圓錐面等測地曲率曲線的軌跡規劃方法

劉永佼,王顯峰,肖軍*

南京航空航天大學 材料科學與技術學院,南京 210016

圓錐面等測地曲率曲線的軌跡規劃方法

劉永佼,王顯峰,肖軍*

南京航空航天大學 材料科學與技術學院,南京 210016

為解決復合材料錐殼鋪放過程中的纖維殘余應變過大的問題,提出了等測地曲率曲線的軌跡規劃方法。通過分析發現軌跡的測地曲率決定了纖維的殘余應變,于是通過計算圓錐上任意曲線的測地曲率推導出了等測地曲率曲線的表達式,并證明在圓錐展開面上等測地曲率曲線是圓弧。最后,通過計算等測地曲率軌跡的殘余應變及其與圓錐母線的夾角分析該軌跡鋪放工藝性。結果表明:等測地曲率軌跡相較于固定角軌跡與測地線軌跡具有良好的可設計性和鋪放工藝性。

復合材料;自動鋪絲;軌跡規劃;等測地曲率;圓錐面

復合材料因其輕質、高強度、高模量、可設計性強、易于實現自動化整體化制造等特點而應用于航空航天等尖端技術領域[1-6]。復合材料錐殼在航空航天領域應用廣泛,如各類運載器與載荷的連接過渡段、固體火箭發動機噴管、人造衛星的碳纖維纏繞錐殼,以及航空領域上如飛機的雷達罩,寬體客機的尾機身等[7-8]。自動鋪絲技術可實現大尺寸、復雜形狀復合材料結構件的精密自動化制造,是復合材料低成本自動化制造技術的重要發展方向[9-14]。

現有復合材料結構,常以固定角度鋪層設計以滿足纖維按復合材料強度設計方向排布。一般采用0°鋪層、±45°鋪層和90°鋪層按照特定順序排布[15-16]。對于圓錐一類的可展曲面,采用解析法求解軌跡具有更高的精確度。圓錐構件采用固定角軌跡鋪放時,鋪放軌跡偏離測地線,鋪放過程有制造殘余壓縮應變產生,隨圓錐截面變小而變大,即從大端到小端應變逐漸增大[17]。纖維壓縮應變過大的區域鋪放質量較差,進而影響制件的性能[18]。對此,本文對圓錐的幾何特征進行解析,規劃出等測地曲率的鋪放軌跡,使整個制件的殘余應變均勻分布,避免產生性能薄弱區。

1 等測地曲率曲線求解

1.1 應變與測地曲率

由于預浸料中增強纖維彈性模量非常高,鋪放過程中纖維縱向拉伸變形能力有限,而纖維縱向受壓縮作用產生的微屈曲是預浸帶變形的主要機制。根據文獻[19]可得在平面上纖維鋪放的殘余應變為

式中:w為帶寬;kg為測地曲率。式(1)表明,當所使用的預浸帶寬度w一定時,平面上鋪放軌跡測地曲率越小,纖維應變絕對值越小,軌跡的可鋪放性越好。

實際鋪放的型面多為曲面,以自由曲面為對象研究其上任意一條曲線的特征,如圖1所示,e1、e2、e3為單位向量。C為曲面上一條曲線,P為曲線上的任意一點,k為曲線在P點的曲率向量,t為曲面在P點的切向量,n為曲面在P點的法向量。根據微分幾何理論,曲線上的任意一點的曲率向量k可以分解成兩個部分:一個在曲面法線n的方向上,另一個在與n和曲線在該點切向量t都垂直的方向上:

式中:kn為曲線的法向曲率。kn是與曲面本身有關的曲率,它只會使預浸帶產生厚度方向的縱向彎曲變形,由于預浸料很薄(0.125～0.2 mm),不會對軌跡的可鋪放性產生影響。而測地曲率kg的存在則會使預浸帶產生側向彎曲變形進而影響可鋪放性,所以對于任意的自由曲面的鋪放軌跡可將其測地曲率的大小作為評判軌跡纖維應變大小的依據[20]。由此可以推出等測地曲率曲線上纖維殘余應變處處相等。

