運用類比，突破難點

賈玉芬

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）10-0178-01

人教版數學六上"一個數除以分數"的算理始終是教學的難點，學生不易理解，許多任課教師甚至也是糊里糊涂，只好根據教材照本宣科。有關合情推理課題的研究，使得我對類比推理的理解進一步深入，再備這一內容時，深度思考學生困惑的原因，忽然發現運用類比推理方法，學生的困惑可可以迎刃而解，教學中的難點也就可以自然突破。

人教版數學六上教材上的例題是這樣的："小明23小時走了2km，小紅512小時走了56km。誰走得快些？"

在試做時，學生的做法大致分三種情況：

方法一：多數學生的思路是：把23小時化成40分，然后根據路程÷速度=時間，用2000÷40×60=3000m=3km。

方法二：少數學生會只把23小時化成40分，列式為2÷40×60=30km。

方法三：少數學生根據關系列成2÷23，但這樣列式的學生大部分不會計算，也無從下手。

方法四：偶爾會遇見學生根據商不變的規律（或是分數的基本性質），這樣算2÷23=（2×32）÷（23×32）=3km。

綜合看學生的四種方法，實際都是在運用"歸一"的思路，這是因為學生從二年級開始學習乘除法開始有太多"歸一"的經驗。但從方法一與方法二的對比中可以看出，方法一的學生還是停留在整數問題的"歸一"階段，而方法二和方法三的學生已經通過學習小數和分數，發展到可以用小數和分數表示結果的階段，這應該是在四下學習過小數的意義和五下學習學過分數的意義后學生應該有的水平。運用方法四的學生思維水平較高。觀察到了數據的特點，合理選擇了方法（使除數變為1）進行了簡潔的運算。學生這樣做是要有多種知識綜合支撐的（或許是類比400÷2.5=（400×0.4）÷（2.5×0.4），或許是除數是1的除法算式的簡潔，也或許是倒數的啟發…）這也正是課程標準對學生運算能力的要求。

運用方法一和方法二的學生可以歸一為1分鐘，但是學生為什么就是想不到書上的方法：可以歸一為1個13小時呢？難點到底在哪兒？回顧學生學過的，解決過的各類問題，學生可以歸一為1個班，1元錢，1個百，甚至遇到"3個碗18元，12個碗多少錢？"時，也可以把3個碗的錢看成一個"1"，列式為12÷3×18。遇到半小時做20道題，也很容易想到1小時做的就是20×2…..只能是這樣，學生對分數單位不熟悉，對分數表示具體數量就不夠認可，否則不會出現用方法1的學生最多。再看看，學生在什么時候用到分數單位？學習分數的意義，認識分數時；在理解分數加減法算理時。其他好像再沒有了，而僅有的兩種情況還在理解了之后就很少再說起。所以，學生對"分數單位"認識與理解，遠遠比不上對整數中計數單位的理解，甚至比不上對小數中小數部分計數單位的理解。當然，這跟生活中分數的應用少于整數、小數有關系。

分析清楚原因，這次在課前我們來幫助學生重新完善"1"的概念，通過"1"概念的建立，促進學生思維的發展，促進解題方法的多樣。

1. 4袋糖16元，9袋糖多少元？

2. 根據抽查，這批產品每100件中達到一等品標準的有82件。這批產品一共有1萬件，達到一等品標準的大約有多少件？

3. 1.5小時行150km，3小時行多少km？

整體觀察，看出相同點，都是"歸一"，先求1個單位是多少，再求幾個單位是多少。 第2題10000÷100×82和第3題3÷1.5×150特殊在不是常規的一個單位，但是根據需要創設單位"1"，把100件中的82件一等品看成一個單位，或1.5小時行的看成1個單位。就像分數的單位"1"一樣。

小練習：23小時里有幾個13小時？

23小時做20道題，13小時做幾道題？

重新解決上面例題，并把例題分成兩部分，先做"小明23小時走了2km，，1小時走多少km？"使學生容易把精力集中在一個數除以分數的算理上。

試做中，有學生很容易想到了書上的解法：先求1個13小時行多上千米，再求3個13小時行多上千米。

在上面同學的啟發下，有學生想到用23×3=2小時，求2小時行2×3=4km，再求小時行6÷2=3km。

接著有學生想到直接利用倒數求1小時23×32=1小時，再求路程2×32=3km。（訪談中學生是數想到23×32=1）。

上面學生的方法可以看出，學生的三種方法中都再試圖與1小時建立聯系。13小時容易與1小時建立聯系，2小時也容易建立聯系，而且是學生熟悉的方式。運用倒數與1小時建立聯系是學生的機智或許是靈感。

這樣來看，比起往年教學這課內容，學生思路確實廣泛多了。課題研究拓寬了教師的備課思路，促進了教師對教材及數學知識的深入理解，更容易理解學生的想法，也在試著把前后學習中用到的相同方法進行類比。研究讓教師們走上了幸福的研究之路。這也正是課題研究的的意義之一。endprint