基于數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓的端點(diǎn)效應(yīng)處理及其應(yīng)用

吳 琛， 項(xiàng) 洪， 杜喜朋

(1.福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，福州 350118; 2.福建省土木工程新技術(shù)與信息化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州 350118)

基于數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓的端點(diǎn)效應(yīng)處理及其應(yīng)用

吳 琛1,2， 項(xiàng) 洪1,2， 杜喜朋1,2

(1.福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院，福州 350118; 2.福建省土木工程新技術(shù)與信息化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州 350118)

Hilbert-Huang變換在EMD分解中因端點(diǎn)非極值點(diǎn)，無(wú)法滿足樣條插值的要求導(dǎo)致包絡(luò)線異常，產(chǎn)生端點(diǎn)飛翼；在Hilbert變換中又因卷積計(jì)算和Fourier變換能量泄露的原因，也使端點(diǎn)產(chǎn)生飛翼。提出數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓的方法，通過(guò)端部數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓，把EMD分解和Hilbert變換過(guò)程中產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)釋放到數(shù)據(jù)外端，一舉解決兩階段的端點(diǎn)飛翼問(wèn)題；通過(guò)極值點(diǎn)對(duì)稱延拓進(jìn)一步控制三次樣條包絡(luò)曲線的走勢(shì)，使原始數(shù)據(jù)的包絡(luò)曲線更加準(zhǔn)確。經(jīng)仿真信號(hào)驗(yàn)證，聯(lián)合對(duì)稱延拓的方法具有良好的抑制效果。當(dāng)該方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)非線性特征分析時(shí)，不僅具有明確的物理意義，而且能較準(zhǔn)確地表征結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性狀態(tài)時(shí)出現(xiàn)“頻帶擴(kuò)展”和“主導(dǎo)頻率飄移”的力學(xué)特征。

Hilbert-Huang變換; 端部數(shù)據(jù); 極值點(diǎn); 對(duì)稱延拓; 非線性力學(xué)特征

Hilbert-Huang變換(Hilbert-Huang Transforms, HHT)是由Huang等[1]于1998年在經(jīng)典的Hilbert變換基礎(chǔ)上提出的一種非平穩(wěn)信號(hào)處理技術(shù)。該方法由經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)與Hilbert譜分析(Hilbert Spectral Analysis, HSA)兩部分組成，不僅賦予了瞬時(shí)頻率合理的定義、物理意義和求解方法，而且不需要先驗(yàn)基底，可依據(jù)數(shù)據(jù)本身的時(shí)間尺度特征進(jìn)行模態(tài)分解，具有很強(qiáng)的局部自適應(yīng)性。目前，該方法已廣泛地應(yīng)用于地震信號(hào)及響應(yīng)研究[2]、系統(tǒng)識(shí)別[3]、生物醫(yī)學(xué)[4]、故障診斷[5]、噪聲處理[6]、圖像處理[7]等各個(gè)領(lǐng)域。但是，由于HHT建立在經(jīng)驗(yàn)篩分的基礎(chǔ)上，必然存在一些固有的問(wèn)題亟待改進(jìn)。除篩分終止條件、模態(tài)混疊、包絡(luò)線和均值曲線的擬合外，端點(diǎn)飛翼的抑制是使HHT分析結(jié)果具有有效性的一項(xiàng)重要工作[8]。

