債券定價中的幾個常見疑問及教學探索

駱桂娣　徐珺

【摘 要】債券定價是金融資產定價中的基本問題。債券定價原理看似簡單，但一旦深究就會發現諸多問題。比如貼現率如何確定，現金流是否確定等，初學者往往困惑不解。該文從債券定價基本公式出發，針對學習過程中存在的4個常見問題進行細致分析，并分享了教學探索經驗，為有效提高教學質量提供思路。

【關鍵詞】債券定價；現金流；利率；違約

0 引言

債券定價問題金融學教學內容中的基本內容，在《利息理論》、《固定收益證券》等課程中均有涉及。其基本思想是把債券的當前價值看成未來現金流現值之和。盡管定價思想容易理解，并不意味著定價方法容易掌握。學生對貼現利率的多種解釋，未來現金流是否確定等都容易產生疑問。有些疑問并未在教材中深入探討，學生往往深感困惑。如何發揮教師的引導作用，深入淺出地給學生解疑釋惑非常重要。馬馳（2011），郗群（2015）， 吳蘭芬（2015）等均對此做過有益的探討。本文將深入分析債券定價中的疑點難點問題，分享教學經驗，供讀者討論。

1 債券定價中的4個疑問及思考

基于貨幣的時間價值，債券在當前時刻的理論價值等于債券未來現金流的現值之和。學生在計算未來現金流現值的時候通常會遇到諸多疑問。下面結合債券定價基本公式進行探討。假設某債券面值為F，它當前時刻的價值是P。該債券每年付息一次，下次付息在1年后，息票率為r，即每期債券持有人可以獲得利息rF。該債券n年后到期，到期償還值為Cn。該債券的現金流如圖1所示：

假設到期收益率為y，那么

該公式被稱之為債券定價基本公式。公式中等式左邊P是債券持有人現金流出量現值，等式右邊是債券持有人現金流出量的現值。顯然，債券價格P是關于y的函數。對P關于y求導可知一階導函數小于0而二階導函數大于0。換句話說，P是關于y的凸的減函數。學生往往對如下問題感覺十分困惑。

疑問1 有時教材將y稱為“市場利率”，該如何理解？

實際上，市場上存在許多類型的債券，每種債券都有各自的風險和未來現金流。債券的風險主要包括利率風險，信用風險，流動性風險等。一般而言，債券本身的風險越高，債券持有者承擔的風險越高，隨之獲得的回報也應當越高。相同風險和相同未來現金流的債券應當具有相同的價格。因此，利用公式（1）對高風險債券定價時所使用的y較大，而對低風險債券定價時所使用的y較小。y實際上反映了債券持有人所承擔風險的大小。當然，y除了受到債券自身風險的影響以外，還要受到供求關系、稅收政策等諸多因素其他因素影響。在完全競爭的市場假設下，每個債券一級市場的發行者或者二級市場的出售者都是市場價格的接受者，而不是決定者。因此，公式（1）中的y是具有與該債券相同風險和相同未來現金流的債券的平均收益率，它是由市場決定的，故稱為“市場利率”。此時，用市場利率y計算出來的價格P就是該債券的理論上的市場價格，將在例1中給出進一步解釋。

疑問2 有些教材上稱y是“投資者所要求的回報率”，該如何理解？

眾所周知，不同的投資者可能經營目標、風險態度，或者融資成本有所不同，因此在他們投資債券時所要求的回報率不同。比如，保守的投資者所要求的回報率可能是4%，而激進的投資者所要求的回報率可能是10%。再比如投資者A的融資成本是年利率4%，他愿意投資回報率為4%以上的債券；而投資者B的融資成本是7%，他要求的投資回報率應該在7%以上。當公式（1）中y是“投資者所要求的回報率”時，那么計算出來的價格P就是該債券在此投資者心目中的價值。由于P關于y遞減，故投資者所要求的回報率y越高，則該債券在此投資者心目中的價值越低，他越不愿意出高價購買。反之，投資者所要求的回報率越低，則該債券在此投資者心目中的價值越高，他越愿意出較高價格購買。從而，同一張債券在不同的投資者心目中的價值可能不同，這也是債券交易促成的一種解釋。下面用具體的例子說明以上問題。

