基于磁梯度張量的目標多測量點線性定位方法

遲 鋮，任建存，呂俊偉，于振濤，宮 劍

(1.海軍航空工程學院，山東 煙臺 264001；2.海軍潛艇學院遙感所，山東 青島 266001)

基于磁梯度張量的目標多測量點線性定位方法

遲 鋮1，任建存1，呂俊偉1，于振濤2，宮 劍1

(1.海軍航空工程學院，山東煙臺264001；2.海軍潛艇學院遙感所，山東青島266001)

針對目前基于磁梯度張量的目標多測量點定位方法中存在求解過程復雜且無法得到解析最優解的問題，提出了基于磁梯度張量的目標多測量點線性定位方法。該方法將磁梯度張量的三個特征值按照一定關系組合得到一個與磁偶極子方向無關的不變量，同時利用絕對值最小的特征值對應的特征向量與距離矢量垂直的幾何關系，通過運動載體平臺的運動測量得到三個點的磁梯度張量數據，建立關于磁性目標位置的超定方程組，通過求廣義逆得到目標位置的最小二乘解。仿真實驗驗證表明，多測量點線性定位方法對磁性目標的定位效果較好，可以實現對磁性目標的精確定位，且磁力儀的測量精度、測量系統的基線距離和運載平臺的位移測量誤差是影響定位精度的主要因素。

磁梯度張量；不變量；特征向量；定位

0 引言

近幾年，磁梯度張量探測[1-5]作為一種新興的磁性目標探測技術而受到廣泛的關注，其在礦藏的勘探、UXO(Unexploded Ordnance)的定位等領域都有重要的應用價值。磁梯度張量是磁場三分量沿著空間三個方向的變化率，具有受目標磁化方向影響小的良好性質，并且可以有效的克服地磁場的干擾，提高目標的定位精度。

目前基于磁梯度張量的磁性目標定位方法可以分為單測量點定位方法和多測量點定位方法兩大類。2006年，Nara等[1]提出了單測量點磁梯度張量的線性反演定位算法，該定位算法利用單測量點的磁梯度張量和磁場矢量信息進行定位，可以實現對目標的單點實時定位，但是該定位算法中利用了磁場矢量的信息，不可避免地會受到地磁場的影響，進而對定位結果帶來較大誤差。張朝陽等[2]采用平面磁梯度張量系統對單測量點磁梯度張量的線性反演定位算法進行了仿真驗證。與此同時基于單測量點磁梯度張量特征值和特征向量的定位方法[3-7]也得到了深入的研究，但是該方法在計算得到目標位置的同時也得到了三個虛假解，存在無法確定唯一解的問題，因此要借助其他信息對三個虛假解進行去除。針對單測量點磁梯度張量定位方法中存在受到地磁場干擾以及單測量點無法確定唯一解的問題，多名學者提出了基于磁梯度張量的多測量點定位方法。于振濤等[8]提出了一種基于正六面體磁梯度張量系統的磁梯度張量差分定位方法，文獻[9-11]提出了一種基于正六面體磁梯度張量系統的不變量梯度定位方法，正六面體磁梯度張量系統可以同時測量正六面體六個平面中心點處的磁梯度張量數據，因此上述方法本質上是通過測量空間中多個測量點的磁梯度張量數據對目標進行定位。張光等[12]提出了載體平臺平動條件下的多點磁梯度張量定位方法，該方法通過運動載體平臺平動得到兩個點的磁梯度張量測量數據，結合平臺平動的運動參數，求取目標的位置，但是該方法需要求解非線性方程組，并且只能通過數值解法得到目標位置的近似解。本文針對此問題，提出了基于磁梯度張量的多測量點線性定位方法。

1 現有的磁梯度張量定位方法

距離測量系統較遠處的磁性目標可以視為一個磁偶極子，磁偶極子模型表示如下：

(1)

式中，m為磁性目標的磁矩，r為磁性目標到測量點的距離矢量，μ為磁導率，在空氣中μ≈4π×10-7Tm/A。

磁梯度張量是磁場三分量在空間的變化率，共有9個分量，表達式為：

G=

(2)

其中，磁梯度張量的各個分量的表達式為：

(3)