根據(jù)端點(diǎn)處理的原理，端點(diǎn)效應(yīng)抑制的方法大致可分為三類：①極值延拓，如極值點(diǎn)對(duì)稱延拓[9]、相似極值延拓[10]、極值平移延拓[11]、多項(xiàng)式擬合延拓[12]等，這類方法不延拓信號(hào)本身數(shù)據(jù)點(diǎn)，僅以端點(diǎn)附近極值點(diǎn)的特性決定延拓極值，這對(duì)于寬頻帶、非平穩(wěn)的復(fù)雜信號(hào)而言，顯然不能準(zhǔn)確反應(yīng)信號(hào)的真實(shí)趨勢(shì)。②波形延拓，即通過(guò)在信號(hào)兩端增加波形數(shù)據(jù)的方式進(jìn)行端點(diǎn)延拓，其中最為典型的是由Huang等提出并在美國(guó)申請(qǐng)了專利的特征波法[13]和由黃大吉教授提出的波形鏡像延拓法[14]。前者對(duì)于不同特征尺度的信號(hào)在不同的端點(diǎn)位置所添加的特征波也應(yīng)不同，因此正如Huang等曾經(jīng)指出的，EMD所面臨的邊界延拓問(wèn)題仍未得到很好的解決；后者雖具有良好的抑制效果，但由于鏡像延拓后得到的極值點(diǎn)數(shù)量是原來(lái)的2倍，因而計(jì)算用時(shí)大大增加。③數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)延拓法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)[15]、自回歸模型預(yù)測(cè)[16]和支持向量回歸機(jī)法等[17]，這些方法有的僅適用于平穩(wěn)或簡(jiǎn)單非平穩(wěn)信號(hào)，有的由于復(fù)雜的模型和不定性的參數(shù)和較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間，限制了其應(yīng)用范圍，有的需要在EMD分解和Hilbert變換兩階段分別進(jìn)行端點(diǎn)處理，工作量較大。因此，HHT的端點(diǎn)效應(yīng)仍然是近十年來(lái)專家學(xué)者們重點(diǎn)關(guān)注和研究的問(wèn)題。本文將提出一種計(jì)算簡(jiǎn)單、高效，計(jì)算精度良好的端點(diǎn)抑制方法，并通過(guò)仿真信號(hào)和結(jié)構(gòu)響應(yīng)非線性力學(xué)行為的工程實(shí)例驗(yàn)證其抑制效果。

大部分結(jié)構(gòu)在強(qiáng)震作用下將會(huì)表現(xiàn)出非線性的力學(xué)行為，這恰是結(jié)構(gòu)產(chǎn)生破壞的前兆，因此探究結(jié)構(gòu)進(jìn)入非線性的特征具有重要的意義[18]。非線性體系動(dòng)力響應(yīng)頻譜成分的時(shí)變特性是體系非線性力學(xué)行為的重要特征。由于Fourier變換全局意義上的傳遞函數(shù)不能很好地描述這種時(shí)變特征，小波變換也存在著類似于Fourier變換的偽諧波分量，因此采用HHT時(shí)頻分析方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)非線性特征分析不失為一種好方法。但在這一研究中，如不能對(duì)HHT的端點(diǎn)效應(yīng)進(jìn)行良好處理，將直接影響到分析的正確性。本文將采用聯(lián)合對(duì)稱延拓的方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的非線性力學(xué)行為分析。

1 HHT端點(diǎn)效應(yīng)

HHT的端點(diǎn)效應(yīng)在EMD和Hilbert變換中都存在，兩種失真的疊加造成了HHT無(wú)法正確反應(yīng)信號(hào)所包含的信息，影響了分析結(jié)果的有效性。

1.1 EMD分解的端點(diǎn)效應(yīng)

在EMD分解中，需要對(duì)數(shù)據(jù)序列的極值點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值，獲得信號(hào)的上、下包絡(luò)線。由于三次樣條插值要求具有光滑的一次微分和連續(xù)的二次微分，但對(duì)于有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)序列而言，信號(hào)的兩個(gè)端點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，無(wú)法提供樣條插值函數(shù)所需要條件，也無(wú)法根據(jù)端點(diǎn)附近的信息獲得端點(diǎn)外側(cè)的信息，這必然導(dǎo)致擬合包絡(luò)線在信號(hào)兩端發(fā)生偏離實(shí)際包絡(luò)線趨勢(shì)的現(xiàn)象。并且，隨著“篩分”的進(jìn)行，發(fā)散現(xiàn)象將逐漸由數(shù)據(jù)兩端向內(nèi)部“污染”。因此，對(duì)于短數(shù)據(jù)信號(hào)以及極值點(diǎn)之間時(shí)間跨度較大的低頻分量而言，端點(diǎn)飛翼尤為明顯。

1.2 Hilbert變換的端點(diǎn)效應(yīng)

(1)

圖1 卷積示意圖Fig.1 Convolution schematic

此外，Hilbert變換的快速算法是基于Fourier變換實(shí)現(xiàn)的，在端點(diǎn)處容易引起能量泄露，也會(huì)造成信號(hào)的失真。

1.3 端點(diǎn)效應(yīng)抑制效果評(píng)價(jià)指標(biāo)

