軸向功能梯度變截面Timoshenko梁自由振動的研究

葛仁余， 張金輪， 姜忠宇， 韓有民， 索小永， 牛忠榮

(1.安徽工程大學 力學重點實驗室， 安徽 蕪湖 241000； 2.合肥工業大學 土木與水利工程學院， 合肥 230009)

軸向功能梯度變截面Timoshenko梁自由振動的研究

葛仁余1， 張金輪1， 姜忠宇1， 韓有民1， 索小永1， 牛忠榮2

(1.安徽工程大學 力學重點實驗室， 安徽 蕪湖 241000； 2.合肥工業大學 土木與水利工程學院， 合肥 230009)

功能梯度材料可以提高結構的強度、改善質量分布和保證工程結構的完整性，因此軸向功能梯度變截面梁已廣泛應用于土木、機械和航空工程。提出了用插值矩陣法計算軸向功能梯度Timoshenko梁自由振動固有頻率；基于Timoshenko梁理論，將軸向功能梯度Timoshenko梁自由振動固有頻率的計算轉化為一組非線性變系數常微分方程特征值問題；運用插值矩陣法可一次性地計算出軸向功能梯度變截面梁各階振動固有頻率，并可同時獲取相應的振型函數。該方法對于材料梯度函數和截面幾何輪廓的具體形式無任何限制條件，計算結果與現有結果對比，發現吻合良好，表明了該方法的有效性。

變截面梁；橫向振動；固有頻率；插值矩陣法；功能梯度材料

功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)是一種新型復合材料，將多種性能各異的材料按照設計意愿，形成材料的物理性能連續變化的組織和結構，同時使不同材料結合部位的界面消失，避免了材料物理性能的不連續性和應力集中，材料的性能在空間沿某個方向連續變化，以滿足各種特殊工程結構的需要[1]。

目前，材料性能沿厚度方向梯度變化的功能梯度梁關于彎曲變形、自由振動和穩定性已有了大量的研究，文獻[2]假設材料的彈性模量沿厚度方向按指數型函數連續變化，研究了受橫向荷載作用的功能梯度簡支梁的彈性解。文獻[3]開發了一種新型梁單元研究了材料的力學、熱學性能沿厚度方向梯度變化的熱彈性問題；文獻[4]提出遺傳算法來優化沿厚度方向梯度變化的功能梯度梁固有頻率；文獻[5]分析了沿厚度方向按冪律和指數律連續變化功能梯度簡支梁的解析解。

相對各向同性均勻性材料，軸向功能梯度梁的振動問題研究比較復雜，因為材料的彈性模量、剪切模量和密度沿軸線方向連續變化，這些性質導致梁結構振動問題數學模型的實質就是求解變系數常微分方程問題，通常情況下很難獲得軸向功能梯度梁自由振動的解析解，因此國內有關軸向功能梯度梁振動的研究文獻相對較少；文獻[6]將非均質錐形變截面Timoshenko梁看作成許多小的均質梁組合進行研究；文獻[7]研究了阻尼對非均質變截面Timoshenko梁的影響；文獻[8-9]分別運用微分變換單元法和有限元方法研究了軸向功能梯度變截面Timoshenko梁的自由振動和穩定性問題；文獻[10]提出了利用Fredholm積分方程來研究軸向功能梯度變截面梁的自由振動問題，并確定了特定邊界條件下梁的固有頻率；文獻[11-12] 利用半逆解法研究了梁的材料性質按特殊形式的多項式函數梯度變化的自由振動問題；文獻[13-14] 針對特殊梯度變化情況研究了不同邊界條件下功能梯度變截面Eular-Bernoulli梁的自由振動問題。

本文提出采用插值矩陣法(Interporlating Materix Method, IMM)[15]研究軸向功能梯度Timoshenko梁自由振動的一個新途徑。基于Timoshenko梁理論推導出功能梯度梁自由振動方程，將軸向功能梯度Timoshenko梁自由振動固有頻率的計算轉化為一組變系數常微分特征方程的特征值問題求解，運用插值矩陣法求解該變系數常微分方程組，可獲得軸向功能梯度梁自由振動前若干階固有頻率及其相應的振型函數，且變系數常微分方程組里出現的所有振型函數及其各階導函數的計算值具有同等精度，在利用振型函數及其導函數計算梁橫向振動的彎矩和剪力時，這是一個顯著優點， 而差分法和有限元法求解振型函數導函數的精度是逐次降階的。

