正交Hermite-Padé表中沿對角遞推公式

陶長虹, 夏迎春, 褚 標

(1.合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009; 2.安慶市石化第一中學,安徽 安慶 246001)

正交Hermite-Padé表中沿對角遞推公式

陶長虹1, 夏迎春2, 褚 標1

(1.合肥工業大學 數學學院,安徽 合肥 230009; 2.安慶市石化第一中學,安徽 安慶 246001)

文章首先建立了正交多項式序列中任意兩項乘積的公式,然后在正規性條件下,在s維正交H-P (Hermite-Padé)表中沿對角線遞推地構造正交H-P多項式序列,解決了正交H-P多項式的計算問題,并給出了余項估計式。

正交多項式;唯一性;Hermite-Padé逼近;Hermite-Padé表;對角遞推公式

0 引 言

Hermite-Padé(H-P)逼近是利用函數的形式級數對函數在原點附近進行逼近[1-7];正交H-P逼近是對函數的正交多項式展開式在區間上進行的整體逼近[8-12],兩者都有較重要的理論意義。

建立正交H-P逼近多項式表中的遞推關系對于正交H-P多項式的計算有著重要的意義。文獻[13]給出了正交H-P多項式表中的恒等式及相鄰頁面間的關系。本文給出在正交H-P多項式表中沿對角線的遞推關系,由此關系可計算正交H-P多項式表。

1 引 理

gn(x)=(x-an)gn-1(x)-bngn-2(x)

(1)

其中

g0(x)=1,g1(x)=x-a1;

n=1,2,…

(2)

M=max{m,n},N=min{m,n},

則

(3)

(4)

當N≥2時,可遞推計算出。

(5)

P(x)U(x)=

(6)

2 定 義

給定正交級數展開式

其中,s為大于1的整數,則稱U=(U1(x),U2(x),…,Us(x))為級數組。

給定向量L=(l1,l2, …,ls),li≥-1, 為整數且L中至少有一個分量非負。

定義1 設P1(x),P2(x),…,Ps(x)分別為次數不超過l1,l2, …,ls的廣義多項式,li為整數且li≥-1(若li=-1,則Pi(x)≡0)。若P1(x),P2(x),…,Ps(x) 不全恒為0且

(7)

則稱Φ(L)=(P1(x),P2(x),…,Ps(x))為U的L型正交H-P多項式(orthogonal Hermite-Padé polynomial,OHPP)。記

R(x)=O(gλ(L)(x))=cλ(L)gλ(L)(x)+…。

(8)

由推論2及(7)式或(8)式可得到一個含有P1(x),P2(x),…,Ps(x)、λ(L)+1個未知數、λ(L)個線性齊次方程的方程組。該方程組一定有非零解,即P1(x),P2(x),…,Ps(x)(即Φ(L))總存在。這樣的解不唯一,因而Φ(L)不唯一,但在下面的正規性條件下它是唯一的[4]。

定義2 若級數組U對任何滿足上述假設的向量L都有

Δ(L)=Δ(l1,l2,…,ls)=

在下文中,總是假設U是正規的。

3 正交H-P表中沿對角遞推公式

下面的遞推關系是在s維正交H-P表中進行的。

令L-1=(-1,-1,…,-1),Lj=Lj-1+Ed,j=0,1,2,…,其中,Ed為s維單位向量,其中第d個分量為1,其余分量為0。并記Lj=(lj1,lj2, …,ljs)。

下面的定理1將在正交H-P表中以顯示方式、遞推地構造OHPP序列{Φ(Lj)}(j=0,1,…),其中,g(x)Φ(Lj)=(Pj1(x),Pj2(x), …,Pjs(x)), degPji=lji,i=1, 2, …,s。此外,若記

則

ord(Rj(x))=j,j=0,1,2, …

(9)