仿真信號(hào)通常可通過(guò)HHT結(jié)果與理論曲線的比較來(lái)檢驗(yàn)端點(diǎn)效應(yīng)的抑制效果，而對(duì)工程實(shí)際中的復(fù)雜信號(hào)，獲得理論曲線作為評(píng)價(jià)參照是困難的。因此，需要通過(guò)一定評(píng)價(jià)指標(biāo)加以驗(yàn)證端點(diǎn)抑制的有效性。

首先，為避免端點(diǎn)效應(yīng)引起信號(hào)包絡(luò)線畸變、產(chǎn)生虛假成分致使信號(hào)總能量增加，可通過(guò)比較EMD分解前后的能量來(lái)評(píng)估端點(diǎn)效應(yīng)的程度。定義采樣步數(shù)為m的信號(hào)S(t)的有效能量為

(2)

則分解前后的能量比為

(3)

式中：n為IMF分量總數(shù)；RMCi為IMF分量ci的有效能量，可依式(2)計(jì)算。能量比θ越小說(shuō)明虛假成份越少。

其次，由于信號(hào)S(t)的分解特性受到端點(diǎn)效應(yīng)的影響，因此可通過(guò)各IMF分量c(t)之間的局部正交性指標(biāo)IO判別端點(diǎn)處理的效果

(4)

該指標(biāo)越小說(shuō)明正交性越好。

再次，端點(diǎn)抑制算法的運(yùn)行時(shí)間t也是一個(gè)重要的衡量指標(biāo)，用時(shí)越長(zhǎng)，算法越復(fù)雜，計(jì)算的成本越高。

2 數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓

2.1 改進(jìn)思路

根據(jù)端點(diǎn)效應(yīng)產(chǎn)生的原因，提出如下改進(jìn)思路：

(1) 為避免數(shù)據(jù)迅速受到端點(diǎn)效應(yīng)的“污染”、緩解Hilbert變換卷積計(jì)算中的“褶皺”現(xiàn)象，可通過(guò)端點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)延拓，增加信號(hào)長(zhǎng)度，并使Hilbert變換卷積“褶皺”外延，實(shí)現(xiàn)EMD分解和Hilbert變換兩階段端點(diǎn)效應(yīng)的抑制。延拓的數(shù)據(jù)應(yīng)能反映端部數(shù)據(jù)的自然趨勢(shì)，如采用端部數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓，既能使延拓后的波形反映出原信號(hào)在端點(diǎn)處的變化趨勢(shì)，又能體現(xiàn)原信號(hào)已知極值點(diǎn)的信息。又由于三次樣條插值時(shí)需要用到前后各兩個(gè)臨近點(diǎn)。因此，每端延拓的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度應(yīng)含蓋兩個(gè)極大值點(diǎn)和兩個(gè)極小值點(diǎn)。

(2) 數(shù)據(jù)序列的端點(diǎn)很可能不是極值點(diǎn), 若將它作為對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)端點(diǎn)與其相鄰極值相差較小時(shí)，包絡(luò)線如圖2所示，在端點(diǎn)處突然收縮產(chǎn)生畸形，因此需要判別端點(diǎn)是否為對(duì)稱點(diǎn)。

圖2 包絡(luò)線在端點(diǎn)處畸變Fig.2 Envelopes distortion at the endpoint

(3) 如圖3所示，對(duì)數(shù)據(jù)序列較短或信號(hào)頻率較低的情況，當(dāng)端點(diǎn)值與相鄰極值相差較大時(shí)，如直接取端部數(shù)據(jù)延拓后的端點(diǎn)作為極值點(diǎn)，延拓部分的包絡(luò)線將不能完整包絡(luò)所有信號(hào)，并影響到原始信號(hào)包絡(luò)曲線的準(zhǔn)確性。為進(jìn)一步控制數(shù)據(jù)延拓后的包絡(luò)線走向，并考慮到上、下包絡(luò)是分別由極大值和極小值連接而成的，因此可僅對(duì)極大值和極小值進(jìn)行進(jìn)一步對(duì)稱延拓，以獲得較為準(zhǔn)確的包絡(luò)線參與EMD篩分。

圖3 端部數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓Fig.3 Symmetrical extension of the end data

基于以上改進(jìn)思路，本文提出數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓的方法實(shí)現(xiàn)HHT的端點(diǎn)抑制。

2.2 技術(shù)要點(diǎn)

