一種特殊圖類的零度研究

汪文+沙元霞

摘要： 本文以三圈圖中的特殊一類為研究對象，描述了這類三圈圖的構造特點，通過代數學方法，研究了該圖類的譜以及零度，并分析了具有這類圖的生物結構的穩定性。

Abstract： In this paper， we study a kind of three cyclic graphs. Firstly we give the structure of these graphs； Secondly， we study the nullity by algebra theorem； At the same time we analyze the stability of this kind of graphs.

關鍵詞： 三圈圖；懸掛點；零度

Key words： three cyclic graphs；one-valent vertices；nullity

中圖分類號：O157.5 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2017）34-0223-02

0 引言

圖論作為數學領域中一個應用廣泛的分支，其研究成果越來越多的被應用到各個領域中。其中關于圖的譜和零度的研究在生物領域以及化學領域中都具有十分重要的意義，尤其是圖的零度，能標志著某種化學結構的穩定性。圖的譜是指圖的鄰接矩陣的特征值，而譜半徑是指所有特征值中絕對值的最大者，圖的零度是指圖的譜中零特征值的數目。在文獻[1] 中，已經對三圈圖的結構劃分為14類，這里我們將借助三圈圖的分類研究一種特殊三圈圖的零度性質，并分析其穩定性。

1 預備知識

定義1.1[2]：設G=（V，E）為一個簡單圖，其頂點集為V={v1，v2，…，vn}，邊集為E。它的鄰接矩陣定義為n階矩陣A（G）=（aij），當點vi與vj點相鄰時，aij=1；當點vi與點vj不相鄰時，aij=0。

定義1.2[3]：圖G的鄰接矩陣A（G）的所有特征值的最大絕對值叫做圖G的譜半徑，記作？籽（G），圖G的零度用符號？濁（G）表示。

引理1.1[4]：設G含有1度頂點，若G的導出子圖H是通過刪除這個1度頂點及其鄰點所得到的，那么？濁（H）=？濁（G）。

引理1.2[4]：設r（A（G））表示A（G）的秩，則？濁（G）=n-r（A（G））。

2 圖的結構

在眾多的三圈圖中，有一類三圈圖同時含有C4，C5，C6由這三個圈所生成的三圈圖是構成頭孢類藥物的基本結構，其化學結構圖見圖1，下文中將其記為圖G。對于這類圖，研究其譜及零度等性質，對分析該種化學結構的穩定性具有重要指導意義。

3 主要結果

定理3.1： 記圖G1滿足下列條件： ①G1是含有C4，C5，C6的三圈圖； ②C4，C6具有兩個公共頂點； ③C4，C5之間由P4進行連接，則？濁（G1）=？濁（G）。

證明：

因為圖G1是含有C4，C5，C6的三圈圖并且C4，C5之間有4長路相連，則A（G1）=，其中分塊矩陣C1為由C5圈所構成的鄰接矩陣，矩陣C2為由P4連接5長圈和4長圈所構成的鄰接矩陣，矩陣C3為由具有兩個公共頂點C4，C6的構成的鄰接矩陣；B=，D=。

記V2=V（G）-V（G1），由圖G1結構可知，V2中的點為懸掛點。

應用引理1.1，刪除掉V2中的一個懸掛點，則G（V1）相對應的圖記為H1，則有？濁（H1）=？濁（G）；此時如果V2中仍然有懸掛點，則重復應用引理1.1，在V2后，得到圖H，則有？濁（H）=？濁（G）；由于V2=V（G）-V（G1），因此？濁（G1）=？濁（G1）

證畢

定理3.2：若圖G1滿足下列條件：①G1是含有C4，C5，C6的三圈圖； ②C4，C6具有兩個公共頂點； ③C4，C5之間由P4進行連接，則？濁（G1）=0

證明：考慮det（A（G1））=，因為C1為由C5圈所構成的鄰接矩陣，故按照矩陣C1的第一列進行展開，

A（G）==（-1），其中C4=

因為B=，針對其矩陣特點，將其第一列進行列變換并按照矩陣的第一列進行展開，可得det（A（G1））=，其中B12以及C12表示由矩陣B的第一列乘（-1）加到BT，C1的第4列，并進行展開后所得到的新矩陣。

因為D=，針對其矩陣特點，將其第3行進行行變換并按照矩陣D的第三列進行展開，可得det（A（G1））=，其中D13以及C33表示由矩陣D的第三行乘（-1）加到C3中所有第一列存在1的那些行，并進行展開后所得到的新矩陣。

因此，det（A（G1））被轉化為上三角矩陣，故det（A（G1））=CCC，其中這三個矩陣分別是圈的鄰接矩陣，故可得det（A（G1））≠0，即r（A（G1））為滿秩。

由引理1.2，可得？濁（G1）=n-r（A（G1））=0。

證畢

推論：已知圖G1的結構如定理3.1所示，圖G是由C1增加若干懸掛點所生成的圖，則？濁（G）=0。

證明：由定理3.1可知，？濁（G）=？濁（G1），又由定理3.2可知？濁（G1）=0，故可得？濁（G）=0。

參考文獻：

[1]Chang-xiang He ， Yue Liu ， Jia-yu Shao ， On the spectral radius of bicyclic graphs[J]. ournal of Mathematics Research and Exposition，2007.

[2]Bondy J.A，Murty USR. GraphTheory and Applications[M].New York：Academic press，1976：4-15.

[3]C.Godsil ， G.Royle ， Algebraic Graph Theory[M]. Springer—Verlag， 2001.

[4]沙元霞 .一類free圖極小零度的圖結構[J].齊齊哈爾大學學報，2009，25（3）：77-78.endprint