k階極大型差分方程組正解的周期性質(zhì)

韓彩虹，黃麗麗，陳麗瑤，黃艷梅

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

k階極大型差分方程組正解的周期性質(zhì)

韓彩虹，黃麗麗，陳麗瑤，黃艷梅

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

極大型；差分方程；正解；周期性質(zhì)

差分方程作為離散型數(shù)學(xué)模型中的一種，廣泛應(yīng)用于生物、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、基因、工程等領(lǐng)域。隨著科技的不斷進(jìn)步，非線性差分方程成為越來(lái)越熱門的課題。目前,極大型差分方程的研究受到廣泛關(guān)注[1-12]，特別是下面類型的差分方程及方程組：

其中，k、s∈N,且(An)n∈N是實(shí)周期數(shù)列。方程的正解與周期性質(zhì)相關(guān)。如果解不是常數(shù)標(biāo)志，那么解可能沒有周期性。

Iricanin[2]給出了下面極大型差分方程組的完整解：

T.F.Ibrahim等[3]討論了下面差分方程組的解：

其中，N0∈N∪{0}，(An)n∈N0和(Bn)n∈N0是二周期實(shí)數(shù)序列，初始條件x0,x-1,y0,y-1,yk∈(0,+∞)。

受到上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文將研究下面極大差分方程組正解的周期性：

(1)

其中,N0∈N∪{0}，(An)n∈N0和(Bn)n∈N0是正二周期實(shí)數(shù)數(shù)列，初始條件x0,x-1,…，x-k,y0,y-1,…，y-k∈(0,+∞)。

1 極大型差分方程組的周期性質(zhì)

引理1 當(dāng)k=0時(shí)，方程組(1)即為

(2)

方程組(2)的每個(gè)正解都終于二周期。

綜上所述，由歸納法，可得：

x3=x5=x7=…=x2n+1y3=y5=y7=…=y2n+1x2=x4=x6=…=x2ny2=y4=y6=…=y2n

即,當(dāng)n≥1時(shí){x2n},{y2n},{x2n+1},{y2n+1}都是常數(shù)列。所以方程組(2)的每個(gè)正解都是終于二周期的。

引理2 當(dāng)k=1時(shí)，方程組(1)即為

(3)

方程組(3)的每個(gè)正解都終于二周期。

證明由方程組(3)，有

(4)

(5)

同理，y5=max{x1,y1},

同理，y7=max{x1,y1}。

由歸納法，得

x3=y3=x5=y5=x7=y7=max{x1,y1}

即，對(duì)于任意的n≥1,都有

以上是方程組(3)的正解的奇子列。

接下來(lái)將進(jìn)行方程組(3)的正解的偶子列證明。

由方程組(3)，有

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