數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓法旨在通過(guò)EMD篩分之前的端部數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓，把EMD分解和Hilbert變換過(guò)程中產(chǎn)生的端點(diǎn)飛翼釋放到數(shù)據(jù)外端，一舉解決兩階段的端點(diǎn)效應(yīng)，后續(xù)計(jì)算無(wú)需再對(duì)端點(diǎn)進(jìn)行處理；通過(guò)極值點(diǎn)對(duì)稱延拓進(jìn)一步控制三次樣條包絡(luò)曲線的走勢(shì)，避免首次延拓的信號(hào)落到包絡(luò)線之外，影響到原始數(shù)據(jù)的內(nèi)部。該方法的技術(shù)要點(diǎn)如下：

(1) 端部數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓。

設(shè)原始信號(hào)x(t)的端點(diǎn)為x(0)，極大值為U(1)，U(2)，…，U(n)，極小值為L(zhǎng)(1)，L(2)，…，L(m)。以信號(hào)左端為例，當(dāng)x(0)≥U(1)或x(0)≤L(1)時(shí)(見(jiàn)圖4(a)和圖4(b))，以x(0)為對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)延拓；當(dāng)L(1)lt;x(0)lt;U(1)時(shí)(見(jiàn)圖4(c)和圖4(d))，以與x(0)相鄰的極值點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)延拓。對(duì)稱延拓的數(shù)據(jù)范圍含蓋了極大值點(diǎn)U(1)，U(2)和極小值點(diǎn)L(1)，L(2)。信號(hào)右端延拓方法與左端相同，經(jīng)端部數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓后的信號(hào)記為x1(t)。

圖4 左端數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓Fig.4 The left data symmetrical extension

(2) 極值點(diǎn)對(duì)稱延拓。

記信號(hào)x1(t)的端點(diǎn)為x1(0)，端點(diǎn)極大值點(diǎn)為U1(1)，U1(2)，…，U1(n+4)，極小值為L(zhǎng)1(1)，U1(2)，…，U1(m+4)。仍以信號(hào)左端為例，當(dāng)x1(0)≥U1(1)或x1≤L1(1)時(shí)(見(jiàn)圖5(a)和圖5(b))，以為對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱延拓極大值點(diǎn)U1(1)、U1(2)和極小值點(diǎn)L1(1)、L1(2)；當(dāng)L1(1)lt;x1(0)lt;U1(1)時(shí)(見(jiàn)圖5(c)和圖5(d))，以與相鄰的極值點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)行上述四個(gè)極值點(diǎn)的對(duì)稱延拓。信號(hào)x1(t)右端的延拓方法同左端。

圖5 左端極值點(diǎn)對(duì)稱延拓Fig.5 The left extremum symmetrical continuation

(3) Hilbert-Huang變換。

按數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓的結(jié)果進(jìn)行三次樣條插值，獲得信號(hào)x1(t)的上下包絡(luò)線，經(jīng)EMD分解，截取原始信號(hào)x(t)時(shí)域范圍內(nèi)的IMF分量，并通過(guò)Hilbert變換可獲得Hilbert幅值譜、能量譜、瞬時(shí)能譜等分析結(jié)果。其中，Hilbert能量譜能清晰地反映信號(hào)的能量在頻域的分布情況。

3 仿真信號(hào)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓法的有效性，現(xiàn)以一列仿真信號(hào)為例進(jìn)行HHT端點(diǎn)處理和時(shí)頻分析。已知信號(hào)

x(t)=cos(2πt/50)+60cos(2πt/25)+0.5cos(2πt/200)

3.1 EMD篩分結(jié)果的比較

圖6為直接以端點(diǎn)為極值獲得的IMF分量，圖7為本文方法的篩分結(jié)果，二者分別與理論曲線進(jìn)行了比較。對(duì)比兩圖可知，經(jīng)數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓后，不僅使各IMF分量端點(diǎn)附近的飛翼現(xiàn)象得到了良好的抑制，更避免了端點(diǎn)效應(yīng)向信號(hào)內(nèi)部的傳遞。可見(jiàn)，本文方法對(duì)處理EMD篩分過(guò)程中產(chǎn)生的端點(diǎn)飛翼具有良好的效果。

