探討對稱思想方法在高中數學中的應用

江蘇省高郵市第一中學 趙 越

探討對稱思想方法在高中數學中的應用

江蘇省高郵市第一中學 趙 越

數學是高中教育的重要組成部分，也是教學上的重點和難點，該學科具有一定的抽象性和邏輯性，很多學生都認為該學科有一定的困難。對此，教師可在教學中引入對稱思想，促使學生通過分析問題隱含的對稱因素來提高解題效率。

高中數學；對稱思想；應用

對稱是一種常見的數學思想，更是一種分析問題和解決問題的重要途徑，學生在學習中通過對稱思想能快速地準確地解決問題，提高解題效率。因而數學教師應在實際教學中善于從函數、圖形、數列等知識中挖掘對稱思想，幫助學生提高學習質量。

一、對稱思想在高中數學函數問題求解中的應用

函數是高中數學的重要組成部分，要解決函數問題，就要科學應用函數知識，而函數理論的外化即由已知數學事實導出待求數學事實的過程。通過解題活動發揮對稱思想對解題的聯想、定向以及轉化功能，重點突出對稱思想對解題的指導作用。對稱思想往往來源于一般知識，但又高于一般知識，學生應在掌握基礎知識和解決方法的基礎上概括相應的思維方法，同時，在不斷學習方法和反復應用知識過程中總結歸化規律以及分析問題、解決問題的基本規律。高中數學函數教學中包含很多對稱思想，其中典型的對稱思想即函數奇偶性圖象關于原點和y軸對稱，通常，二次函數圖象關于直線對稱，在三角函數中也存在軸對稱和中心對稱，所以在學習函數中，需要對函數對稱性進行分析并加以靈活應用，必然能提高學習效果。例如：已知函數y=f（x）、函數y=g（x）在定義域R內都有反函數，且函數g-1（x-2）和f（x-1）的圖象關于直線y=x對稱，當g（5）=2000時，f（4）=？在解決此題中，已經了解互為反函數的兩個函數圖象關于直線y=x對稱，因此，函數y=g-1（x-2）和函數y=f（x-1）互為反函數。根據反函數就可得出f（4）的值，正確解答思路為：根據互為反函數的兩個函數得出函數y=f（x-1）和y=g-1（x-2）的反函數，最終得出f（x-1）= g（x）+2，同時根據g（5）=2000得出f（4）=2000+2=2002。

二、對稱思想在高中數學平面幾何求解中的應用

當學生進入高三階段后，就會對高一和高二階段所學知識進行梳理，那么科學合理地設置問題對學生而言就十分重要，能幫助學生回憶所學知識，并在大腦中構建知識體系。以《空間幾何體》一課為例，數學教師可設計以下教學：教師：“同學們，我們已經學完空間幾何體，那么大家思考一下可以將空間幾何體分成幾類？”學生：“旋轉體和多面體兩類。”教師：“那大家從這兩類中又學習了哪些幾何體？”學生;“球、圓錐、棱錐、棱柱、圓臺等。”教師：“除了上述知識，我們還在此章節中學習了投影，具體有哪些呢？”學生：“中心投影和平行投影。”教師：“它們有哪些特征？”學生：“寬相等、高平齊和長對正。”教師：“那直觀圖呢？”學生：“x軸不變，y軸為原來的一半。”在平面解析幾何中，對稱問題是一類常規的問題，只要認真分析題目中的對稱結構，掌握對稱問題的解法，巧用對稱，就能很好地解決問題。例如：已知圓上任意一點過直線x-y+2=0的對稱點都在圓上，圓方程為x2+y2+2x+by-3=0，其中b為實數，求b值。此題目的重點在于圓的對稱性，而圓的對稱軸直線需要過圓心，所以直線x-y+2=0為已知圓的對稱軸直線，從原方程配方可得知對此可將圓心表示為最后根據圓心的對稱軸線直線列出方程求解得出b=-2。

三、對稱思想在高中數學數列問題求解中的應用

毫無疑問，數列也是高考的必考內容，解決數列問題的關鍵在于求數列的通項公式，普遍會借助遞推公式求數列通項公式，此類題型不僅有較多的類型，解題方式也有一定的靈活性，所以可針對每一種題型提出相應的解題方法。例如轉化為等差數列an-an-1=f（n），運用疊加法求數列的通項公式；數學教材中運用疊加法提出等差數列（an-an-1=d）通項公式證明方法，往往在考試中會出現an-an-1=f（n）類似等差數列的遞推公式，對此可以將其看作等比數列，運用對稱思想也可提出以下解答方法：

例如：已知a1=1，an-an-1=n-1，求an。此題為簡單的等差數列題型，運用對稱可獲得答案。

一般運用對稱法求遞推數列通項公式有兩個特點，一方面為等式后邊可以便于求和，學生往往已經掌握特殊數列求和，另一方面則為累加后等式左邊可將錯項相消而達到化簡目的。在以往高考數學試題中，數列是重點考查項目，更是學生解題的重點和難點。借助對稱思想可以直接觀察題目中蘊含的對稱性，從而快速解答。例如：已知{bn}為等差數列且公差為正數，設b1+b2+b3=15，b1b2b3=80，求b1+b12+b13=？根據等差數列可以得知，b1-b2=b2-b3，根據b1+b2+b3=15，b1b2b3=80可以順利求出b2=5，再設{bn}公差為c，那么5（5-c）（5+c）=80，可求出公差c=3，因此b12+5+10c=35，b13=5+11c=38，得出b1+b12+b13=75。

總之，在高中數學教學中應用對稱思想效果顯著，能提升分析問題和解決問題的效率。教師在教學中應引導學生挖掘問題中涵蓋的對稱因素，從而將復雜問題轉化為相對熟悉的問題鏈，由此提高解題效率。

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[2]紀智斌.“換元、對稱、聯想”思想方法在高中二次函數解題中的運用[J].考試周刊，2014（43）：80-81.

[3]童建福.數學思想方法在解析幾何教學中的應用[J].理科考試研究， 2016，23（1）：8-8.