1.2 等測地曲率曲線計算方法

如圖2所示,以圓錐的頂點為原點,圓錐的旋轉軸為Z軸建立直角坐標系。圓錐面可以表示為XOZ平面內一條直線l繞Z軸旋轉一周掃過的空間,該直線過O點且不與X 軸、Z軸垂直,l與Z軸的夾角θ為圓錐的半頂角。圓錐面上任意一點P的位置可以通過u、v兩個變量表示,其中u表示l繞Z軸旋轉的角度,v表示P點到O點的距離。點P的位置矢量OP記為r,則圓錐面可以表示為矢量函數r(u,v)的值域。該函數可以寫成直角坐標系的形式r(x,y,z),兩者的轉換關系為

根據微分幾何的知識可知,空間曲線C可以寫成位置矢量函數r(s)的形式,s為該點到曲線起始點之間的弧長。當曲線C位于圓錐面上時,其位置矢量函數還需滿足圓錐面的函數表達式,所以圓錐面上的曲線C的表達式為r(u(s),v(s))。由于該曲線具有等測地曲率的性質,從該性質入手可以推導出u(s)和v(s),代入式(3)即可得到曲線在笛卡兒坐標系下的參數方程。

微分幾何[21]中給出了測地曲率的計算公式為kg=r″(s)·(n(s)×r′(s)) (4)式中:r′(s)和r″(s)分別為r(s)的一階和二階導數;n(s)為圓錐面的單位法向量。對于任意曲面r(u,v),其單位法向量n(u,v)的計算公式為

式中:ru(u,v)和rv(u,v)分別為r(u,v)關于u和v的一階偏導數。將式(3)代入圓錐面的直角坐標表達式r(x,y,z)得到:

對式(6)分別求關于u、v的一階偏導數,并代入式(5)和u=u(s)得到圓錐面的單位法向量:

因為曲線C位于圓錐面上,因此曲線C參數代入圓錐面參數方程依然成立。將u=u(s)、v=v(s)代入式(6)得到曲線C的參數方程:

對r(s)分別求一階導數和二階導數,并和式(7)一并代入式(4)中可得:

式(8)無法直接得出u(s)和v(s)滿足何種條件時測地曲率kg為常數,不妨對特定的u(s)進行討論,找出盡可能簡單的曲線。

當u′(s)=0時,則u(s)為常數,u″(s)=0,此時kg恒等于0。由u(s)為常數可知曲線C是圓錐的母線,同時也是圓錐的測地線,測地線測地曲率恒為0,也是等測地曲率曲線。

當u′(s)≠0且u″(s)=0時,不妨設u=as+b則:若要kg為常數則要通過多項式求和消去式(9)中v、v′、v″中的含s項,式中多項式各項v、v′、v″的總次數都是2,若v=v(s)對于s求導不改變含s項的次數,則可通過調整各項系數來消去含s項。常見函數中滿足此條件的有兩種,v=m ens和v=m cos(cs)+n sin(cs)(為簡化計算設常數項為0,m、n、c為待定系數)。分別代入式(9)可得:

首先分析式(10),若要消除e2ns中s的影響,則需要m=0或n=0(a≠0且圓錐sinθ＞0)。對于v=m ens而言,m=0時v=0,曲線C為圓錐的頂點,不符合等測地曲率曲線的要求;當n=0時,v=m,此時曲線C為圓錐的截面圓,圓錐的截面圓是等測地曲率曲線。

接下來分析式(11),含s的項都是三角函數的二次項,所以最佳的消除方式是通過正余弦平方和為1的方式消除三角函數項。因此需要將系數配平,最直接的方法是令c=a sinθ,代入式(11)得:

式(12)中各參數均為常數,此種條件下曲線C是等測地曲率曲線。為進一步確定曲線C的幾何信息,則要盡可能確定式(12)中的未知參數,或者明確他們所代表的幾何意義。由圖2的圓錐坐標圖和式(6)的圓錐表達式,很容易得到在此坐標系下曲線C的弧長微分表達式:

