球面瞬態(tài)聲輻射的全息重構(gòu)研究

揭偉俊，翁雪濤

(海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430033)

球面瞬態(tài)聲輻射的全息重構(gòu)研究

揭偉俊，翁雪濤

(海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430033)

由于聲源體受到?jīng)_擊而振動(dòng)的持續(xù)時(shí)間很短，這種情況下聲源體向空間中輻射聲波的過(guò)程不能看做穩(wěn)態(tài)的過(guò)程，不再適用穩(wěn)態(tài)聲全息理論。本文采用球面瞬態(tài)聲全息的模型，對(duì)自由空間中受到?jīng)_擊的球產(chǎn)生聲輻射的過(guò)程進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真中分別采用Tikhonov正則化方法和共軛梯度法處理運(yùn)算中遇到的矩陣病態(tài)和解不穩(wěn)定的問(wèn)題，并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明，在一定的容許誤差范圍內(nèi)，2種方法都適用。

球面；瞬態(tài)聲全息；正則化；共軛梯度

0 引 言

在工程中經(jīng)常會(huì)遇到結(jié)構(gòu)受到?jīng)_擊產(chǎn)生振動(dòng)，從而產(chǎn)生結(jié)構(gòu)聲輻射[1,2]，但是這種聲輻射過(guò)程不能被看作穩(wěn)態(tài)過(guò)程。沖擊激勵(lì)的時(shí)間很短，隨之產(chǎn)生的振動(dòng)也隨著時(shí)間慢慢衰減，聲輻射也慢慢衰減。同時(shí)這種沖擊激勵(lì)在工程中一般不可預(yù)測(cè)，因此由沖擊激勵(lì)造成振動(dòng)而產(chǎn)生的聲輻射也不可預(yù)測(cè)。很多學(xué)者對(duì)沖擊激勵(lì)產(chǎn)生的瞬態(tài)聲輻射進(jìn)行了不少研究，Hansen等[3]采用球面?zhèn)鞲衅麝囆蝸?lái)掃描任意形狀的振源體，并對(duì)振源體在時(shí)間域內(nèi)進(jìn)行聲場(chǎng)的重構(gòu)，獲得了較好的效果，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了用球面?zhèn)鞲衅麝囆螔呙枞我庑螤钫裨大w并重構(gòu)時(shí)間域聲場(chǎng)可行。

本文對(duì)球面瞬態(tài)聲輻射重構(gòu)聲場(chǎng)的解析解進(jìn)行推導(dǎo)，并進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，在計(jì)算的過(guò)程中分別采用Tikhonov正則化方法和共軛梯度法來(lái)處理病態(tài)矩陣。結(jié)果表明，在一定的誤差允許范圍內(nèi)，2種方法都能得到穩(wěn)定的解。

1 解析推導(dǎo)

在空間中建立如圖1所示球坐標(biāo)系[4]，聲源位于球坐標(biāo)系原點(diǎn)，在t=t0時(shí)刻受到激勵(lì)振動(dòng)發(fā)聲，在t＜t0前聲源體處于靜止?fàn)顟B(tài)，即 p (r,φ,θ;t)=0。

定義拉普拉斯變換對(duì)如下：

對(duì)空間中任一點(diǎn)時(shí)刻t的聲壓 p (r,φ,θ;t)按上述方程進(jìn)行拉普拉斯變換得：

其中s為拉普拉斯變換的一個(gè)復(fù)變量，表示一個(gè)s平面；a表示一個(gè)很大的實(shí)數(shù)常量。a的取值需要保證變換后 P (r,φ,θ;s)的所有極點(diǎn)都落在s的左半平面，這樣保證 t →∞時(shí)變換能順利進(jìn)行。

圖 1 聲源體空間分布Fig. 1 The spatial distribution of sound source

對(duì)方程（4）求解得到

其中上標(biāo)H表示矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

可以建立全息面和聲源面的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速之間的關(guān)系：

為聲源面質(zhì)點(diǎn)振速和全息面聲壓之間的傳遞矩陣。

對(duì)式（6）和式（7）進(jìn)行反拉普拉斯變換即可求出聲源面上每一點(diǎn)在t時(shí)刻的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速：

