二階廣義自治Birkhoff系統(tǒng)極限環(huán)不存在性

曹秋鵬，陳向煒

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

二階廣義自治Birkhoff系統(tǒng)極限環(huán)不存在性

曹秋鵬1，陳向煒2

(1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.商丘師范學(xué)院 電子電氣工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

建立二階廣義自治Birkhoff系統(tǒng)的微分方程.首先全面分析了該系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型，由于不存在焦點(diǎn)型奇點(diǎn)，從而判定二階廣義自治Birkhoff系統(tǒng)不存在極限環(huán)；然后進(jìn)一步用梯度系統(tǒng)方法探討了該系統(tǒng)的定性性質(zhì)，把該系統(tǒng)分別轉(zhuǎn)化為4類梯度系統(tǒng)，由梯度系統(tǒng)的性質(zhì)得到了二階廣義自治Birkhoff系統(tǒng)極限環(huán)不存在的條件.最后舉例說明結(jié)果的應(yīng)用.

廣義Birkhoff系統(tǒng)；奇點(diǎn)；梯度系統(tǒng)；極限環(huán)

常微分方程的定性理論是許多基礎(chǔ)學(xué)科乃至自動(dòng)控制、航天技術(shù)、生物工程等應(yīng)用技術(shù)研究的不可缺少的數(shù)學(xué)工具，且已成為一個(gè)熱門課題[1].非線性系統(tǒng)的極限環(huán)的研究一直是其定性分析的重點(diǎn)內(nèi)容[2-3].極限環(huán)反映非線性系統(tǒng)周期振蕩現(xiàn)象，有著很重要的物理意義.Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是近年來研究較熱的一類微分動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，是Hamilton力學(xué)的自然推廣[4].Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究已取得了豐富的成果[5].作者試圖將微分方程定性分析的基本理論和方法引入到Birkhoff系統(tǒng)的研究，得到了一些有意義的結(jié)果[6].梅鳳翔先生考慮Birkhoff方程添加附加項(xiàng)的情形，從而建立了廣義Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[7].近幾年廣義Birkhoff系統(tǒng)的研究已有大量的結(jié)果[8]，但這些結(jié)果大多集中在對(duì)稱性、守恒量、積分方法和穩(wěn)定性的研究，對(duì)廣義Birkhoff系統(tǒng)定性理論的研究還未廣泛展開，廣義Birkhoff系統(tǒng)極限環(huán)的相關(guān)研究還沒有涉及.

梯度系統(tǒng)是一類重要的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[9]，文獻(xiàn)[10]介紹了梯度系統(tǒng)的四種類型.如果滿足一定的條件，各類力學(xué)系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化成梯度系統(tǒng)，此時(shí)便可以用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)來研究力學(xué)系統(tǒng)的一些問題.梅鳳翔及其他研究者在梯度系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，研究了各類力學(xué)系統(tǒng)的梯度系統(tǒng)表示，系統(tǒng)零解穩(wěn)定性以及系統(tǒng)的積分[11-14].

本文進(jìn)一步開展廣義Birkhoff系統(tǒng)的定性理論研究，分別利用奇點(diǎn)分析方法和梯度系統(tǒng)方法研究廣義Birkhoff系統(tǒng)極限環(huán)的性質(zhì)，得到了該系統(tǒng)極限環(huán)不存在的相關(guān)條件.

1 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的微分方程有形式[6]：

(1)

其中

(2)

(3)

B=B(a)為Birkhoff函數(shù)，Rν=Rν(a)為Birkhoff函數(shù)組，Λν=Λν(a)為附加項(xiàng).

對(duì)于系統(tǒng)(1)可以寫成

(4)

2 系統(tǒng)極限環(huán)的不存在性

下面我們將考慮系統(tǒng)(1)極限環(huán)的不存在性.主要考慮兩個(gè)方法，第一種方法利用奇點(diǎn)的類型.這種方法主要思想：我們知道極限環(huán)的鄰域內(nèi)的軌線都是螺旋地趨近或遠(yuǎn)離它，如果系統(tǒng)的奇點(diǎn)不存在焦點(diǎn)則系統(tǒng)就不存在極限環(huán).

