一類推廣的非單調擬牛頓算法

徐瑩瑩,陳 陽

(鄭州工業應用技術學院基礎教學部，河南 鄭州 451150)

一類推廣的非單調擬牛頓算法

徐瑩瑩,陳 陽

(鄭州工業應用技術學院基礎教學部，河南 鄭州 451150)

目的為了更有效地利用擬牛頓算法求解無約束優化問題,提高擬牛頓算法的收斂速度，并在數值實驗上得到最優解。方法針對擬牛頓方程進行修正，在修正的擬牛頓方程基礎上添加參數，利用修正BFGS校正公式,采用非單調線性搜索準則，提出一類新的非單調擬牛頓算法。結果新算法推廣了已有的擬牛頓方程，在一定條件下，具有全局收斂性,利用Matlab編制程序對新算法進行數值實驗。結論通過數值試驗，選取測試函數，得到了最優解。證明了推廣的非單調擬牛頓算法是有效的。利用新算法可以更有效地求解無約束優化問題。

無約束優化；非單調；擬牛頓方程；線性搜索；全局收斂性

本文基于Z.X.Wei[6],W.Xiao,F.J.Sun[7]提出的修正的擬牛頓方程，利用修正的BFGS校正公式[8]，結合非單調線性搜索準則[9]，提出了一類新的非單調擬牛頓算法，并根據文獻[8]的證明思路,證明了新的非單調擬牛頓算法具有全局收斂性[10]。

1 算 法

(1)

并給出了矩陣的3種選擇：

(2)

其中γk=2(fk-fk+1)+(gk+gk+1)Tsk。

(3)

其中γk=2(fk-fk+1)+(gk+gk+1)Tsk。

通過以上分析，本文提出的算法步驟如下：

Step1 給出初始點x0∈Rn和初始正定矩陣B0∈Rn×n，令k∶=0;

Step2 若‖gk‖=0則停止，否則計算Bkdk=-gk得到搜索方向dk;

Step3 利用非單調線性搜索[9]得到步長αk。

(4)

(5)

利用xk+1=xk+αkdk得到下一個迭代點。

Step4 令sk=xk+1-xk,如果‖xk+1-xk‖=0，則停止;否則計算

(6)

其中ε充分小。利用文獻[8]中改進的BFGS校正公式

(7)

得到對稱正定矩陣Bk+1。

Step5 令k=k+1，轉第二步。

2 收斂性分析

做如下假設：