1 基本理論和計算方法

考慮一長度為l且材料性能和截面面積沿軸向x任意連續變化的Timoshenko梁，發生自由振動時，其撓度設為w(x,t)、轉角為θ(x,t)。假設材料的彈性模量為E(x)，材料的密度為ρ(x)，截面面積為A(x)，截面轉動慣量為I(x)，均為x的函數，即E(x)=E0f1(x)，ρ(x)=ρ0f2(x)，A(x)=A0h1(x)，I(x)=I0h2(x)，G(x)為材料的剪切彈性模量，κ為剪切系數，v為泊松比，其中，E0,ρ0,A0,I0對應于軸向功能梯度梁在左端邊界x=0位置材料的彈性模量、密度、截面積和截面慣性矩，如圖1所示。

Timoshenko梁的自由振動方程為

(1)

圖1 軸向功能梯度變截面Timoshenko梁Fig.1 Schematic of an axially functionally graded Timoshenko beams with varying section

(2)

本文主要考慮梁的自由振動以及諧波振動問題，則

w(x,t)=W(x)sinωt，θ(x,t)=Θ(x)sinωt

(3)

可得

(4)

(5)

式中：r為影響梁橫截面轉動慣量的無量綱回轉半徑；s為影響梁剪切變形的無量綱參量；Ω為梁的無量綱固有頻率。為描述方便，令

代入式(4)、式(5)可得

Θ″(ξ)+g111(ξ)Θ′(ξ)-g110(ξ)Θ(ξ)+
g121(ξ)U′(ξ)+λq110(ξ)Θ(ξ)=0

(6)

U″(ξ)+g221(ξ)U′(ξ)-Θ′(ξ)-g210(ξ)Θ(ξ)+
λq220(ξ)U(ξ)=0

(7)

為方便描述梁的邊界條件，采用標記C，H和F分別表示固定、鉸支和自由3種邊界條件，如C-F表示梁的邊界條件為左端固定、右端自由，本文Timoshenko梁自由振動的邊界條件為

簡支-簡支梁(H-H)

Θ′(ξ0)=0,U(ξ0)=0

Θ′(ξn)=0,U(ξn)=0

固支-固支梁(C-C)

Θ(ξ0)=0,U(ξ0)=0

Θ(ξn)=0,U(ξn)=0

固支-自由梁(C-F)

Θ(ξ0)=0,U(ξ0)=0

Θ′(ξn)=0,U′(ξn)-Θ(ξn)=0

圖2為功能梯度梁IMM計算模型，將區間[0,1]劃分為n段，0=ξ0,ξ1,ξ2,…,ξn-1,ξn=1，Δli=ξi-ξi-1=1/n利用差分法將變系數常微分方程組中兩個函數Θ(ξ),U(ξ)的導數值用區間劃分點上的函數值表示。

圖2 軸向功能梯度梁插值矩陣法計算模型Fig.2 IMM computation mode of an axially functionally graded beams

(8)

式(3)中的Θ″(ξ)和U″(ξ)用插值函數來逼近，設

(9)

式中，Li(ξ)為拉格朗日插值基函數，所以

(10)

引入向量和矩陣符號

式中，矩陣D稱為積分矩陣，僅依賴于插值基函數Li(ξ)，采用二次拋物線插值，其基函數為

將式(6)和式(7)中的Θ(ξ)函數、U(ξ)及其各階導函數寫成向量形式為

Θ′=τΘ(ξ0)+σΘ′(ξ0)+DΘ″=

U′=τU(ξ0)+σU′(ξ0)+DU″=

H1=[τ,σ,D](n+1)×(n+3)

(11a)

將低階導函數順次地采用高階導函數替換，逐步遞推可得

Θ=σΘ(ξ0)+DσΘ′(ξ0)+D2Θ″=

U=σU(ξ0)+Dσ·U′(ξ0)+D2U″=

H0=[σ,Dσ,D2](n+1)×(n+3)