將u=as+b和v=m cos(cs)+n sin(cs)以及c=a sinθ代入式(13),并通過等式左右相等可得線C的表達式為

1.3 等測地曲率曲線的幾何特征

對式(13)作變量代換,令x=v cos(u sinθ),y=v sin(u sinθ),則式(13)變形為

式(15)是平面上弧長的微分表達式,從式(14)空間弧長表達式變換到式(15)平面弧長表達式的過程中,d s并未發生變化,即保長變換。該變換過程對應的幾何意義是將圓錐的側面展開成平面扇形的過程。接下來討論曲線C在展開后的平面上具有什么樣的幾何特征。

為了計算簡便,設式(14)中的b=0且v≠0,則由式(14)可得v=m cos(u sinθ)+n sin(u sinθ),代入x=v cos(u sinθ),y=v sin(u sinθ)并整理可得

從式(16)可以看出曲線C在展開圖上是一個過原點(圓錐頂點)的圓,其半徑為其測地曲率等于該圓的曲率。由于過頂點的圓在軌跡規劃時有種種的局限性,所以該結論工程意義有限。為了盡可能滿足軌跡規劃的要求,要將該結論推廣到展開圖上一般圓上,即圓錐展開圖上的任意圓弧都是等測地曲率曲線。欲證明該結論,需要大量的微分幾何知識。圓錐曲面r(u,v)的全微分d r=rud u+rvd v,簡記為d r=rαdα,式中:rα=?r(u,v)/?α;α=u,v。后面出現的希臘字母α、β、γ、τ等若不特殊說明,作為變量時取值需要分別遍歷u、v。根據微分幾何曲面論給出r(u,v)的第一基本形式和第二基本形式:I=d r·d r=(rα·rβ)dαdβ,II=d2r·n=(rαβ·n)dαdβ,其中n,這樣,曲面圓錐曲面的兩個基本形式為

而第一類基本量gαβ和第二類基本量bαβ可以分別寫成一個2階矩陣,將矩陣記為(gαβ)。根據曲面論中第一基本形式的性質可知,矩陣(gαβ)是正定矩陣,因此(gαβ)存在逆矩陣,記為(gαβ)。第一基本形式還具備另外一個重要性質:I與參數選擇無關。即當x=x(u,v),y=y(u,v)時,存在gˉαβ使得I=gˉαβdαdβ。因此從圓錐曲面變換r(u,v)到平面r-(u,v)的過程中第一基本形式I是不變的,第二基本形式II是不具備該性質的,即II與參數選擇相關。而下面要證明測地曲率kg的值與參數選擇無關,即kg中不含第二類基本量。

由定義可得ru·rv=0,結合式(5)可知{r ;ru,rv,n} 是空間中的正交標架,即ru、rv、n是線性無關的,而?rα/?β仍然是空間中的向量,因此不妨假定

即系數Dαβ恰好是圓錐曲面的第二類基本量bαβ。在式(18)兩邊用切向量rτ作內積,則得

函數r(u,v)的兩次偏導數與求導的次序無關,因此rαβ關于下指標α、β是對稱的,于是記號Cαγβ和Cγαβ關于下指標α、β是對稱的。對gαβ=rα·rβ求偏導數得到并代入式(21)得到

將下標調換可得到

將這兩式相加,再減去式(22),并且利用Cγαβ關于后兩個下標的對稱性,則得

因此

由此可見,式(19)的系數函數Cγαβ是由圓錐曲面的第一類基本量及其一階偏導數決定的,因為第一基本形式由第一類基本量決定,且第一基本形式與參數選取無關,所以結合微分形式不變性可知,Cαγβ也是與參數選取無關的函數。

設圖1中的自由曲面為圓錐曲面r(u,v),其上的任意一條曲線u=u(s)、v=v(s)在空間中的參數方程為

r(s)=r(u(s),v(s))

沿曲線C建立正交標架場{r;e1,e2,e3},所以

結合式(2)和圖1以及微分幾何中對曲線曲率的定義可得:

在該式中代入式(18)可得

由于e3(s)=n,所以n⊥e2(s),因此

但是

因此,rγ·e2(s)的結果是rγ、n、e1(s)的混合積,混合積的幾何意義是三個向量構成的平行六面體的體積,由于n是單位向量,故

因此

前文已經證明Cαγβ只與曲面的第一類基本量及其偏導數有關,因此kg只依賴于曲面的第一類基本量和曲線的參數方程,與參數選擇無關。由于kg中不含有曲面第二類基本量,因此曲面作保長變換x=v cos(u sinθ)、y=v sin(u sinθ)時,測地曲率kg不發生變化。