可以通過(guò)下面2式求出來(lái)[1]。

由于聲學(xué)重構(gòu)屬于聲學(xué)反問(wèn)題，在數(shù)值計(jì)算的過(guò)程中矩陣的條件數(shù)比較大，很容易出現(xiàn)病態(tài)矩陣以及解的不穩(wěn)定性，可以使用Tikhonov正則化方法或者共軛梯度法[5]來(lái)處理病態(tài)矩陣的問(wèn)題。

2 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證算法的可行性，對(duì)自由場(chǎng)中球面受到?jīng)_擊產(chǎn)生的聲輻射進(jìn)行聲全息仿真。在聲自由場(chǎng)中放置一半徑為r的球，球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，zh處為全息面，zs處為重構(gòu)面，具體空間位置如圖2所示。仿真參數(shù)如下：r=0.1 m, zh=0.05 m, zs=0.01 m, 全息面為正方形結(jié)構(gòu)，Lx=Ly=1 m, 全息面上布置的傳感器數(shù)為M=N=64。現(xiàn)給予球面一個(gè)速度沖擊v=5 m/s，自由空間中任一點(diǎn)的聲壓可以用式（13）[7]表示出來(lái)：

式中 p (r,φ,θ,t)表示空間中任一點(diǎn)在任一時(shí)刻的聲壓，表示聲波傳播的介質(zhì)，表示聲速，表示給予球面的沖擊速度，r0表示球面的半徑，r表示空間中任一點(diǎn)離球心的距離，H表示Heaviside函數(shù)，

圖 2 球面瞬態(tài)聲全息空間示意圖Fig. 2 Thespatial distribution of transient acoustic holography

在不同時(shí)刻全息面的聲壓圖如圖3所示。

從圖3中可以看出由于全息面上各點(diǎn)與球心距離不同，球面振動(dòng)輻射的聲波到達(dá)全息面上各點(diǎn)的時(shí)間也不同，造成了同一時(shí)刻全息面上各點(diǎn)聲壓的不同。但全息面上有許多距球心的距離相等的環(huán)形帶，環(huán)形帶上各點(diǎn)在同一時(shí)刻的聲壓相同。隨著時(shí)間的推移，環(huán)形帶看起來(lái)在向外擴(kuò)展，直至環(huán)形帶的半徑大于全息面的半徑。

圖 3 不同時(shí)刻全息面聲壓圖Fig. 3 The hologramsound pressure at different time

現(xiàn)采用球面瞬態(tài)聲全息方法在重構(gòu)面處重構(gòu)聲源，并用Tikhonov正則化方法或者共軛梯度法來(lái)穩(wěn)定得到的解。選取重構(gòu)面對(duì)角和中間各2點(diǎn)的聲源隨時(shí)間變化關(guān)系來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。

從圖4～圖7中可以看出采用Tikhonov正則化方法和共軛梯度法都能較準(zhǔn)確地重構(gòu)出在重構(gòu)面處各傳感器的瞬時(shí)聲壓，從選取點(diǎn)的聲壓隨時(shí)間變化曲線看，Tikhonov正則化方法的重構(gòu)值更加接近于理論值。

圖 4 第（1, 1）個(gè)傳感器聲壓隨時(shí)間變化圖Fig. 4 The pressure changes over time for sensor No.(1. 1)

3 誤差分析

由于解析解認(rèn)為全息面無(wú)限大，獲取全息面數(shù)據(jù)的時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，并且全息面上的數(shù)據(jù)連續(xù)，這和實(shí)際重建過(guò)程相差筆較大[6]。誤差主要來(lái)源于全息面對(duì)數(shù)據(jù)采樣的加窗效應(yīng)（包括空間加窗和時(shí)間加窗）和數(shù)據(jù)離散化。下面比較通過(guò)2種方法進(jìn)行重構(gòu)時(shí)的誤差大小，重構(gòu)誤差可以用下式計(jì)算出來(lái)：