(11b)

Θ″=τΘ(ξ0)+τΘ′(ξ0)+IΘ″=

U″=τU(ξ0)+τU′(ξ0)+IU″=

H2=[τ,τ,I](n+1)×(n+3)

(11c)

其中，

Θ={Θ(ξ0),Θ(ξ1),Θ(ξ2),…,Θ(ξn)}T，

Θ′={Θ′(ξ0),Θ′(ξ1),Θ′(ξ2),…,Θ′(ξn)}T，

Θ″={Θ″(ξ0),Θ″(ξ1),Θ″(ξ2),…,Θ″(ξn)}T，

U={U(ξ0),U(ξ1),U(ξ2),…,U(ξn)}T，

U′={U′(ξ0),U′(ξ1),U′(ξ2),…,U′(ξn)}T，

U″={U″(ξ0),U″(ξ1),U″(ξ2),…,U″(ξn)}T

將式(6)和式(7)振動微分方程組中變系數寫成對角陣形式

G111=diag(g111(ξ0),g111(ξ1),…,g111(ξn)),

G110=diag(g110(ξ0),g110(ξ1),…,g110(ξn)),

G121=diag(g121(ξ0),g121(ξ1),…,g121(ξn)),

Q110=diag(q110(ξ0),q110(ξ1),…,q110(ξn)),

G221=diag(g221(ξ0),g221(ξ1),…,g221(ξn)),

G210=diag(g210(ξ0),g210(ξ1),…,g210(ξn)),

Q220=diag(q220(ξ0),q220(ξ1),…,q220(ξn)),

(12)

將式(11)和式(12)代入式(6)和式(7)中，則功能梯度Timoshenko梁自由振動方程寫成向量形式為

(13a)

(13b)

不失一般性，以兩端固支梁(C-C)情況為例進行討論，則相應的邊界條件用向量可表示為

(14)

聯立式(13)和式(14)，將Timoshenko梁自由振動控制微分方程和邊界條件合并寫成矩陣形式為

(15)

2 數值算例與討論

考慮一長度為l的Timoshenko梁，設無量綱回轉半徑、剪切系數和材料泊松比分別為r=0.01、κ=5/6、v=0.3，設梁的橫截面面積為以下兩種情形

(16)

式中：c為變截面錐度系數；x為從梁的左端起點沿軸線方向的坐標；當c=0時，表示為等截面梁，當c=1時，表示為錐形梁，當clt;0時，表示為梁的橫截面從左端到右端逐漸增大。設軸向功能梯度Timoshenko梁的材料由鋁和氧化鋯組成，它們的彈性模量和密度分別為Ea=70 GPa；ρa=2 702 kg/m3；Ez=200 GPa；ρz=5 700 kg/m3，材料的物理性能隨坐標x變化關系為

(17)

式中，m為影響材料性能的非均勻性參數。

2.1 變截面錐度系數c對自由振動固有頻率的影響

運用IMM計算軸向功能梯度Timoshenko梁自由振動固有頻率，在不同的邊界條件下，考慮非均勻性參數m=2，錐度系數c取不同的值時，Timoshenko梁自由振動前4階固有頻率計算值如表1～表3所列，表1～表3中給出了網格密度n=10,20,40的IMM計算結果，從表中可知，隨著區間劃分點數n的加倍，IMM計算結果幾乎按數量級加速收斂，當n=40時，計算結果與文獻[8]結果完全吻合，說明了IMM計算軸向功能梯度Timoshenko梁自由振動固有頻率給出了非常好的結果。由表1～表3計算結果可知，邊界條件為C-C、H-H時，隨著錐度系數c值的增大，梁的第1階固有頻率減小；而邊界條件為C-F時，隨著錐度系數值的c增大，梁的第1階固有頻率增大。

