一種改進的適用于不同地形的GPS高程擬合模型

田 曉，鄭洪艷，許明元，張 超

(中國地震局第一監(jiān)測中心，天津 300180)

一種改進的適用于不同地形的GPS高程擬合模型

田 曉，鄭洪艷，許明元，張 超

(中國地震局第一監(jiān)測中心，天津 300180)

根據(jù)GPS高程擬合中不同擬合模型的特點，利用多面函數(shù)較好的整體擬合性和移動法靈活的局部擬合性，提出了一種基于多面函數(shù)和移動法的綜合模型。3種不同地形的算例表明，本文提出的綜合模型在不同地形條件下較其他兩種綜合模型擬合效果更好，即擬合精度更高，殘差更穩(wěn)定。

GPS高程擬合；不同地形；多面函數(shù)；移動法；綜合模型

目前，人們能夠利用GPS在10-7乃至更高的精度上，經(jīng)濟而快速地獲得所測點位的平面坐標，但是一直不能以相應的精度獲得點位的海拔高程。GPS測量獲得的高程是以WGS-84橢球面為基準面的大地高H，而我國的高程系統(tǒng)采用的是以似大地水準面為基準面的正常高h，兩者的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

ξ=H-h

(1)

式中，ξ為似大地水準面到參考橢球面的距離，稱為高程異常。由于WGS-84橢球面與似大地水準面之間關(guān)系非常復雜，導致高程異常值不能用某個數(shù)學函數(shù)準確表達，因此GPS高程在實際應用中受到很大限制。要想利用GPS測得的高程代替常規(guī)的水準測量，獲得高精度的水準高程，其中高程異常的擬合是關(guān)鍵。

常用的GPS高程異常擬合方法有二次曲面擬合法、多面函數(shù)擬合法、移動曲面擬合法、Shepard擬合法、Kriging法、最小二乘配置法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡法等[1-5]。不同的方法具有不同的特點，適應性也不同。單一模型往往存在一定的模型誤差，擬合效果不是很穩(wěn)定。文獻[6—8]研究了幾種綜合模型，并得出了綜合模型優(yōu)于單一模型的結(jié)論。本文在以上研究的基礎上，提出基于多面函數(shù)和移動法的綜合模型，并與其他兩種綜合模型進行比較。通過不同地形的算例表明，該模型在不同地形條件下的擬合效果都優(yōu)于其他兩種綜合模型。

1 GPS高程擬合數(shù)學模型

1.1 多面函數(shù)擬合法

多面函數(shù)擬合法是由Hardy教授提出的，其基本思想是：任何數(shù)學表面和不規(guī)則圓滑表面，總可用一系列規(guī)則的數(shù)學表面的和以任意精度逼近。其一般形式為

(2)

式中，aj為待定系數(shù)；Qx,y,xj,yj是多面函數(shù)的核函數(shù)。核函數(shù)有多種類型，常用的是具有對稱性的距離型核函數(shù)和錐面函數(shù)，其中具有對稱性的距離型核函數(shù)表達式為

(3)

式中，δ為平滑因子，通常可取一小正數(shù)或0；μ一般取1/2或-1/2。μ=1/2時，核函數(shù)稱為正雙曲面函數(shù)；μ=-1/2時，核函數(shù)稱為倒雙曲面函數(shù)。

錐面函數(shù)表達式為

(4)

式中，c為待定參數(shù)。

設有m個已知GPS水準點xi,yi，選取其中nn≤m個點作為核函數(shù)的中心點xj,yj，令Qij=Qxi,yi,xj,yj，則各數(shù)據(jù)點應滿足

(5)

由此可列出誤差方程

V=QX-ξ

(6)

根據(jù)最小二乘原理可求得待定系數(shù)X，即

(7)

待定系數(shù)求出后，根據(jù)式(5)可計算測區(qū)各待定點的高程異常值。

需要注意的是，應用多面函數(shù)擬合高程異常時，要根據(jù)測區(qū)大小和地形情況確定合適的核函數(shù)、平滑因子和中心點個數(shù)。

1.2 移動曲面擬合法

移動曲面擬合法的基本原理是以每一個待定點為中心，選取待定點周圍適量的已知點，擬合出一個多項式曲面，進而內(nèi)插出待定點上的函數(shù)值，是一種特殊的局部函數(shù)逼近法。采用此方法擬合，在每個待定點上都可單獨求定一個擬合函數(shù)，直接得到待定點上的擬合值，計算比較靈活。

為了選取鄰近的數(shù)據(jù)點，以待定點Pxp,yp為圓心、R為半徑作圓，凡落在圓內(nèi)的數(shù)據(jù)點即被選用。所選擇的點數(shù)根據(jù)所采用的局部擬合函數(shù)來確定，若是二次曲面擬合，則要求選用的數(shù)據(jù)點個數(shù)ngt;6，若選擇的點數(shù)不夠時，則應增大半徑R，直至數(shù)據(jù)點的個數(shù)n滿足要求。因此實際應用時要根據(jù)情況選擇合適的半徑R。