例1：某債券面值為F=1000，該債券每年付息一次，息票率為r=6%，下次付息在1年后。該債券3年后到期，到期償還值為面值。請根據公式（1）回答如下問題：

（1）如果市場利率y=6%，請估計該債券的當前理論價格。

（2）如果投資者A所要求的必要回報率為y=5%，那么他愿意為購買該債券最多支付多少錢？

（3）如果投資者B所要求的必要報酬率為y=8%，那么他愿意為購買該債券最多支付多少錢？

【解】：（1）如果市場利率y=6%，則該債券的市場理論價為：

（2）如果投資者A所要求的必要回報率為y=5%，則該債券在投資者A心目中的價值為：

故投資者A最多愿意支付102.72元購買該債券。

（3）如果投資者B所要求的必要報酬率為y=8%，則該債券在投資者B心目中的價值為：

故投資者B最多愿意支付94.85元購買該債券。另外，如果該債券的真實市場價等于市場理論價100元，那么投資者A愿意購買，因為他認為該債券價值應當是102.72元；而投資者B愿意以100元拋售該債券，因為在B的心目中該債券只值94.85元。

疑問3： 公式（1）中的y是債券持有人在n年內的年平均收益率嗎？

在前面兩個問題中已經說明了y可以理解成市場收益率或者投資者所要求的必要報酬率。那么y是否就是投資者在n年內的年平均回報率呢？ 不妨對公式（1）兩邊同時乘以（1+y）n，可以得到：

P（1+y）=rF（1+y）n-1+…+rF（1+y）+rF+Cn………（2）

公式（2）的等號左邊表示P按照利率y復利n年的累積值，等號右邊表示債券持有人將所有的債券利息都按照年利率y復利累積到n時刻。由此可見，債券持有人要想在n年內的年平均收益率剛好是y，那就需要在市場上尋找其他投資機會，將每期獲得的債券利息進行再投資，并且再投資利率也恰好是y，否則論斷不成立。比如每期獲得的債券利息不作再投資，那么到n年末的總財富應當是 nrF+Cn，顯然小于公式（2）中的右式。此時計算出來的n年內年平均回報率一定小于y。反之，如果每期債券利息按照某個大于y的利率進行再投資，那么n年內年平均回報率一定大于y。為使問題更加直觀，下面舉例說明。endprint

例2：某債券面值為F=1000，該債券每年付息一次，息票率為r=6%，市場利率y=5%，下次付息在1年后。該債券3年后到期，到期償還值為面值。請回答如下問題：

（1）如果每期債券利息按照5%的年利率進行再投資，那么3年內債券持有人的年平均收益率是多少？

（2）如果每期債券利息按照3%的年利率進行再投資，那么3年內債券持有人的年平均收益率是多少？

（3）如果每期債券利息按照8%的年利率進行再投資，那么3年內債券持有人的年平均收益率是多少？

解：（1）因為該債券利息的按照y=5%進行再投資，根據公式（2）可知該債券3年內年平均收益率恰好是5%。

（2）由題意可知，每期債券利息是60元。到第3年年末債券持有人的總財富是 60（1+3%）2+60（1+3%）+60+1000=1185.45元，由例1知該債券價格是1027.20元。如果記年平均回報率為x，那么

