。通信網G-D3的線路權重能夠使得圖G代數連通度達到最大，即能使通信拓撲確定的無通信延時的一致性算法的收斂達到最快。但需要注意的是，求解過程中所采用的公式（19）所示的半定規劃方法的線路權重計算結果，不一定能夠滿足為非負矩陣的要求，即在含有通信延時的情況下，求解出不考慮通信延時情況下的最優權重，可能導致算法的不收斂。在本仿真算例中，矩陣A=diag（1-中的元素A2，2、A6，6、A7，7、A8，8、A11，11和A13，13均為負，因此矩陣W不是非負的行隨機矩陣，且譜半徑為1.017 5，則在所示算例條件下無領導一致性算法式（8）不收斂，即在通信網G-D3的權重設置下，控制策略無法完成成本微增率的均攤；當引入能量管理系統的總功率指令后，更無法使系統收斂至穩定點。

圖4 通信網G-D1、G-D2對應的收斂所需迭代次數Fig.4 Convergence iterations in communicationnetworks of G-D1and G-D2

此外，對比通信網G-D1及G-D2中矩陣M對應的譜半徑曲線可以發現，通信網G-D2的ρ（M）普遍比通信網G-D1的小，僅在選擇12號節點為領導節點時，二者相近。同時，圖4的仿真結果表明，當采用通信網G-D2時，該情況下控制策略式（9）的收斂速度普遍比采用通信網G-D1時快，且僅在選擇12號節點為領導節點時兩組通信網迭代次數結果相差不大，這一結論與譜半徑計算結果一致。此外，由圖3及圖4可以發現，一致性算法的迭代次數曲線與相應通信網的M矩陣譜半徑曲線走勢相吻合，這一現象也進一步說明了采用ρ（M）作為一致性算法收斂速度衡量指標的合理性。

因此，對于拓撲結構相同的通信網，通信線路權重以及領導節點位置的選擇均會對算法的收斂速度產生影響。在優化通信網線路權重，選擇領導節點位置時，可以以指標ρ（M）最小化為目標進行。

4.2 收斂系數對收斂速度影響

現選取通信網G-D2為研究對象。算例中，收斂系數ε在[0.002，1]之間均勻地取500個值；分別選取通信網G-D2中能夠使得指標ρ（M）為最小和最大的分布式電源作為領導節點（分別為DG1和DG14），并記錄收斂所需的迭代次數（見圖5、圖6）。其中，灰色背景區域所對應的部分表示在相應的取值下，算法無法收斂。另外，為凸顯曲線變化較大的區域，將圖中曲線變化平緩的區域進行折疊（在圖5中折疊0.2＜ε＜0.8區域部分，在圖6中折疊0.2＜ε＜0.4區域部分）。

圖5 領導節點為DG1：迭代次數、與收斂系數的關系曲線Fig.5 Graph of the relationships between iterations/and with leader DG1

圖6 領導節點為DG14：迭代次數、與收斂系數的關系曲線Fig.6 Graph of the relationships between iterations/and with leader DG14

由圖5及圖6可知，在收斂系數ε由0.002逐漸增加到1的過程中，收斂所需迭代次數曲線是一個U型曲線。當ε增大到一定程度后（如圖6中ε＞0.504時），M矩陣譜半徑可能會大于1，此時算法不再收斂，系統失穩。圖6中的兩種情況的譜半徑曲線同樣都是U型曲線，與各自的迭代次數曲線的走勢一致，并且在ρ（M）＞1時系統均失穩，這也再次印證本文所提出的將ρ（M）作為收斂速度衡量因子的方法是切實有效的。

在實際確定收斂系數ε的數值時，可以采取在一定區間內多次取值、計算相應的ρ（M）的方法，最終采用U型曲線最低點對應的數值為收斂系數ε的取值。

4.3 有/無通信延時仿真結果對比

分別將考慮通信延時的分布式算法式（9）以及如下不考慮通信延時的分布式算法式（21）應用于通信網G-D1及G-D2中：

并依次選擇1～n號分布式電源作為領導節點，取收斂系數ε=0.1，分別記錄收斂所需的迭代次數，如圖7及圖8所示。其中，紅色圓形曲線對應有通信延時一致性算法；藍色正方形曲線對應無通信延時一致性算法；藍色三角形曲線對應無通信延時一致性算法迭代所需收斂次數乘2。