2.1 奇點(diǎn)法

我們接下來就是要探討什么情況下，系統(tǒng)(1)不存在焦點(diǎn)型奇點(diǎn).關(guān)于系統(tǒng)(1)的奇點(diǎn)類型在文獻(xiàn)[8]已詳細(xì)介紹，這里僅僅簡(jiǎn)單敘述.

(5)

(6)

(7)

當(dāng)系統(tǒng)(1)滿足

(8)

此時(shí)系統(tǒng)(1)的線性化系統(tǒng)(7)沒有焦點(diǎn)型奇點(diǎn).但是這僅僅是系統(tǒng)(1)的線性化方程，我們知道在考慮非線性項(xiàng)之后，線性化系統(tǒng)(7)的中心型奇點(diǎn)可能會(huì)成為焦點(diǎn)，我們還要保證線性化系統(tǒng)的中心仍是原系統(tǒng)的中心.

其實(shí)，如果(8)式成立，且滿足

(9)

此時(shí)B是系統(tǒng)(1)的積分，那么系統(tǒng)(7)的中心型奇點(diǎn)仍為系統(tǒng)(1)的中心型奇點(diǎn).

上述討論的結(jié)果歸結(jié)為：

命題1如果二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(1)滿足(8)和(9)，那么系統(tǒng)(1)不存在焦點(diǎn)型奇點(diǎn)，系統(tǒng)(1)不存在極限環(huán).

2.2 梯度法

極限環(huán)實(shí)際上就是非線性微分系統(tǒng)的一條孤立的閉軌線.那么只要二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(1)沒有閉軌線，就更不存在極限環(huán).第二種方法利用梯度系統(tǒng)的性質(zhì)，用Poincaré切性曲線法探究二階自治廣義Birkhoff系統(tǒng)極限環(huán)的不存在性.

性質(zhì)1由Poincaré切性曲線法[1]可知，如果存在函數(shù)F(a)∈C1(D)，使得

(10)

2.2.1 通常梯度系統(tǒng)

系統(tǒng)的微分方程為

(11)

對(duì)系統(tǒng)(11)

(12)

對(duì)于系統(tǒng)(1)，當(dāng)(4)滿足

(13)

(1)成為一個(gè)通常梯度系統(tǒng).

2.2.2 斜梯度系統(tǒng)

系統(tǒng)微分方程為

(14)

其中bij=-bji.

對(duì)系統(tǒng)(14)

(15)

對(duì)于系統(tǒng)(1)，當(dāng)(4)滿足

(16)

(1)成為一個(gè)斜梯度系統(tǒng).

2.2.3 具有對(duì)稱負(fù)定矩陣的梯度系統(tǒng)

系統(tǒng)微分方程為

(17)

其中((sij))是對(duì)稱負(fù)定矩陣.

對(duì)系統(tǒng)(17)

(18)

對(duì)于系統(tǒng)(1)，當(dāng)(4)滿足

(19)

(1)成為一個(gè)具有對(duì)稱負(fù)定矩陣的梯度系統(tǒng).

2.2.4 具有半負(fù)定矩陣的梯度系統(tǒng)

系統(tǒng)微分方程為

(20)

其中((aij))是半負(fù)定矩陣.

對(duì)系統(tǒng)(20)

(21)

對(duì)于系統(tǒng)(1)，當(dāng)(4)滿足

(22)

(4)成為一個(gè)具有半負(fù)定矩陣的梯度系統(tǒng).

由上面的分析得到：

命題2如果二階廣義自治Birkhoff系統(tǒng)能轉(zhuǎn)化成為通常梯度系統(tǒng)或者具有對(duì)稱負(fù)定矩陣的梯度系統(tǒng)，即當(dāng)(13)或者(19)成立，根據(jù)上文提到的Poincaré切性曲線法可直接判定二階廣義自治Birkhoff系統(tǒng)不存在極限環(huán).

3 算 例

例題1 已知二階廣義Birkhoff系統(tǒng)

R1=a2，R2=0

(23)

(24)

Λ1=-a1+(a1)3，Λ2=a2

(25)

首先我們先寫出該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，由方程(1)得到

(26)

由方程(26)可得到該系統(tǒng)的奇點(diǎn)是(0，0)，(-1，0)，(1，0)，在這三個(gè)奇點(diǎn)處顯然有(8)式成立.同時(shí)對(duì)于系統(tǒng)(26)有

(27)

因此由上面的分析知道系統(tǒng)(26)不存在極限環(huán).