根據(jù)已知點與待定點間的距離進行定權(quán)，權(quán)的引入是為了確定各已知點對待定點的影響程度，兩點間距離越近影響程度越大，這與測量平差中權(quán)根據(jù)誤差來定義是不同的。常采用的權(quán)有以下幾種形式

在進行擬合計算前，可以先將參與擬合的各數(shù)據(jù)點坐標進行中心化處理，即將各點坐標減去待定點P的坐標，這樣轉(zhuǎn)換以后就變成以P為原點的坐標。

(8)

(9)

2 基于多面函數(shù)和移動法的綜合模型

多面函數(shù)擬合法對整體性變化的擬合效果較好，但需要確定合適的模型參數(shù)，對局部變化擬合效果較差；而移動擬合法是以待定點為中心，以一定距離為半徑，用一個多項式曲面擬合中心點函數(shù)值的局部擬合法，此處移動多項式多為平面模型或二次曲面模型。為此，可以結(jié)合兩者優(yōu)點，采用先進行多面函數(shù)擬合，再對剩余殘差進行移動法擬合的綜合模型擬合高程異常。這很類似于組合法確定似大地水準面中的“移去-恢復法”，具體步驟如下:

(2) 求出m個GPS水準點上的擬合殘差v

v=ξN-ξ

(10)

(11)

由于Shepard擬合法也可較好地體現(xiàn)出局部高程異常的變化規(guī)律，文獻[6]中的多面函數(shù)與Shepard插值綜合模型和文獻[7]中的基于二次曲面的Shepard擬合模型都將上述步驟中的第2次擬合采用Shepard擬合法擬合殘差v′。兩者都采用了函數(shù)模型加隨機模型構(gòu)建綜合模型的思路，移動擬合法雖然是函數(shù)模型，但它具有很好的局部擬合性質(zhì)，加上其本身具有函數(shù)模型的趨勢性變化，因而可更好地進行局部擬合。本文將該綜合模型與文獻[6]和文獻[7]中的綜合模型進行了比較研究。

3 試驗算例與分析

為了得出比較可靠的結(jié)論，本文選取3個區(qū)域進行擬合計算，并將各個模型進行比較。

區(qū)域1位于東經(jīng)119.1°—120.1°，北緯31.1°—31.9°，總面積約8500 km2。該區(qū)域平均海拔10.5 m，屬平原地區(qū)。在該地區(qū)共測得142個GPS控制點，并進行三等水準聯(lián)測，所有點經(jīng)粗差探測后均不含粗差。對142個GPS水準點進行分組，選取其中均勻分布的110個點作為擬合點，其余32個點作為檢核點，進行擬合計算。點位分布如圖1所示。

圖1 平原地區(qū)點位分布

區(qū)域2位于東經(jīng)114°—116°，北緯26°—28°，總面積約44 000 km2。該區(qū)域?qū)偕降兀骄０?00多米，在該區(qū)域共獲得112個GPS水準點，均聯(lián)測了四等水準，所有點經(jīng)粗差探測均不含粗差。選取其中均勻分布的87個點作為擬合點，其余25個點作為檢核點，進行擬合計算。點位分布如圖2所示。

圖2 山地地區(qū)點位分布

區(qū)域3位于東經(jīng)113.6°—114.8°，北緯22.4°—23°，總面積約8300 km2。該區(qū)域?qū)偾鹆辏骄０?0多米，在該區(qū)域共獲得80個GPS水準點，并利用三等水準測量進行聯(lián)測，所有點經(jīng)粗差探測均不含粗差。選取其中均勻分布的60個點作為擬合點，其余20個點作為檢核點，進行擬合計算。點位分布如圖3所示。

圖3 丘陵地區(qū)點位分布

對上述3種地形的數(shù)據(jù)分別采用4種單一函數(shù)模型和3種綜合模型進行擬合計算，并根據(jù)檢核點的外符合精度m對不同擬合方法進行評價

(12)

