一類高階非線性系統的有限時間鎮定問題

謝晶

摘 要：研究了一類高階非線性系統停息時間可調的有限時間穩定性分析與控制器設計問題。利用有限時間Lyapunov定理的反步構造法，設計狀態反饋有限時間控制器，并實現停息時間的適當調整。

關鍵詞：非線性系統 有限時間鎮定 反步構造法

中圖分類號：TP273 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）09（c）-0219-02

近十多來年，有限時間穩定與鎮定問題受到了較大的關注，得到了廣泛的研究[1-7]。對比于Lyapunov意義下的漸近穩定性，有限時間穩定性具有動態響應速度快、穩態跟蹤精度高、對參數攝動和外部干擾具有強魯棒性等特性。

1 問題的提出

在本文中，考慮一類具有如下形式的高階非線性系統：

（1）

其中，是間距系統的狀態向量，為系統控制輸入，是連續函數，且。為奇數之比，且。

為了討論方便，定義，，下面給出系統（1）滿足的假設條件：

假設1：存在數，且，使得，其中。

假設2：取如假設1所示，系統（1）滿足下式

，； 是已知C1的函數

2 控制器設計

這部分我們利用反步構造法[2]，設計一個狀態反饋控制器，使得系統（1）有限時間穩定。

步驟1：首先構造Lyapunov函數，取，由假設2得：

（3）

定義連續的虛擬控制，其中是函數，常數是待定的設計參數，下文將證明的值對于調整停息時間起關鍵作用。則

（4）

步驟2（歸納假設）：

假設在第k-1步，存在一個Lyapunov函數，使 （5）定義虛擬控制如下：

其中是函數，且

（6）

下證在第k步中， 不等式（5）和（6）也成立。

令， 其中

則是光滑的，正定的，適定函數，且滿足。

并且，，有

（7）

由文獻[1]得：

，. （8）

；. （9）

；. （10）

將（8）-（10）代入（7）式，得：

令， .則 （11）

步驟3：當時，令，則

成立.

令實際反饋控制率為，可知.

3 有限時間穩定性分析

為了證明該系統的有限時間穩定性，選擇，由知。因此，容易推出：

。

可知系統（1）是全局有限時間穩定的，并且停息時間滿足進一步，由于是待定參數，若系統的初始值已知，那么通過選擇，可實現停息時間的任意調整。至此，控制設計完畢。

參考文獻

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[4] Bhat S P， Bernstein D S. Continuous finite-time stabilization of the translation and rotational double integrators[J]. IEEE Transaction on Automatic Control，1998，43（5）：678-682.

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