1027.20（1+x）3=1185.45

計算可知，x=4.89%，它小于y=5%。

（3）類似與（2），記年平均回報率為z，那么

1027.20（1+z）3=60（1+7%）2+60（1+7%）+60（1+7%）+60+1000

可解得z=5.11%，它大于y=5%。

疑問4 考慮違約可能性時應如何對債券進行定價？

任何一種債券都有一定的違約可能性，信用風險始終存在。一旦發生違約，債券發行者就可能按照發行條款按約還本付息。換句話說，由于信用風險的存在，債券未來的現金流不是固定的而是存在一定的隨機性，這種不確定性給定價帶來了巨大的挑戰。嚴格地來講，應該對債券未來隨機現金流進行貼現求出隨機價格，然后再求期望值獲得該債券的理論價值。為了便于讀者和學生理解，圖2給出考慮違約可能性的債券現金流示意圖。圖2中τ表示債券違約發生時刻，它是一個隨機變量；[τ]表示對τ取整，它是數軸上離τ最近且比τ小的正整數；T=[τ]∧n表示債券違約時刻τ取整值與到期時間n中較小的那一個數，它是最后一次正常支付利息rF的時刻； Cτ∧n表示τ∧n時刻的償還值，它通常小于面值F。顯然，τ≥n意味著債券在到期日之前沒有違約，此時τ∧n=n，圖2退化成圖1形式；τ

類似公式（1），定價原理是當前債券價格P應當是未來現金流的貼現。但是，由于隨機的違約事件，未來現金流的現值也是一個隨機變量，所以應當對未來隨機現金流現值求期望。所以，相應的定價公式應當是：

P=E…………………（3）

公式（2）涉及到違約時刻、違約時償還值等隨機變量，這些數值需要借助歷史經驗數據進行估計、模擬。顯然，公式（2）的計算十分復雜，在本科階段一般不采用這種隨機定價的方法，而是采用基本公式（1）中較為簡單的方式進行定價。該公式的思路是先假定未來現金流固定即不考慮違約的可能性，而是采用利率y來反映包括信用風險在內的各種風險。可以把目標債券的收益率y用無風險利率y0表示出來，即y=y0+δ，這里δ≥0被稱之為利差，它反映了該債券的信用風險、流動性風險、提前贖回風險、稅收待遇等，它是對債券持有人承擔這些風險的一種補償。風險越高δ越大，從而導致債券理論價格P越小，那么債券持有人就可以用較為便宜的價格購買該債券，同時也承擔了較高的風險。公式（1）使債券定價問題得到大大簡化，更為復雜的定價方法要留待研究生階段學習。盡管公式（2）的具體計算對學生不作要求，但是它的定價思想可以向學生介紹。從作者教學經驗來看，它能夠起到激發學生學習興趣的作用。

2 相關教學探索

能否分析債券定價中的實際問題是檢驗學生對知識掌握程度的重要標準。在債券定價理論教授完畢之后可結合我國債券市場實務進行探索性教學，實質性提高學生分析實際金融問題的能力，激發學生學習興趣。

（1）分析我國債券發行情況。要求學生搜集資料，分組梳理我國政府債、金融債、企業債等發行歷史，討論各自的發行特點、是否附息、常見條款，銷售方式等。讓學生全面了解我國各類債券的發行情況。

（2）構建我國債券收益率曲線。對學生進行分組，要求每組學生搜集一段時間窗口內不同種類的信息，包括到期時間、付息情況、到期時間等，匯集成表格。然后根據公式（1）計算不同種類債券的到期收益率，并構建收益率曲線。具體包括中債國債曲線，中債地方政府債曲線、中債城投債曲線、中債商業銀行債券曲線等。要求每組學生代表在課堂上展示債券收益率計算細節，并將自己計算出的結果與中國債券信息網所公布的曲線圖對比差異，查找原因。

（3）分析近年來我國債券違約情況。要求學生搜集整理近年來我國債券違約情況，制作統計圖表。要求學生追蹤熱點債券違約事件，重點分析這些債券的違約原因。具體工作包括：債券發行時風險評級；債券發行時的價格和收益率；債券發行人在違約前的經營情況；違約前的市場價格和收益率波動情況；違約損失程度；違約發生后的處置方案及產生的影響等。

【參考文獻】

[1]馬馳.關于離散時間下可轉換債券定價模型的課堂教學探討[J].中國科技信息，2011（2）.

[2]郗群.任務驅動法與財務管理教學—以債券估價為例[J].當代經濟，2015（10）.

[3]吳蘭芬.用實際利率法計量金融資產的教學方案研究[J].職業，2015（6）.