重構(gòu)誤差隨時(shí)間變化的曲線如圖8所示。

圖 5 第（32, 22）個(gè)傳感器聲壓隨時(shí)間變化圖Fig. 5 The pressure changes over time for sensor No.(32.22)

圖 6 第（42, 33）個(gè)傳感器聲壓隨時(shí)間變化圖Fig. 6 The pressure changes over time for sensor No.(42.33)

圖 7 第（64, 64）個(gè)傳感器聲壓隨時(shí)間變化圖Fig. 7 The pressure changes over time for sensor No.(64.64)

圖 8 兩種方法重構(gòu)誤差分布圖Fig. 8 The reconstruction error distribution of two methods

從圖8中可以看出，采用Tikhonov正則化方法和共軛梯度方法都較好地解決病態(tài)矩陣的問(wèn)題，從而獲得穩(wěn)定的解，兩者的誤差都分布在35%內(nèi)。在誤差允許范圍內(nèi)采用上述任何一種方法都可以獲得較精確的解。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)文獻(xiàn)[4]中提出的方法采用Tikhonov正則化方法和共軛梯度方法對(duì)球面瞬態(tài)的聲輻射進(jìn)行了聲全息重構(gòu)數(shù)值仿真計(jì)算。數(shù)值仿真結(jié)果與理論值對(duì)比表明，采用Tikhonov正則化方法和共軛梯度方法在進(jìn)行聲輻射的逆運(yùn)算過(guò)程中都能有效應(yīng)對(duì)矩陣病態(tài)的問(wèn)題，得到穩(wěn)定的解。

[1]毛榮富, 朱海潮, 陳志敏. 基于近場(chǎng)聲全息的空壓機(jī)噪聲源識(shí)別[J]. 海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 23(1): 59-62.MAO Rong-fu, ZHU Hai-chao, CHEN Zhi-min. Noise source identification and decomposition of air compressor based[J].The Jonrnal of Naval University of Engineering, 2011, 23(1): 59-62.

[2]張海濱, 蔣偉康, 萬(wàn)泉. 壓縮機(jī)噪聲的跟蹤采樣近場(chǎng)聲全息實(shí)驗(yàn)研究[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2010, 29(11): 51-54.ZHANG Hai-bin, JIANG Wei-kang, WAN Quan. The experimental study of near-field acoustic holography about the tracking sampling noise compressor[J]. Vibration and Impulse,2010, 29(11): 51-54.

[3]HANSEN T. B. Spherical expansions of time-domain acoustic fields: application to near-field scanning[J]. Acoustical Society of America, 1995, 98, 1204-1215.

[4]SEAMF W, HUANCAILU, MANJITS, et al. Reconstruction of transient acoustic radiation from a sphere[J]. Acoustical Society of America, 2005, 117, 2065-2077.

[5]EARLG. WILLIAMS. Regularization methods for near-field Acoustical holography[J]. Acoustical Society of America, 2001,110(4), 1976-1988.

[6]張小正, 畢傳興. 瞬態(tài)近場(chǎng)聲全息理論和實(shí)驗(yàn)研究[D]. 合肥:合肥工業(yè)大學(xué), 2012.

[7]MORSE P. M, INGARD K. U. Theoretical acoustics[M].Princeton University Press, Princeton, NJ, 1986.

Holographic reconstruction of spherical transient acoustic radiation

JIE Wei-jun, WENG Xue-tao
(Naval University of Engineering, Wuhan 430033 China)

Since the duration time of the sound body under shock is very short, the process of the sound radiation cannot be regarded as a steady-state in this situation, and the steady acoustical holography theory is useless at this time. This paper adopted the model of spherical transient acoustical holography, made numerical simulation of ball shocking sound radiation in free space. In the process of simulation, conditioned matrix and unstable solution encountered in calculation were solved by Tikhonov regularization method and conjugate gradient method. The simulation results showed that the two methods are applicable in a certain range of allowable error.

sphere；transient acoustical holography；regularization；conjugate gradient

O328

A

1672-7649(2017)11-0081-04

10.3404/j.issn.1672-7649.2017.11.015

2016-09-13；

2016-09-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51179197)

揭偉俊(1985-)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)檐娛卵b備學(xué)。