淺議導數的概念教學

葛守富

摘 要：導數概念的教學一直是高等數學教學的難點之一，本文將從問題情境出發，幫助學生進行意義建構，進而使學生形成導數的概念。在這個過程中，我們通過物理和幾何兩個情境搭建起導數的概念模型，從而達到突破難點的目的。

關鍵字：導數；瞬時變化率；極限

微積分是高等數學的主要內容之一，在微積分的教學過程中，導數的概念既是微分學的重點，也是微分學的難點，因此，我們采用問題情境教學，幫助學生從物理和幾何兩個方面進行意義建構，形成導數的概念，最后我們回扣經典問題，形成導數的物理模型。

1 創設問題情境——兩個經典引例

首先，我們從牛頓在研究變速直線運動時遇到的問題開始，看一下變速直線運動的瞬時速度怎樣計算？物體作變速直線運動，不同時間對應著不同位移，時間發生變化，位移也跟著變化，于是設描述物體運動的位置函數 ，大家知道，直線運動中，物體運動的平均速度應該等于路程除以時間，即它所行進的位移除以它用的時間。在這個運動過程中，如果我們測得物體在t0時刻的位移 和在t時刻的位移 ，就應該能得出物體在t0到t時刻的平均速度 應該等于位移差比時間差 。大家想一下，現在我們要求t0時刻的瞬時速度，

怎么辦？在牛頓那個時代沒有測速器，現有的手段只能測得位移和時間。這個問題用初等方法是不好辦了。看一下牛頓是怎么想的：如果讓t靠近t0一點，這段路程的平均速度 就離t0的瞬時速度接近一點，再靠近一點，就再接近一點，也就是說，t靠近t0越近，t0到t時刻的平均速度 就越接近t0時刻的瞬時速度。也就是說，讓 ，這時平均速度就應該趨于t0時刻的瞬時速度。于是t0時刻的瞬時速度就是這個極限。

如果我們記 ， ，這個極限還可以寫成

，這是因為 時 ，其中 叫位移增量或改變量，

叫時間增量或改變量。如果我們把 中的t換成用t0來表示，這個極限

還可以寫成 ，這是因為 ，把 換成

， 。這是第一個實例物理學中的變速直線運動中

的瞬時速度 。

其次，我們來看幾何學中的平面曲線的切線斜率。首先回想一下圓的切線是怎樣定義的：圓的切線是和圓有一個公共點的直線。這個關于切線的定義在歷史上首先是法國數學家笛卡爾提出來的。但對一般平面曲線來說，這個定義是有缺陷的，曲線C上與它有公共點M的直線不止一條，哪一條才是切線呢？或者說切線應該怎樣定義？笛卡爾后過了幾十年，當哲學中運動的觀點進入數學后，數學家們敏銳地發現，當切線MT繞切點轉動時，稍微一動就變成曲線的割線了。于是曲線的切線就有了準確的定義：曲線上某一點的切線就是曲線上過這一點的割線的極限位置。也正是這個思想，讓萊布尼茲求出了平面曲線的切線斜率。

曲線C： 過點M處的切線就是割線MN當 時的極限位置MT，當 時MN的傾斜角 趨于MT的傾斜角 ，切線MT的斜率 ，就可以看成是當 時 的極限。這時，假設我們知道M點的橫坐標是 ，N點的橫坐標是 ，就有割線MN的斜率 ，從而將

換上，即 ，而 就是 ，就是

，即 。同樣我們讓 ，

就有 等于的這個極限也可以寫成 ，這是因為

時 ，其中 是函數增量， 是自變量增量，如果我們把 中

的 用 表示，這個極限還可以寫成 ，這是因

為 ，把 換成 ， 。這就是平面曲線

的切線斜率 。

2 進行意義建構——形成導數的概念

這兩個問題作比較，發現他們有一個共性：所求量都是函數增量與自變量之比在自變量增量趨于0時的極限。

把這個共性抽象出來就是導數的定義。設函數 在點 的附近有定義，就是在點 的某個鄰域內有定義，若

存在，則稱函數 在 處

可導，并稱此極限值是函數 在 處的導數。記作： ； ；

； 。即： 。

如果極限 不存在，就說函數

在 處不可導。

3 回扣經典問題

有了導數定義，我們再來看這兩個實例：瞬時速度 ，按照導數定義就是位移函數 在 時刻的導數

。切線斜率 ，按照導數定義就是函數 在

處的導數 。

類似的問題還有：瞬時加速度是速度增量與時間增量之比在時間增量趨于零的極限，也可以看成是速度函數在某一時刻的導數；瞬時角速度是轉角增量與時間增量之比在時間增量趨于零的極限，也可以看成是轉角函數在某一時刻的導數；電流強度是電量增量與時間增量之比在時間增量趨于零的極限，也可以看成是電量函數在某一時刻的導數。等等，類似的問題還有很多，這些都是瞬時變化率的問題，也就是說只要是瞬時變化率的問題就可以看成是導數的問題。

我們從以上三個方面闡述了如何利用問題情境教學法設計導數概念的教學思路。問題情境教學法是數學概念教學的主要方法之一，這樣設計不僅有利于幫助學生建構數學概念，而且還培養了學生歸納抽象的思維能力。endprint