3.2 瞬時(shí)頻率的比較

圖8(a)和圖8(b)分別為端點(diǎn)處理前后仿真信號(hào)的瞬時(shí)頻率。如圖可知，如直接以端點(diǎn)為極值點(diǎn)，Hilbert譜的兩端飛翼現(xiàn)象嚴(yán)重。經(jīng)數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓后，Hilbert譜的頻率分別集中在0.005 Hz, 0.02 Hz和0.04 Hz處，分別對(duì)應(yīng)仿真信號(hào)的三個(gè)頻率成分，可見(jiàn)本文方法對(duì)于Hilbert變換所產(chǎn)生端點(diǎn)飛翼也具有良好的抑制效果。

圖6 未經(jīng)端點(diǎn)處理的IMF分量與理論曲線的比較Fig.6 Comparison between the IMF components without endpoint processing and the theoretical curves

圖7 聯(lián)合對(duì)稱延拓獲得的IMF分量與理論曲線的比較Fig.7 Comparison between the IMF components with joint symmetrical extension and the theoretical curves

圖8 仿真信號(hào)的瞬時(shí)頻率對(duì)比Fig.8 Comparison of instantaneous frequency for the simulation

3.3 Hilbert能量譜的比較

為進(jìn)一步對(duì)比僅采用極值點(diǎn)對(duì)稱延拓、僅采用端部數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓以及聯(lián)合對(duì)稱延拓后端點(diǎn)效應(yīng)的改善效果，現(xiàn)從Hilbert能量譜的角度展示三種方法對(duì)應(yīng)的信號(hào)能量分布情況。如圖9(a)、圖9(b)所示，單一方法在原信號(hào)并不存在的0.01 Hz上分布了較高的能量，出現(xiàn)了模態(tài)混疊。經(jīng)聯(lián)合對(duì)稱延拓后，如圖9 (c)所示，Hilbert能量分別集中于仿真信號(hào)的三個(gè)主要頻率成份，可見(jiàn)本文方法還具有避免模態(tài)混疊的效果。

圖9 仿真信號(hào)的Hilbert能量譜對(duì)比Fig.9 Comparison of Hilbert energy spectra for the simulation

3.4 評(píng)價(jià)指標(biāo)的比較

為進(jìn)一步評(píng)價(jià)端點(diǎn)處理的效果，能量比θ、IO值、用時(shí)t等評(píng)價(jià)指標(biāo)，如表1所示。

表1 各種延拓方法評(píng)價(jià)指標(biāo)

顯然，任意一種端點(diǎn)處理方法均能達(dá)到抑制端點(diǎn)效應(yīng)的目的。其中，聯(lián)合對(duì)稱延拓的能量一致性和局部正交性最優(yōu)；計(jì)算用時(shí)方面，即使在普通計(jì)算機(jī)上運(yùn)行也與其他方法不相上下；并且，該方法相對(duì)其他兩種單一處理方法而言，具有一次延拓一舉解決兩階段端點(diǎn)效應(yīng)的優(yōu)勢(shì)，還可緩解模態(tài)混疊。

4 地震響應(yīng)非線性特征分析

現(xiàn)進(jìn)行單自由度體系在地震作用下的彈性時(shí)程分析和彈塑性時(shí)程分析，并通過(guò)HHT進(jìn)行地震響應(yīng)的非線性力學(xué)行為研究。為避免阻尼對(duì)分析結(jié)果的干擾，阻尼比不參與計(jì)算。

4.1 線性體系動(dòng)力響應(yīng)HHT分析

將峰值為200 gal、持時(shí)為30 s的Elcentro地震波輸入基本頻率為3.25 Hz的單自由度線性體系，經(jīng)彈性時(shí)程分析得絕對(duì)加速度響應(yīng)，如圖10所示。該響應(yīng)端點(diǎn)處理前后的EMD分解結(jié)果比較及Hilbert能量譜的比較，分別如圖11和圖12所示。

如圖11(a)所示，未經(jīng)端點(diǎn)處理時(shí)，C2～C6為端點(diǎn)效應(yīng)引起的虛假模態(tài)分量，并導(dǎo)致了圖12(a)Hilbert能量譜在0.16 Hz附近出現(xiàn)虛假主導(dǎo)頻率。