由于圓錐曲面展開成平面扇形的過程kg不變,而平面上有kn=0,k=kg·e2(s),e2(s)為平面內的單位向量,即平面曲線的測地曲率等于其曲率。平面上任意圓的曲率是常數,因此圓錐展開圖上的任意圓弧在空間中都是等測地曲率曲線。

2 等測地曲率曲線工藝性分析

以錐角為60°的圓錐為例,圖3是小端直徑230 mm,大端直徑577 mm,長300 mm的一個圓錐面,紅色軌跡(左側)是固定角度軌跡,與圓錐面母線的夾角始終為30°。藍色軌跡(右側)是以固定角軌跡的兩端點為起始點和終止點,以圓錐曲面為支持面所做的測地線。綠色軌跡(中間)是介于固定角軌跡和測地線軌跡之間的一條等測地曲率曲線。等測地曲率曲線是三點確定的圓弧,分別是固定角軌跡的兩端點和固定角與測地線之間的一點,本例中第三點取固定角軌跡中點與測地線軌跡中點的連線的中點。

圖3中各軌跡為自動鋪放時的參考軌跡,即中心軌跡。以自動鋪絲為例,計算寬度為6.35 mm的單根預浸紗沿各軌跡鋪放時產生的壓縮應變,其中沿固定角度軌跡鋪放的壓縮應變記為εa,沿等測地曲率軌跡鋪放的壓縮應變記為εc,沿測地線軌跡鋪放的壓縮應變記為εg,圓錐的截面直徑記為d。從小端到大端各部分應變值如表1所示。從表中可以看出,固定角軌跡在小端附近壓縮應變很大。實際鋪放時纖維不產生宏觀褶皺變形的臨界應變值受很多工藝參數影響,根據文獻[18]可知在殘余壓縮應變達到0.5%時纖維的力學性能已有明顯下降,本文暫且以0.5%為標準進行衡量,可以看出按固定角軌跡鋪放時,小端附近的鋪放質量很差。從表1中可知,沿測地線鋪放纖維不產生應變;沿等測地曲率曲線鋪放時纖維產生一個較小的應變,在鋪放容許的范圍之內。從鋪放質量來看,測地線優于等測地曲率曲線,固定角軌跡有時不能滿足鋪放要求。

表1 小端至大端纖維壓縮應變Table 1 Fiber compressive strain from small end to large end of cone

雖然沿測地線鋪放的鋪放質量很好,但其鋪放方向與固定角度是有較大偏差的。表2計算了三種軌跡上從小端到大端各點處軌跡與圓錐母線的夾角,其中固定角軌跡與圓錐母線的夾角記為φa,等測地曲率軌跡與圓錐母線的夾角記為φc,測地線軌跡與圓錐母線的夾角記為φg。

從表2中可以看出,沿測地線鋪放時,纖維方向與最初設計有較大偏差,其最大偏差已超過10°,這對制件的力學性能會有較大影響[22]。等測地曲率曲線在角度偏離上要小于測地線。

由此可以看出,等測地曲率曲線是一種在方向性和鋪放性上均介于固定角與測地線之間的一種曲線,即在具有較小的纖維應變的情況下同時還能兼顧一定的方向性。等測地曲率曲線的位置可以通過圓弧的第三點來進行調節,使其更加靠近固定角曲線或是測地線,即更加注重方向性或是可鋪放性。因此在實際鋪放中可根據具體情況采用等測地曲率曲線來替代固定角曲線或測地線進行鋪放。

為驗證上述分析的合理性,以航天材料及工藝研究所提供的T300/603環氧樹脂預浸料為原料,以平面側彎鋪放實驗代替錐面鋪放實驗進行驗證。式(1)指出纖維的壓縮應變受預浸料寬度和測地曲率影響,1.3節證明了錐面曲線的測地曲率與展開面上圓弧曲率等價,因此可以用平面側彎實驗來替代錐面鋪放實驗。預浸料鋪放工藝條件如表3所示。

