新協(xié)議內(nèi)評法下Copula函數(shù)和因子模型的應(yīng)用研究

陸芝光

[摘要]在信用組合中，各個違約事件的發(fā)生并不是完全相互獨立的，個體之間總是存在著千絲萬縷的聯(lián)系，如一個市場的變化會導(dǎo)致另一個市場的變化，而公司資產(chǎn)價值直接受市場的影響，因此一家公司的違約可能增加另一家公司違約的可能性，并且存在傳播、放大進(jìn)而導(dǎo)致大規(guī)模違約事件發(fā)生的可能性。金融波動或危機(jī)的頻繁出現(xiàn)使得信用風(fēng)險管理成為國內(nèi)外關(guān)注的焦點，而金融市場間的關(guān)系更是日趨復(fù)雜，更多地呈現(xiàn)非線性的特征，原有的基于線性相關(guān)的組合信用風(fēng)險管理模型已不能完全滿足發(fā)展的需要。

為了有效地度量金融資產(chǎn)收益的真實分布與相關(guān)性，需要多元分布函數(shù)理論。傳統(tǒng)的多元分布函數(shù)在實際應(yīng)用中存在一些缺陷，在變量較多時解析式很難處理，并且存在一系列約束條件，不僅要求各個邊緣分布函數(shù)類型與多元分布函數(shù)類型一樣，而且各個邊緣分布必須完全相同。含有不同類型資產(chǎn)的資產(chǎn)組合中，各種金融資產(chǎn)邊緣分布函數(shù)通常不符合同一類型的分布函數(shù)，這種情況使得多元分布函數(shù)很難在資產(chǎn)組合管理中得到應(yīng)用。而通過Copula函數(shù)技術(shù)可以構(gòu)造靈活的多元分布函數(shù)，掌握資產(chǎn)組合內(nèi)各金融資產(chǎn)收益的真實分布與相關(guān)關(guān)系。Copula理論的出現(xiàn)和應(yīng)用將信用風(fēng)險分析推向了一個新的階段。

[關(guān)鍵詞]Copula函數(shù)；因子模型；內(nèi)評法

一、Copula函數(shù)和因子模型的定義及相關(guān)定理

（一）Copula函數(shù)介紹

Copula函數(shù)可以追溯到1940年Hoeffding的研究，而1959年Sklar定理的提出使其上升到了一個新的發(fā)展階段。Sklar指出可以將一個聯(lián)合分布分解為它的k個邊緣分布和一個Copula函數(shù)，這個Copula函數(shù)描述了變量之間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)。Copula函數(shù)實際上是一種將聯(lián)合分布與它們各自的邊緣分布連接在一起的函數(shù)，因此有些學(xué)者稱其為連接函數(shù)。

Copula函數(shù)取值范圍為從O到1，在兩變量的情形下，它由兩自變量及參數(shù)θ構(gòu)成，即c₁₂[F₁（x₁），F(xiàn)₂（xv）；θ]。Sklar定理確立了Copula函數(shù)的一致性和唯一性。

（二）因子模型介紹

Vasicek（1987）首次提出因子模型，并將其應(yīng)用于組合信用風(fēng)險的損失度量之中。風(fēng)險可以分成系統(tǒng)性風(fēng)險和非系統(tǒng)性風(fēng)險。因子模型的主要思想是組合違約受宏觀系統(tǒng)風(fēng)險因子的影響，并在系統(tǒng)風(fēng)險的驅(qū)動下表現(xiàn)出協(xié)同運動的趨勢。通常，因子模型將組合中的個體資產(chǎn)價值分解為一個或多個因子和一個殘差，前者受系統(tǒng)風(fēng)險影響，后者受個體異質(zhì)性風(fēng)險影響，二者共同促進(jìn)個體資產(chǎn)價值的變化。因子模型是巴塞爾協(xié)議委員會推薦使用的內(nèi)部評級模型，充分滿足了金融監(jiān)管機(jī)制的需要，不僅能夠有效刻畫個體風(fēng)險變化，而且能夠在Copula結(jié)構(gòu)下整合組合的信用風(fēng)險結(jié)構(gòu)，為組合信用風(fēng)險特征提供客觀描述；同時，在因子模型下可以有效度量信用組合的VaR，并進(jìn)行經(jīng)濟(jì)資本的計算及積極的資本配置。