經(jīng)本文方法端點(diǎn)處理后，圖11(b)中C1～C7均描述了線性體系動(dòng)力響應(yīng)的本征振動(dòng)模態(tài)。其中，C1分量幅值最大，頻率如圖12(b)所示保持在以基本頻率3.25 Hz為中心的窄小頻帶內(nèi)，反映了線性體系自振特性對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響，說(shuō)明線性結(jié)構(gòu)對(duì)輸入信號(hào)具有濾波和放大的作用。而C2～C7則來(lái)源于非平穩(wěn)地震動(dòng)自身的波內(nèi)調(diào)制(即一個(gè)IMF分量?jī)?nèi)頻率隨時(shí)間不斷小幅變化)，其值微小至可忽略不計(jì)，說(shuō)明地震動(dòng)原有的波內(nèi)調(diào)制在通過(guò)結(jié)構(gòu)體系后即被相應(yīng)地 “濾掉”。

圖10 線性體系加速度響應(yīng)Fig.10 Acceleration of linear system

圖11 線性體系加速度響應(yīng)EMD分解結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison of EMD decomposition for acceleration of the linear system

圖12 線性體系加速度響應(yīng)Hilbert能量譜對(duì)比Fig.12 Comparison of Hilbert energy spectra of linear system

4.2 非線性體系動(dòng)力響應(yīng)HHT分析

將峰值為400 gal、持時(shí)為30 s的Elcentro地震波輸入基本自振周期為3.25 Hz的非線性體系，彈塑性時(shí)程分析采用三線性剛度退化模型，第一剛度折減系數(shù)為0.4，第二剛度折減系數(shù)為0.1。取開(kāi)裂位移為1 mm，屈服位移為6 mm。經(jīng)彈塑性時(shí)程分析的結(jié)構(gòu)絕對(duì)加速度響應(yīng)，如圖13所示。

圖13 非線性體系加速度響應(yīng)Fig.13 Acceleration of non-linear system

從絕對(duì)加速度響應(yīng)的EMD分解結(jié)果來(lái)看，圖14(a)中C2～C6存在明顯的端點(diǎn)發(fā)散，并導(dǎo)致圖15(a)Hilbert能量譜在0.09 Hz處出現(xiàn)虛假主導(dǎo)頻率。經(jīng)本文方法處理后，圖14(b)則表現(xiàn)為符合IMF兩個(gè)基本特征的本征模態(tài)分量，對(duì)應(yīng)的圖15(b)Hilbert能量譜也更具合理性。

圖14 非線性體系加速度響應(yīng)EMD分解結(jié)果對(duì)比Fig.14 Comparison of EMD decomposition for acceleration of the non-linear system

圖15 非線性體系加速度響應(yīng)Hilbert能量譜對(duì)比Fig.15 Comparison of Hilbert energy spectrum of non-linear system

由于各IMF分量的幅值和頻率都隨時(shí)間不停變化著，說(shuō)明體系的加速度響應(yīng)是若干IMF分量波間組合與各IMF分量波內(nèi)調(diào)節(jié)共同作用的結(jié)果。這種波內(nèi)調(diào)制或來(lái)自于輸入的地震動(dòng)，或來(lái)源于結(jié)構(gòu)的阻尼特性，或來(lái)自于體系屈服與卸載的非線性力學(xué)行為。如“4.1”所述，地震動(dòng)的波內(nèi)調(diào)制可被體系相應(yīng)濾掉，又因本算例不計(jì)阻尼，不存在阻尼使頻帶擴(kuò)展的可能性。因此，體系的非線性是造成加速度時(shí)程蘊(yùn)含波內(nèi)調(diào)制的主要原因，非線性體系Hilbert能量譜也正由于這種波內(nèi)調(diào)節(jié)機(jī)制形成了分布離散的寬頻帶，如圖15(b)所示。這一寬頻帶的產(chǎn)生具有明確的物理意義：它是非線性體系在地震動(dòng)輸入下非線性力學(xué)行為的標(biāo)志。

并且，主導(dǎo)頻率并非結(jié)構(gòu)的基本自振頻率，而是向低頻方向飄移，如圖15(b)所示。這是由于非線性體系同時(shí)受初始頻率、開(kāi)裂頻率和屈服頻率的影響，因此其主導(dǎo)頻率并不對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)基本頻率，而有向著開(kāi)裂頻率和屈服頻率靠近的趨勢(shì)。這是動(dòng)力響應(yīng)非線性特征的又一個(gè)標(biāo)志。