表2 小端至大端纖維角度Table 2 Fiber angle from small end to the large end of cone

結合表1和式(1)可以計算出應變值對應的曲率半徑,固定角應變值最大值和最小值對應的曲率半徑分別是505 mm和1 055 mm,等測地曲率應變值對應的曲率半徑為1 545 mm。圖4給出了不同曲率半徑下的寬度為6.35 mm單絲鋪放結果,當圓弧半徑R=6 350 mm時,預浸料表面光滑未出現褶皺,當圓弧半徑R=1 270 mm時,預浸料開始出現少許皺褶,此時纖維的壓縮應變為0.5%;當圓弧半徑R=790 mm時,預浸料尚未出現脫粘,此時應變值為0.8%,當圓弧半徑R=580 mm時,預浸料已經出現脫粘,此時應變為1%。由此可以得出,沿固定角鋪放時從大端到小端,纖維褶皺會逐漸增多直至脫粘;而沿等測地曲率曲線鋪放時預浸料表面光滑無褶皺,鋪放效果較好。

表3 鋪放工藝參數Table 3 Laying process parameters

3 結 論

1)為解決圓錐面纖維鋪放的殘余應變問題,提出了等測地曲率軌跡規劃方法,并以測地曲率作為殘余應變的評判標準。探究了圓錐曲面上曲線的測地曲率與曲線方程之間的關系,并推導出展開圖上過圓錐頂點的圓具有等測地曲率曲線的性質。

2)證明了圓錐曲面展開面上的任意圓在空間中都是等測地曲率曲線,使得在圓錐面上采用等測地曲率軌跡規劃成為可能。值得注意的是,該證明過程具有普適性,對于任意的可展曲面都可以采用相同的證明方法。即任意可展曲面的展開圖上的圓在空間中都是等測地曲率曲線。

3)通過計算比較了等測地曲率曲線和固定角曲線與測地線的鋪放工藝性優劣。等測地曲率曲線纖維的殘余應變與固定角軌跡相比更小,鋪放角度的偏差比測地線更小。等測地曲率曲線在保證較小的纖維應變的同時還能一定程度滿足纖維方向的要求,適用于圓錐曲面的小角度鋪放。

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Trajectory planning method for constant geodesic curvature curve of cone

LlU Yongjiao,WANG Xianfeng,XlAO Jun*

College of Material Science and Technology,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China

To solve the problem of excessive residual strain of fiber in conical shell laying process,a trajectory planning method with constant geodesic curvature is proposed.Analysis shows that the geometric curvature of the trajectory determines the residual strain of the fiber.The expression for the constant curvature curve is then derived by calculating the geometrical curvature of the arbitrary curve on the cone,and the constant geodesic curvature curve is proved to be a circular arc on the conical surface.The trajectory laying process is analyzed by calculating the residual strain of the constant geodesic curvature trajectory and its angle with the conical busbar.The results show that the constant geodesic curvature trajectory is better designability and laying processability than the fixed angle trajectory and the geodesic trajectory.

composite material;automated fiber placement;trajectory planning;constant geodesic curvature;conical surface

2016-11-01;Revised:2016-11-29;Accepted:2016-12-27;Published online:2017-02-17 16:14

URL:www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170217.1614.014.html

s:Major National Science and Technology Special Projects(2016ZX04002-001);A Project Funded by the Priority Academic Program Development of Jiangsu Higher Education lnstitutions

V261;TB332

A

1000-6893(2017)07-420904-08

10.7527/S1000-6893.2016.420904

2016-11-01;退修日期:2016-11-29;錄用日期:2016-12-27;網絡出版時間:2017-02-17 16:14

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170217.1614.014.html

“高檔數控機床與基礎制造裝備”科技重大專項 (2016ZX04002-001);江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

*通訊作者.E-mail:j.xiao@nuaa.edu.cn

劉永佼,王顯峰,肖軍.圓錐面等測地曲率曲線的軌跡規劃方法[J].航空學報,2017,38(7):420904.LlU Y J,WANG X F,XlAO J.Trajectory planning method for constant geodesic curvature curve of cone[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2017,38(7):420904.

(責任編輯:李世秋)

*Corresponding author.E-mail:j.xiao@nuaa.edu.cn