2.2材料非均勻性參數m對自由振動固有頻率的影響

運用本文的數值計算方法，在不同的邊界條件下，考慮錐度系數c=0.2，非均勻性參數m取不同的值時，給出了網格密度n=10,20,40,80時變截面Timoshenko梁自由振動前4階固有頻率計算值如表4～表6所列，當區間劃分點數n=40時計算結果開始收斂，與區間劃分點數n=80時計算結果趨同，其中第1階固有頻率有5位有效數字相同，第2階、第3階固有頻率有4位有效數字相同。因此，本文插值矩陣法取區間劃分點數n=80時的計算結果可以作為變截面Timoshenko梁自由振動固有頻率實際結果。由表4～表6計算結果可見，邊界條件為C-C、C-F時，隨著非均勻性參數m值的增大，梁的第1階固有頻率減小；而邊界條件為H-H時，隨著非均勻性參數m值的增大，梁的第1階固有頻率增大。

表1 錐度系數取不同值時，兩端固支軸向功能梯度變截面Timoshenko梁固有頻率計算值

表2 錐度系數取不同值時，兩端鉸支軸向功能梯度變截面Timoshenko梁固有頻率計算值

表3 錐度系數取不同值時，一端固支一端自由軸向功能梯度變截面Timoshenko梁固有頻率計算值

表4 非均勻性參數取不同值時，兩端固支軸向功能梯度變截面Timoshenko梁固有頻率計算值

表5 非均勻性參數取不同值時，兩端鉸支軸向功能梯度變截面Timoshenko梁固有頻率計算值

表6 非均勻性參數取不同值時，一端固支一端自由軸向功能梯度變截面Timoshenko梁固有頻率計算值

2.3材料非均勻性參數m對等截面梁振型函數曲線的影響

本文的數值計算方法不但可計算出軸向功能梯度Timoshenko梁自由振動前若干階固有頻率，同時相應的振型函數Θ(x)和U(x)一并解出，圖3為軸向功能梯度等截面Timoshenko梁在不同的邊界條件下材料非均勻性參數m=1和m=5時，第1階固有頻率對應的振型函數Θ(x)和U(x)的分布曲線圖，從圖3可知，材料的非均勻性參數m對梁自由振動的振型函數的影響不容忽略。

圖3 不同的邊界條件下材料非均勻性參數m對梁的振型函數分布曲線的影響Fig.3 Variation of the mode shape with the material non-homogeneity parameter (m) for different BCs

4 結 論

本文基于Timoshenko梁理論，將軸向功能梯度變截面Timoshenko梁自由振動固有頻率的計算轉化為一組變系數常微分方程組特征值問題，然后，運用IMM計算已建立的變系數常微分方程組，從而獲得軸向功能梯度變截面Timoshenko梁自由振動前若干階固有頻率，本文具有以下優點：

(1) 軸向功能梯度變截面梁振動問題的復雜性存在于振動方程是一組變系數常微分方程，因此只有一些特殊情況才能獲得解析解。本文方法可避免迭代方法計算超越方程，一次性地計算出軸向功能梯度變截面Timoshenko梁的自由振動固有頻率。本文方法計算量小、計算精度高和適應性強，具有一定的工程應用價值。

(2) 本文方法既可計算出軸向功能梯度Timoshenko梁自由振動前若干階固有頻率，同時相應的振型函數也一并解出，基于計算結果可知：材料的非均勻性參數對振型函數的分布曲線影響較大。

(3) 解析法分析軸向功能梯度變截面Timoshenko梁的自由振動時，只能局限于特定形式的材料梯度函數和截面幾何性質函數，而本文方法對于材料的梯度函數和截面幾何輪廓的具體形式無需任何限制條件。

[ 1 ] BIRMAN V, BYRD L W. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures[J]. Applied Mechanics Reviews,2007, 60(5): 195-216.

[ 2 ] SANKAR B V. An elasticity solution for functionally graded beams [J].Composites Science amp; Technology, 2001, 61 (5): 689-696.

[ 3 ] CHAKRABORTY A, GOPALAKRISHNAN S, REDDY J N. A new beam finite element for the analysis of functionally graded materials [J]. International Journal of Mechanical Sciences，2003,45(3): 519-539.

[ 4 ] GOUPEE A J, SENTHIL S V. Optimization of natural frequencies of bidirectional functionally graded beams [J]. Structural amp; Multidisciplinary Optimization，2006,32(6): 473-484.