5 結(jié) 論

本文分析了EMD分解與Hilbert變換兩階段產(chǎn)生端點(diǎn)飛翼的原因，提出基于數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓的改進(jìn)思路，給出改進(jìn)的技術(shù)要點(diǎn)。經(jīng)仿真信號(hào)和實(shí)際地震響應(yīng)非線性力學(xué)特征的分析，得到如下結(jié)論：

(1) 端部數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓可避免信號(hào)數(shù)據(jù)迅速受到端點(diǎn)效應(yīng)的“污染”，并緩解Hilbert變換卷積計(jì)算中的“褶皺”現(xiàn)象；數(shù)據(jù)延拓對(duì)稱點(diǎn)的判別可避免包絡(luò)線在端點(diǎn)處突然收縮，產(chǎn)生畸形；端部數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓后再對(duì)稱延拓極值點(diǎn)可進(jìn)一步調(diào)整包絡(luò)線走勢(shì)，使其更加接近理想曲線。

(2) 仿真信號(hào)的驗(yàn)證算例表明，經(jīng)數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓后，EMD分解和Hilbert變換兩階段的端點(diǎn)飛翼現(xiàn)象均得到了良好的抑制。與極值點(diǎn)對(duì)稱延拓、端部數(shù)據(jù)對(duì)稱延拓等單一處理方法相比，本文方法在計(jì)算用時(shí)相當(dāng)?shù)那疤嵯拢它c(diǎn)處理效果更佳，還可減小模態(tài)混疊、改善局部正交性、所獲得的Hilbert能量更為集中。并且，該方法簡(jiǎn)單易實(shí)施，只需在EMD分解之前一次延拓，在隨后的Hilbert變換中無(wú)需再進(jìn)行端點(diǎn)處理。

(3) 實(shí)際地震動(dòng)響應(yīng)的HHT分析表明，數(shù)據(jù)/極值聯(lián)合對(duì)稱延拓法可抑制由于端點(diǎn)飛翼產(chǎn)生的多余虛假能量。由該方法所產(chǎn)生的良好端點(diǎn)效應(yīng)抑制效果是進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)非線性力學(xué)特征分析的必備前提。倘若端點(diǎn)效應(yīng)使HHT結(jié)果失真，則后續(xù)的非線性力學(xué)特征分析將失去意義。

(4) 經(jīng)端點(diǎn)效應(yīng)處理后的HHT以蘊(yùn)涵在結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)本征振動(dòng)模態(tài)中的波內(nèi)調(diào)節(jié)機(jī)制來(lái)描述體系非線性力學(xué)行為。這種波內(nèi)調(diào)節(jié)機(jī)制將使相應(yīng)的IMF的瞬時(shí)頻率產(chǎn)生波動(dòng)，并必然導(dǎo)致體系動(dòng)力響應(yīng)的Hilbert能量譜中出現(xiàn)“頻帶展寬”和“主導(dǎo)頻率飄移”的現(xiàn)象。

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AprocessmethodforendeffectsofHHTbasedondata/extremasymmetricalextensionanditsapplication

WUChen1,2,XIANGHong1,2,DUXipeng1,2

(1.SchoolofCivilEngineering,FujianUniversityofTechnology,Fuzhou350118,China;2.FujianProvincialKeyLaboratoryofAdvancedTechnologyandInformatizationinCivilEngineering,Fuzhou350118,China)

End effects appear in EMD decomposition because an end point is not an extreme point and the requirements of spline interpolation can not be met. End effects are produced in Hilbert transform due to the convolution calculation and the energy leakage of Fourier transform. In this paper, a data/ extrema symmetrical extension method was proposed to solve the problem. Using end data symmetrical extension, the end swings resulted from EMD and Hilbert transform could be released to the outside of the data. Through extrema symmetrical extension, the shape of the cubic spline envelope curve was further controlled and the envelope curve of the original data was more accurate. The simulation demonstrates the effectiveness of the method. When this method is applied to the structural dynamic non-linear characteristics analysis, clear physical meaning and two non-linear mechanical characteristics including "frequency band extension" and "main frequency drift" can be described accurately.

Hilbert-Huang transforms; end data; extrema; symmetrical extension; non-linear mechanical characteristics

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51108083)；福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015J01631)；福建省高校新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(GYZ-160144)；福建工程學(xué)院科研發(fā)展基金(GYZ-160126)

2016-06-23 修改稿收到日期： 2016-09-15

吳琛 女，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，1978年生

TN911.72; TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.028