例題2 已知二階廣義Birkhoff系統(tǒng)

R1=a2，R2=0

(28)

B=a1a2

(29)

Λ1=-(a2)2，Λ2=2a1-(a1)2

(30)

由方程(1)我們有

(31)

可以將(31)寫成

(32)

其中

(33)

這顯然是一個(gè)通常梯度系統(tǒng).

(33)沿著(31)對(duì)t求導(dǎo)得

(34)

例題3 已知二階廣義Birkhoff系統(tǒng)

R1=a2，R2=0

(35)

B=-2a1a2-(a1)2a2

(36)

Λ1=-6a2-2a1a2，Λ2=0

(37)

由方程(1)我們有

(38)

我們可以將(36)寫成

(39)

其中

(40)

這顯然是一個(gè)具有對(duì)稱負(fù)定矩陣的梯度系統(tǒng).

(40)沿著(38)對(duì)t求導(dǎo)得

(41)

[1]馬知恩，周義倉(cāng).常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[2]崔永新.對(duì)微分系統(tǒng)極限環(huán)存在性判定準(zhǔn)則的解析[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，6(1)：130-132.

[3]呂寶紅，龍品紅.一類非線性微分方程極限環(huán)的不存在性[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)(信息與管理工程版)，2010，32(3)：396-398.

[4]Birkhoff G D.Dynamical Systems[M].Providence：AMS College Publisher，1927.

[5]陳向煒，傅景禮，羅紹凱，等.Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究進(jìn)展[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，20(2)：5-13.

[6]陳向煒.Birkhoff系統(tǒng)的全局分析[M].開封：河南大學(xué)出版社，2002.

[7]梅鳳翔，張永發(fā)，何光，等.廣義Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的基本框架[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，27(12)：1035-1038.

[8]梅鳳翔.廣義Birkhoff系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[9]Hirsch M W，Smale S，Devaney R L.Differential Equations，Dynamical Systems，and an Introduction to Chaos[M].Singapore：Elsevier，2008.

[10]Mc Lachlan R I，Quispel G R W，Robidoux N.Geometric integration using discrete gradients[J].Phil Trans R Soc Lond A，1999，357(1754)：1 021-1 045.

[11]梅鳳翔.關(guān)于斜梯度系統(tǒng)[J].力學(xué)與實(shí)踐，2013，35(5)：79-81.

[12]Chen Xiang-wei，Zhao Gang-ling，MEI Feng-xiang.A fractional gradient representation of the Poincaré equations[J].Nonlinear Dyn，2013，73(1-2)：579-582.

[13]陳向煒，李彥敏，梅鳳翔.雙參數(shù)對(duì)廣義Hamilton系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2014，35(12)：1392-1397.

[14]梅鳳翔，吳惠彬.約束力學(xué)系統(tǒng)的梯度表示(上、下冊(cè))[M].北京：科學(xué)出版社，2016.

[責(zé)任編輯：徐明忠]

NonexistenceoflimitcyclesforsecondorderautonomousgeneralizedBrikhoffsystems

CAO Qiupeng1，CHEN Xiangwei2

(1.School of Mathematics and Physics，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou 215009，China；2.Department of Physics and Information Engineering，Shangqiu Normal University，Shangqiu 476000，China)

The differential equations of second order autonomous generalized Brikhoff systems were established.Firstly，a comprehensive analysis of the type of singular points of the systems was put forward.Secondly，due to the absence of spiral points to determine the second order autonomous generalized Birkhoff systems have no limit cycles.Further，the systems were translated into four kinds of gradient systems.The qualitative properties of the systems were discussed by gradient systems.Then the conditions under which the second order autonomous generalized Birkhoff systems have no limit cycles are obtained.Finally，some examples are given to illustrate the application of the results.

generalized Brikhoff system；singular point；gradient system；limit cycles

2017-08-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372169)

曹秋鵬(1991—),男,江蘇南通人,蘇州科技大學(xué)碩士研究生,主要從事數(shù)學(xué)物理的研究.

陳向煒(1967—),男,河南汝南人，商丘師范學(xué)院教授,博士,主要從事非線性動(dòng)力學(xué)的研究.

O316

A

1672-3600(2017)12-0014-05