（三）以單因子模型為例

參照Merton（1974）模型的思想，假設(shè)每個債務(wù)人違約的驅(qū)動因素為債務(wù)人的資產(chǎn)價值。在包含n個債務(wù)人的信用組合中，將t時刻債務(wù)人i的資產(chǎn)價值表示為V_i（t），假設(shè)V_i（t）服從正態(tài)分布，初始資產(chǎn)價值為O，即V_i（0）=0，將資產(chǎn)價值標(biāo)準(zhǔn)化使得V_i（t）～Φ（0，1），當(dāng)債務(wù)人i的資產(chǎn)價值低于閾值H_i時發(fā)生違約。各個債務(wù)人的資產(chǎn)價值是相關(guān)的，它們之間的方差一協(xié)方差矩陣為∑。該模型非常接近J，P，Morgan的Credit Melrics模型，唯一的差別是在Credit MeWics模型中包含了信用評級轉(zhuǎn)移的信息，而這里我們僅考慮債務(wù)人生存和違約兩種狀態(tài)。但是，通過對同一個體債務(wù)人設(shè)置不同的閾值H_i，可以表示其所處信用等級的變化情況，因而可以很容易地將兩狀態(tài)模型轉(zhuǎn)化為多狀態(tài)模型，以描述信用等級變化對整體組合風(fēng)險狀況的影響。

二、因子Copula模型介紹

從Copula模型可知，系統(tǒng)風(fēng)險因子Y可以看做反映宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的變量；而異質(zhì)性風(fēng)險因子ε；反映了個體債務(wù)人i技術(shù)、管理等方面自身變化的影響：債務(wù)人t資產(chǎn)價值構(gòu)成的系統(tǒng)性部分與異質(zhì)性部分通過相關(guān)性參數(shù)ρ_i聯(lián)結(jié)起來。在經(jīng)濟(jì)繁榮時期，違約事件發(fā)生的數(shù)量要少于經(jīng)濟(jì)蕭條時期，在我們明確當(dāng)前處于經(jīng)濟(jì)繁榮期或經(jīng)濟(jì)蕭條期，債務(wù)人之間違約事件的發(fā)生就成為彼此相互獨立的。而Y對信用組合的影響表現(xiàn)為驅(qū)動所有債務(wù)人同時靠近或同時遠(yuǎn)離違約閾值。假設(shè)已知代表宏觀經(jīng)濟(jì)周期的系統(tǒng)性驅(qū)動因子Y，則組合中個體債務(wù)人的違約是相互獨立的，令q^i|Y_t表示債務(wù)人i在Y已知條件下的條件違約概率，進(jìn)而，我們可以表示出組合中各個個體的聯(lián)合違約函數(shù)。由Sldar定理及Copula的性質(zhì)可知，可得到連接組合中各個個體的Copula函數(shù)C（u₁，……，u_n）：

三、新協(xié)議內(nèi)評法下Copula函數(shù)和因子模型的應(yīng)用

新巴塞爾協(xié)議內(nèi)部評級法下關(guān)于資本準(zhǔn)備的計算如下：

因此內(nèi)評法中關(guān)于資本金的計算應(yīng)該是：

上面簡單地描述了Copula函數(shù)以及因子模型在新協(xié)議內(nèi)部評級法中的應(yīng)用。對于風(fēng)險管理人員而言，Copula函數(shù)的一個重要用途在于計算貸款組合的VaR，風(fēng)險人員常常假設(shè)不同貸款違約時間的概率分布是由一元Copula模型來確定，公司之間的違約相關(guān)性也可以通過以因子模型為基礎(chǔ)的違約時間Copula模型來進(jìn)行模擬。因此，一個大型貸款組合的違約次數(shù)分布的分位數(shù)可以通過因子概率分布的分位數(shù)來計算。通過采用這種辦法，我們可以計算出新巴塞爾協(xié)議內(nèi)部評級法下所要求的銀行的信用風(fēng)險資本金數(shù)量。

Copula函數(shù)和因子模型除了上述應(yīng)用以外，還可以用于組合信用風(fēng)險的度量以及經(jīng)濟(jì)資本配置與績效評估中。今后我們要不斷探索和發(fā)現(xiàn)這些模型和技術(shù)在資產(chǎn)組合管理中的作用，從深層次的角度認(rèn)識并描述信用風(fēng)險發(fā)展的規(guī)律，這樣才能有效規(guī)避風(fēng)險，積極進(jìn)行有效資本配置和最優(yōu)組合決策。endprint