基本不等式教學實錄

安徽省肥東第一中學 孫光元

安徽省肥東第一中學 孫光元

師：你能通過觀察上述幾組式子，判斷其大小關系嗎？

生：都是大于。

師：大家同意他的觀點嗎？

生1：同意。

生2：不同意。

師：那么我們如何評價誰對誰錯呢？

生：可以作差比較。

師：很好。那么我們一起動手來作差，看看究竟哪個結論是正確的。（請一位同學在黑板上板演，其他同學在下面演算）

師：通過大家的驗證，我們發現 。那什么時候這個等號是成立的啊？

生：當 的時候，不等式的等號成立。

師：a，b有什么限定要求嗎？

生：只要是實數就可以。

師：觀察這個不等式不難發現，當 時，等號成立，等號如果成立也說明 。我們可以這樣表述：對于任意實數a，b，有，當且僅當 時，等號成立。（板書上述內容）

師：那么我們可以借助幾何圖形解釋這個不等式嗎？（展示多媒體）

師：請同學閱讀課本98頁第三自然段證明基本不等式的方法。如果是你，你如何證明上述不等式成立呢？

生：還是可以通過作差比較來加以證明。

師：很好，課本中給出了一種全新的證明方法——分析法，這在以后選修的課程中我們將進一步學習。其實我們完全可以借助作差比較來證明。

師：你能用自然語言描述基本不等式嗎？

生1：兩個正數的和不小于這兩個數乘積開方的兩倍。

生2：兩個正數的算術平均數不小于其幾何平均數。

師：兩位同學說得都很好，那么我們還能用圖形對其進行解釋嗎？請同學們閱讀課本98頁，探究并思考你如何用圖形來解釋基本不等式。

師：那應該怎么描述這種不等關系呢？

生3：圓的半徑不小于其半弦長。

師：很好。我們給出基本不等式的兩種解釋：（1）兩個正數的算術平均數不小于其幾何平均數；（2）圓的半徑不小于其半弦長。我想通過這樣的解釋，大家對于基本不等式都有了更深的理解。那么它可以用來解決什么樣的問題呢？

師：在這里，我們看見是求兩個正數之和的最小值。那么它和我們今天學習的不等式有什么關系呢？

生：基本不等式的形式中，一邊就是數的和，另一邊就是數的乘積。

師：觀察得很仔細，一邊是兩個正數的和，而另一邊是兩個正數的乘積。那么怎么轉化成常數呢？

師：你能用什么方法求其最大值呢？

師：很好，這是一個很好的方法，那么今天我們學習了基本不等式，你能用基本不等式解決這一問題嗎？

生：可以解決。

師：那請你們用基本不等式的方法來求其最大值，課后用二次函數的方法求解，然后對比一下它們的優缺點，下節課我們請同學們談談自己的感受。（請一位同學上黑板板演，其他同學在下面完成，教師評價學生的解題過程，并糾正其不足的地方）

師：請剛才這位板書的同學談談你是怎么想的。

生：剛才通過例1我發現，求和的最小值只要乘積是定值就可以了，這一題是求乘積的最大值，我就想能不能找到和的定值，然后發現是定值。

師：這位同學的思路很清晰。那么你們能總結出利用基本不等式求最值的方法了嗎？

生1：要求和的最小值，就要找到乘積的定值，要求乘積的最大值，就要找到和的定值。

生2：還要求這些式子中的數要是正數。

師：還有嗎？我們要取得最值，也就相當于不等式的等號要成立哦！

生：還要求當且僅當 時，等號成立。

師：現在我把大家說的總結一下：首先，我們要使用基本不等式，就要滿足數或者式子是正的，即一正；其次，我們發現要求和的最小值，要有乘積形式的定值，求乘積的最大值，就要有和形式的定值，即二定；最后，要讓式子取得最值，要注意等號能夠成立，即三相等。以后我們要利用基本不等式解決最值問題時應注意以上三點。

（展示多媒體）變式練習：

（利用多媒體投影學生的書寫過程，讓學生相互評價）

生3：我們最后要說明等號什么時候成立。

師：同學發現了很多問題，總結得也很好?？磥泶蠹覍静坏仁綄W習的還是不錯。那么你們能總結一下今天我們都學到了什么嗎？

生2：我們還學習了利用基本不等式求式子最值的方法，還要注意一正、二定、三相等。

生3：我們還了解了兩個不等式的幾何解釋。

師：通過這節課的學習，大家都是有所收獲的。希望大家課后完成這幾組練習。

（展示多媒體）習題3.4 A組第一題：