[ 5 ] AYDOGDU M, TASKIN V, Free vibration analysis of functionally graded beams with simply supported edges [J]. Materials amp; Design，2007, 28 (5): 1651-1656.

[ 6 ] TONG X, TABARROK B, YEH K Y. Vibration analysis of Timoshenko beams with non-homogeneity and varying cross-section [J]. Journal of Sound amp; Vibration，1995,186(5): 821-835.

[ 7 ] SORRENTINO S, FASANA A, MARCHESIELLO S. Analysis of non-homogeneous Timoshenko beams with generalized damping distributions [J]. Journal of Sound amp; Vibration，2007, 304(3): 779-792.

[ 8 ] RAJASEKARAN S, TOCHAEI E N. Free vibration analysis of axially functionally graded tapered Timoshenko beams using differential transformation element method and differential quadrature element method of lowest-order[J]. Meccanica, 2014, 49(4): 995-1009.

[ 9 ] SHAHBA A, ATTARNEJAD R, MARVI M T, et al. Free vibration and stability analysis of axially functionally graded tapered Timoshenko beams with classical and non-classical boundary conditions [J]. Composites Part B Engineering，2011,42(4): 801-808.

[10] HUANG Y, LI X F. A new approach for free vibration analysis of axially functionally gradedbeams with non-uniform cross-section [J].Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(11): 2291-2303.

[11] ELISHAKOFF I, CANDAN S. Apparently first closed-form solutions for vibrating in homogeneous beams[J].International Journal of Solids and Structures,2001,38(19): 3411-3441.

[12] CALIO I, ELISHAKOFF I. Closed-form trigonometric solutions for inhomogeneous beam columns on elastic foundation [J]. International Journal of structural Stability and Dynamics, 2004, 4(1): 139-146.

[13] HEIN H, FEKLISTOVA L. Free vibrations of non-uniform and axially functionally graded beams using Haar wavelets [J].Engineering Structures, 2011, 33(12): 3696-3701.

[14] MABIE H H, ROGERS C B. Transverse vibrations of tapered cantilever beams with end loads [J]. Journal of the Acoustical Society of America, 1964, 36(3): 463-469.

[15] NIU Zhongrong, GE Dali, CHENG Changzheng, et al. Determining stress singularity exponents of plane V-notches in bonded bimaterial [J].Journal of University of Science and Technology of China, 2008, 38(3): 314- 319.

FreevibrationanalysisofaxiallyfunctionallyTimoshenkobeamswithanon-uniformcross-section

GERenyu1,ZHANGJinlun1,JIANGZhongyu1,HANYoumin1,SUOXiaoyong1,NIUZhongrong2

(1.KeyLaboratoryforMechanics,AnhuiPolytechnicUniversity,Wuhu241000,China; 2.SchoolofCivilEngineering,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China)

Non-uniform beams with varying axially material properties are widely used in civil, mechanical and aeronautical engineering, due to the fact that they can improve distribution of strength and weight, and guarantee structural integrity. In this paper, an interpolating matrix method (IMM) for determining the natural frequencies of free transverse vibration of axially functionally graded Timoshenko beams was proposed. Firstly, based on the Timoshenko beam theory, the governing equations of free vibration analysis of an axially functionally graded Timoshenko beam were transformed into a set of nonlinear characteristic ordinary differential equations with variable coefficients. Then, the interpolating matrix method (IMM) was adopted to solve the established equations. All the natural frequencies of free transverse vibration companying with the corresponding vibration mode functions of the axially functionally graded beam were calculated at a time. Furthermore, the present methods do not pose any restrictions on both the type of material gradation and the variation of the cross section profile. By comparing with the existing results of numerical examples, the validity of the present method was confirmed.

variable cross-section beam; transverse vibration; natural frequency; the interpolating matrix method； functionally graded material (FGM)

國家自然科學基金資助項目(11272111)；安徽省高校自然科學研究重點項目(KJ2016A055)

2016-11-08 修改稿收到日期： 2017-01-20

葛仁余 男，博士，副教授，1969年生

張金輪 男，博士生，講師，1984年生

O326

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.025