圖7 通信網G-D1：有/無通信延時情況下算法收斂速度Fig.7 Convergence speed of algorithm with/without time-delay in communication network G-D1

圖8 通信網G-D2：有/無通信延時情況下算法收斂速度Fig.8 Convergence speed of algorithm with/without time-delay in communication network G-D2

在通信延時均勻、延時時長為τ的條件下，可以通過合理設置采樣時間T1的大小以消除延時因素對一致性算法的影響，此時應滿足關系T1＞τ；若采用含通信延時的一致性算法，則采樣時間T2只需滿足關系T2＞τ/2。當在滿足上述條件的前提下，采樣時間T1及T2取盡可能小的值時，近似地有關系T1=2T2。定義在有/無通信延時情況下的算法迭代所需收斂次數分別為k1和k2，則最終收斂所用時間t1=k1·T1=k1·2T2，因此比較2k1與k2的數值大小即可比較出最終收斂所用時間t1與t2的大小。

由圖7及圖8可知，對于通信網G-D1及G-D2，無通信延時的一致性算法收斂所需迭代次數均少于有通信延時的情況，這說明通信延時確實會導致算法迭代次數的增加，對于通信網G-D1而言，這樣的差異非常明顯（如圖7所示，有延時情況下的迭代次數基本在200以上，最高達1 159次，而無延時情況下的迭代次數全部在100次以下）。但需要注意的是，當考慮采樣時間因素后，無通信延時的一致性算法反而可能比有通信延時的一致性算法收斂所需時間更長。例如，在圖8中，當選取1～7號以及11～15號節點為領導節點時，均存在k1＜k2＜2k1，說明在這幾種情況下，采用有延時的一致性算法收斂所需時間反而更短。

綜上所述，對于以一致性算法為核心的分布式控制策略，對于有/無通信延時算法的選取，應當綜合考慮通信延時時間、通信網拓撲、通信線路權重以及領導節點位置等因素。

5 結論

針對虛擬發電廠一致性控制策略中通信延時對收斂速度的影響進行了研究，提出了均勻通信延時環境下的一致性算法收斂速度衡量因子。結果表明：

1）所提出的收斂速度衡量因子能夠較為準確地反映通信延時環境下一致性算法的收斂性及收斂速度，并可以被用作領導節點選擇的指標。

2）在設計通信網時，將收斂速度衡量因子最小化作為目標對通信網線路結構及權重進行優化，可以有效提升一致性算法的收斂速度。除此之外，本文還對線路權重、領導節點位置以及算法收斂系數大小對收斂速度的影響進行了分析，并對比了有/無通信延時兩種情況下的收斂速度，為一致性算法通信網優化設計提供了參考。

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Convergence Speed Analysis for Distributed Control of Virtual Power Plant with Time-Delays

GUO Feng1，ZHAO Yilan2，3，YANG Huan3
（1.State Grid Shaanxi Electric Power Research Institute，Xi’an 710100，Shaanxi，China;2.Hangzhou Electric Power Design Institute，Hangzhou 310062，Zhejiang，China;3.Zhejiang University，Hangzhou 310027，Zhejiang，China）

In this paper，a control strategy with time-delays is applied to the virtual power plant control，and mathematical analysis is presented to reveal the factors affecting convergence speed of the control strategy.Moreover，a convergence speed factor is proposed.To offer advice for communication network design，the influence of communication line weight，leader's position and feedback coefficient on convergence speed is analyzed through simulation，convergence speed comparison with and without time-delays is also presented.

distributed control;virtual power plant;timedelays;convergence speed

1674-3814（2017）07-0077-08

TM721

A

國家高技術研究發展計劃（863計劃）（2015-AA050202）；浙江省自然科學基金（LY15E070003）。

Project Supported by the National High Technology Research and Development of China （863 Programme）（2015AA050202）；the Zhejiang Provincial Natural Science Foundation of China（LY15E070003）．

2017-04-21。

郭 峰（1964—），男，碩士，高級工程師，研究方向為電網運行與維護管理。

（編輯 徐花榮）