波動(dòng)方程初邊值問題的求解

樊 龍

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同 037000)

波動(dòng)方程初邊值問題的求解

樊 龍

(山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同 037000)

目的波動(dòng)方程求解通常采用的方法是波的反射原理以及Fourier級(jí)數(shù)法，前者通過計(jì)算波在邊界上反射的次數(shù)，寫出相應(yīng)解的公式，缺點(diǎn)在于未得到一個(gè)統(tǒng)一公式，后者得出的解是較為復(fù)雜的Fourier級(jí)數(shù)形式，不利于體現(xiàn)波動(dòng)方程解的本質(zhì)特征。新的方法通過D’Alambert公式得出一維波動(dòng)方程初邊值問題的通解公式。方法先對(duì)問題的初邊值進(jìn)行相應(yīng)的奇偶性延拓，然后再利用D’Alambert公式得出問題在相應(yīng)區(qū)域的顯式表達(dá)，即初邊值問題的通解公式。結(jié)果通過D’Alambert公式以及函數(shù)的延拓，給出波動(dòng)方程混合問題的通解公式。結(jié)論此種方法較前兩種更為直接明了且直觀，體現(xiàn)了波反射原理的本質(zhì)，通過D’Alambert公式和延拓的組合寫出了一維波動(dòng)方程混合問題的通解公式，結(jié)論具有一般性。

波動(dòng)方程；D’Alambert公式；延拓；通解

本文主要討論以下初值問題：

(1)

波動(dòng)方程求解常用的方法是波的反射原理[1-6]以及分離變量法[7-9]，缺點(diǎn)在于波的反射原理只提及波經(jīng)過有限次的反射即可得到以上問題的解，并未給出一般的表達(dá)式，而分離變量法給出的解為級(jí)數(shù)形式，不利于體現(xiàn)方程和解之間的聯(lián)系。本文利用D’Alambert公式，對(duì)初值函數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)延拓，直接給出方程在各個(gè)區(qū)域的解的顯示表達(dá)，進(jìn)一步完善了已有結(jié)果，且給出了通解公式。

1 主要結(jié)論

為了求解問題(1)，首先考慮問題的邊值，對(duì)于此類自由邊界，采用文獻(xiàn)[1]中的方法，對(duì)初值φ(x),ψ(x)關(guān)于x=0,l做偶延拓，則函數(shù)的解必滿足邊界條件，具體過程在此省略。……