事件獨立性的理解與應用

孫杰

概率中的事件獨立性是一個非常重要的基本概念。在學習過程中，首先要理解相互獨立的意義，才能理解相互獨立的隨機事件之間概率的關系，然后利用這些關系判斷兩事件的獨立性。下面從三個方面進行闡述。

一、事件獨立性概念的理解

事件的相互獨立性概念的直觀解釋：如果事件A的發生不會影響事件B發生的概率，或者事件B的發生不會影響事件A發生的概率，則事件A與B相互獨立。事件A與事件B相互獨立的充要條件是P（AB）=P（A）P（B）。在實際應用中，如果事件A與事件B是來自于相同條件下進行的兩個隨機試驗，則這兩個事件是相互獨立的。

二、事件獨立性的辨析

例1 下列事件A，B是相互獨立事件的為（

）。

A. 一枚硬幣擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”

B.袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”

C.擲一枚骰子，A表示“出現點數為奇數”，B表示“出現點數為偶數”

D.甲、乙兩運動員各射擊一次，A表示“至少有一入射中目標”，B表示“甲射中目標但乙未射中目標”

解：一枚硬幣擲兩次，A表示“第一次為正面”，B表示“第二次為反面”，則P（A）一P（B）=1/2，P（AB）=1/4=P（A）P（B），可知事件A，B是相互獨立事件。袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸球兩次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”，事件A發生時，影響到事件B發生的概率，所以事件A，B不是相互獨立事件。擲一枚骰子，A表示“出現的點數為奇數”，B表示“出現的點數為偶數”，則事件A，B是互斥事件，P（AB） =0≠P（A）P（B），所以事件A，B不是相互獨立事件。“至少有一人射中目標”為事件A，“甲射中目標但乙未射中目標”為事件B，則AB =B，因此當P（A）≠1時，P（AB）≠P（A） . P（B），所以A，B不是相互獨立事件。應選A。

點睛：判斷獨立事件常用的方法：定義法，若事件A的發生對事件B發生的概率沒有影響，反之亦然，則A，B這兩個事件是相互獨立事件;公式法，若兩事件A，B，滿足P（AB）=P（A）P（B），則事件A，B相互獨立。獨立性的判斷不能僅僅停留在直覺判斷上，必須要落實到公式的驗證上。

點睛：利用相互獨立事件解題應注意的問題：根據題設條件，分析事件間的關系，將需要計算概率的事件表示為所設事件的乘積或若干個事件的乘積之和，這些事件之間必須滿足相互獨立。