利用導數的數學本質功能和正交向量的性質探究點到直線的距離

胡世博

摘要：在數學中，求證點到直線距離的公式具有多種方式，本文主要研究通過導數的數學本質功能和正交向量的性質對點到直線的距離進行探討。

關鍵詞：導數數學本質；正交向量形式；點；直線；距離

導數在數學中的本質就是瞬時變化，其是微積分中的基礎概念，并且尤為重要，其主要是通過極限概念實現函數局部的線性逼近，比如在運動學中，物體位移相對于時間導數來說就是物體的瞬時速度，導數實際上就是函數圖像中的斜率值。正交向量指的是二維或者三維空間中兩個或者三個向量為90°，正交向量的幾何就是正交向量組。在數學中，導數及正交向量是尤為重要的概念，在學習過程中要重視從多方面對其本質進行理解。通過導數數學本質及正交向量性質對點到直線距離進行探究，主要是將正交向量積和方程導數相結合實現的。基于此，本文就講此過程詳細的進行論述。數學中，點到直線的距離公式有很多求證方法，這里是一種利用導數的數學本質功能和正交向量的性質探究點到直線的距離的方法，將“方程導數”、“正交向量積”結起來，探究點到直線的距離。

一、導數的數學本質功能

數學中，導數（Derivative）是微積分中的重要基礎概念。當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續，不連續的函數一定不可導。

導數實質上就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則來源于極限的四則運算法則。

二、對圓的方程求導的數學意義

在平面內，設圓心O的坐標為（a1，b1）， 圓的半徑為r， 則，圓的方程為：（xa1）2+（y- b1） 2=r2 ----------------①式

我們不是一般性地將①式視為，動點（x，y）到定點（a1，b1）的距離d的函數特殊情況（此時，距離d為常數r）。

距離d的函數f（d）= f（x，y）=（x- a1）2+（y- b1） 2---------②式

對①式、②式進行求導，則有，

f/（d）= f/（x，y）=2（x- a1）·（x- a1）/+2（yb1） ·（y- b1） /=0

化簡則有，（x- a1）·（x- a1）/+（y- b1） ·（yb1） /=0 -----③式

即：（x- a1）·x/+（y- b1） ·y/=0 ----------------④式

x·x/+y·y/= a1·x/+ b1 ·y/

觀察③式、④式，可以視為：向量OM與向量n正交。

其中，過動點M（x，y）、圓心O（a1，b1）的半徑向量OM【記作：向量OM=（（xa1），（y- b1））】

過動點M（x，y）的切線向量n【記作：向量n=（（x- a1）/，（y- b1） /）】

三、根據正交向量的性質求索直線外一點到直線最小距離

我們設過動點M（x，y）的切線方程的一般式為 ：

A x+B y+C=0 ---------------⑤式

因為切線與圓的半徑正交，則有OM半徑向量=（ A， B）

根據向量內積其數學意義：本向量模長與“彼向量模長在本向量模長上投影長”的乘積，且有OM·n=|OM||n|cosθ。

于是則，|OM·n|≦|OM||n|| cosθ|

取等號時即為圓心到切線的最小距離。

最小

參考文獻

[1] 蘇懷堂， 韓靜波. 高中數學中導數幾何意義的妙用[J]. 新課程·下旬， 2015（11）.

[2] 王楠. 利用導數的數學本質功能和正交向量的性質探究點到直線的距離[J]. 中學生數理化：學研版， 2017（5）：47-47.

[3] 李紅武， 王驍力. 空間直線的向量表示及其在求點到空間直線距離的應用[J]. 南陽師范學院學報， 2009， 8（3）：24-26.endprint