Φ(L0)=Ed0, 相應地有R0(x)=Ud0(x)。對于任意n> 0,利用已知的Φ(Lj)及相應的余項Rj(x)(j

在算法中,Φ(Ln)的第dn個分量必須滿足degPn dn>degPj dn。定理1是最簡便的一種方法:Φ(Ln)為向量(0,0,…,0,glndn(x), 0, …, 0)(第dn個分量不為0)及Φ(L0),Φ(L1),…,Φ(Ln-1)的線性組合。因為Φ(Ln)與向量(0,0,…,0,glndn(x),0,…,0)相乘的結果為glndn(x)×Udn(x)=udndn+…,所以由(7)式知,可以選擇適當的組合系數,使得對應組合式中的余項Rn(x)滿足ord(Rn(x))=n。

對任意n≥0,在表中可由(10)～(12)式計算Φ(Ln),由(13)式計算余項Rn(x),具體如下：

(10)

其中,ln=ln dn;

(11)

(12)

余項Rn(x)的系數為:

(13)

上述結論顯然:由(10)式知,對任意αk,都有degPni≤lni,i=1,2,…,s; degPn dn=ln。由推論1,對應(Pn1(x),Pn2(x), …,Pns(x))的余項

(14)

其中,sdnk由(12)式給出;由(9)式、(11)式可依次消去Rn(x)中的g0(x),g1(x), …,gn-1(x)項,從而有ord(Rn(x))≥n。

下面的定理都假設Ln-1的各分量

ln-1, i≥0,i=1,2,…,s

(15)

令m為滿足下列條件的最大整數:m≤n-s,至多有一個Ln-Lm中的某個分量為0。

如果Ln-Lm中恰好存在為0的分量(記為第z個),那么一定存在整數m′、m″,滿足m

定理1 若對任何j,m

(16)

其中

j=m-1,m,…,n-1

(17)

(18)

(19)

證明由(19)式及假設知,m> 0。

首先根據引理1計算βjs′,γjs′,然后再用(16)～(19)式計算Φ(Ln)。

顯然,當j

(20)

第i(i=1,2,…,s,i≠dn)個分量的次數不超過相應的ln i,因此

注利用(16)～(19)式計算OHPP比較費時,但在ln=0時必須使用這些關系。當條件(16)式不滿足時,可應用定理2。

定理2 若m>0,存在正整數i,m

(21)

αj由(17)式得到,此時有：

余項Rn(x)由(19)式確定。

證明排列U1(x),U2(x),…,Us(x)使z=1(即第Lm,Lm+1, …,Ln的第1個分量值相同),dj1=2,…,djq=q+1,dn=dn′=q+2。

而ljidn

因為Ln-1-Ln′的前q+2個分量為0,其余為正,所以對任何αj,(21)式右端的第k(k=1,2,…,s)個分量的次數都不超過lnk;當k=q+2時,等于lnk。按照(17)式選擇αj即可使與Φ(Ln)對應的余式Rn(x)滿足ord(Rn(x))≥n。證畢。

4 結 論

本文在s維正交H-P表中沿對角線遞推地構造正交Hermite-Padé多項式序列,解決了正交Hermite-Padé多項式的計算問題,并給出了余項估計式。

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DiagonalrecursiveformulaonorthogonalHermite-Padétable

TAO Changhong1, XIA Yingchun2, CHU Biao1

(1.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.Anqing Shihua No.1 Middle School, Anqing 246001, China)

The product formula of any two polynomials in an orthogonal polynomial sequence is first established. Under the condition of regularity, the orthogonal Hermite-Padé(H-P) form sequences are recursively constructed along the diagonal in thes-dimensional orthogonal H-P table. This solves the calculation problem of orthogonal H-P table. And the corresponding remainder estimation formula is given.

orthogonal polynomial; uniqueness; Hermite-Padé approximation; Hermite-Padé table; diagonal recursive formula

2017-04-18；

2017-07-13

安徽省省級質量工程專業綜合改革試點資助項目(2012zy007);名師工作室資助項目(2015msgzs126)

陶長虹(1963-),男,安徽無為人,合肥工業大學副教授;褚 標(1967-),男,安徽無為人,博士,合肥工業大學副教授，碩士生導師，通訊作者:E-mail:hfgdhbt@163.com.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.10.026

O174.41

A

1003-5060(2017)10-1437-04

(責任編輯 朱曉臨)