方案1：將文獻[6]中的綜合模型與相應單一模型擬合比較，擬合精度見表1。

表1 多面函數(shù)+Shepard綜合模型與單一模型擬合比較 cm

方案2：將文獻[7]中的綜合模型與相應單一模型擬合比較，擬合精度見表2。

表2 二次曲面+Shepard綜合模型與單一模型擬合比較 cm

方案3：將基于多面函數(shù)和移動法的綜合模型與相應單一模型擬合比較，擬合精度見表3。

表3 多面函數(shù)+移動法綜合模型與單一模型擬合比較 cm

方案4：將基于多面函數(shù)和移動法的綜合模型與文獻[6]和文獻[7]中的綜合模型進行比較，擬合精度見表4。

表4 3種綜合模型擬合精度比較 cm

上述比較中，各個模型在不同地形條件下采用的參數(shù)不同，都是經(jīng)過多次試算選取的最佳參數(shù)。如多面函數(shù)在本文中的平原地區(qū)選取錐面函數(shù)作為核函數(shù)，其中參數(shù)c取100，采用48個點作為核函數(shù)中心點；在山地地區(qū)選取倒雙曲面函數(shù)作為核函數(shù)，平滑因子取0.5，采用45個點作為核函數(shù)中心點；在丘陵地區(qū)選取正雙曲面函數(shù)作為核函數(shù)，平滑因子取0.3，采用25個點作為核函數(shù)中心點。移動法根據(jù)不同地形條件選取最優(yōu)的擬合多項式、擬合半徑及權(quán)函數(shù)。Shepard擬合法根據(jù)不同地形條件選取最優(yōu)的擬合半徑。

為了直觀地看出3種綜合模型的擬合效果，下面給出3種綜合模型在3種不同地形中的檢核點殘差圖，如圖4—圖6所示。

圖4 平原地區(qū)3種綜合模型檢核點殘差

圖6 丘陵地區(qū)3種綜合模型檢核點殘差

由表1—表3可以看出，無論是平原、山地還是丘陵地區(qū)，3種綜合模型都比對應的單一模型擬合精度高。其中最明顯的是基于二次曲面的Shepard擬合模型，這是因為二次曲面和Shepard擬合法單獨擬合時精度都不是很高，而綜合模型可以將兩者的優(yōu)點有機地結(jié)合。其他兩種綜合模型都是基于多面函數(shù)的綜合模型，多面函數(shù)在理論上可以任意精度逼近任意不規(guī)則曲面，只要選取最優(yōu)的參數(shù)(核函數(shù)、平滑因子和中心點個數(shù))組合，應用多面函數(shù)模型就能取得良好的擬合效果，想在此基礎上提高很大的精度比較困難，因此這兩種綜合模型都比多面函數(shù)擬合精度稍高。不過在大面積的山地地區(qū)，這兩種綜合模型還是表現(xiàn)出了較大的優(yōu)勢。

由表4可以看出，3種綜合模型中，本文提出的基于多面函數(shù)和移動法的綜合模型在三種地形條件下的擬合精度都最高。從圖4—圖6的殘差圖可以看出，基于多面函數(shù)和移動法的綜合模型殘差震蕩最小，擬合的殘差最穩(wěn)定。而基于二次曲面的Shepard擬合模型殘差震蕩較大，說明該模型擬合殘差不穩(wěn)定。綜上，本文提出的綜合模型優(yōu)于其他兩種綜合模型。

4 結(jié) 論

(1) 3種綜合模型在3種不同地區(qū)都比對應的單一模型擬合精度高。

(2) 多面函數(shù)模型只要選取最優(yōu)的參數(shù)組合就能取得良好的擬合效果。基于多面函數(shù)的綜合模型在擬合精度上比多面函數(shù)略有提高，但是在大面積的山地地區(qū)優(yōu)勢明顯。

(3) 3種綜合模型中，本文提出的基于多面函數(shù)和移動法的綜合模型在3種地形條件下的擬合精度都最高，擬合殘差也最穩(wěn)定，有一定的實踐參考意義。

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AnImprovedGPSElevationFittingModelforDifferentTerrain

TIAN Xiao，ZHENG Hongyan，XU Mingyuan，ZHANG Chao

(First Crust Monitoring and Application Center, CEA, Tianjin 300180, China)

According to the characteristics of different fitting models in GPS height fitting, a synthetic model is created which combines a better overall fitting of multi-surface function and a flexible partial fitting of movement method. The synthetic model of this paper has a better fitting effect with higher precision and more stable error comparing with other two synthetic methods in three different terrain conditions.

GPS elevation fitting; different terrain; multi-surface function; movement method; synthetic model

P228.4

A

0494-0911(2017)01-0035-04

田曉，鄭洪艷，許明元,等.一種改進的適用于不同地形的GPS高程擬合模型[J].測繪通報，2017(1)：35-38.

10.13474/j.cnki.11-2246.2017.0008.

2016-03-01；

2016-05-27

中國地震局第一監(jiān)測中心科技創(chuàng)新主任基金(FMC2016007)；中國地震局2016年度監(jiān)測、預測、科研三結(jié)合課題(163302)

田 曉(1988—)，男，碩士，助理工程師，主要從事精密水準和跨斷層數(shù)據(jù)處理工作。E-mail：tx_yice@163.com