式中，下標i,j代表笛卡爾坐標系下的三個分量，當i=j時，δij=1，當i≠j時，δij=0。由式(3)可得磁梯度張量G具有對稱性，且主對角線上的三個分量和為零，因此9個分量中只有5個是獨立的。

常見的磁梯度張量系統根據結構組成可以分為十字形結構、正方形結構、三角形結構、正四面體結構、正六面體結構等，文獻[13]對不同結構組成的系統進行仿真計算得到十字形結構系統測量結果最精確、結構最優，因此本文中選擇十字形結構系統對磁性目標進行定位，十字形磁梯度張量系統由四個磁通門磁力儀組成，系統的結構如圖1所示。

根據差分方程，通過不同磁力儀的測量值可以求得中心點處的磁梯度張量值

(4)

式中，B1x代表標號為1的磁力儀測量的x軸分量，d為系統的基線，即同一坐標軸方向上的兩個磁力儀之間的距離，?代表的分量可由磁梯度張量自身的對稱性求得。

Nara等[1]提出的單測量點磁梯度張量的線性反演定位算法如下式所示：

r=(x,y,z)T=-3G-1(Bx,By,Bz)T

(5)

由式(5)可得，通過測量磁性目標的磁梯度張量和磁場三分量即可實現對目標的單測量點線性反演定位，而在實際的測量中，測量結果不可避免地會受到地磁場的影響，地磁場的梯度較小，一般小于0.02 nT/m，而地磁場的總強度在30 000～70 000 nT之間，較小的估計誤差就會對目標的定位帶來較大的誤差。因此，文獻[8,12]分別提出了多測量點定位方法，但是現有的基于磁梯度張量的多測量點定位方法需要求解非線性方程組，存在求解過程復雜、無法得到解析最優解的問題。針對上述問題，本文通過研究磁梯度張量特征值的特性，得到一個與磁偶極子方向無關的不變量，同時分析特征向量與距離矢量之間的幾何關系，得出絕對值最小的特征值對應的特征向量與距離矢量相垂直的幾何關系，最后利用上述性質建立超定方程組實現對磁性目標的定位。

2 基于磁梯度張量的多測量點線性定位方法

2.1 特征值和特征向量的特性分析

磁梯度張量不變量是對磁梯度張量進行一定的運算得到一些不隨坐標轉換而變化的標量，常見的不變量有磁梯度張量的跡、模、特征值等。Clark在文獻[5]中定義了一個不變量，表達式如下：

(6)

式中，λ1、λ2、λ3分別為磁梯度張量的三個特征值，且滿足λ1≥λ2≥λ3。為了分析該不變量的性質，同時分析特征向量與距離矢量之間的幾何關系，建立如圖2所示的坐標系。

設磁性目標的磁矩位于xoy平面內，目標的磁矩為m=(mcosθ,msinθ,0)T，目標到測量系統的距離矢量r=(r,0,0)T。根據式(3)，依次求得磁梯度張量的各個分量的值為

(7)

求解式(7)中磁梯度張量的三個特征值按從大到小順序依次排列如下所示：

(8)

將式(8)中的特征值帶入到式(6)可得，不變量υ與目標距離的平方成反比，具有與磁偶極子方向無關的性質。同時求得式(7)中磁梯度張量的三個特征值對應的特征向量分別為：

(9)

由式(9)可得，絕對值最小的特征值λ2對應的特征向量u2垂直于m、r矢量所在的平面，特征值λ1、λ3對應的特征向量與m、r矢量所在平面共面。

2.2 多測量點線性定位方法

假設磁性目標位于坐標(x0,y0,z0)位置處，在磁梯度張量系統連續的測量點(xi,yi,zi)處，不變量υi可以表示為：

(10)

(xi-x0)bix+(yi-y0)biy+(zi-z0)biz=0

(11)

由于需要求解的未知數有x0、y0、z0、m共四個，因此通過連續兩個測量點的數據便可列出四個方程，即可實現對目標的位置坐標的求解，但是實際定位過程中存在測量噪聲等因素可能會出現無解或者誤差較大的情況，同時為了建立關于目標位置坐標的線性方程組，本文通過測量三個點的磁梯度張量數據，建立超定方程組，給出了目標位置的最小二乘算法。根據十字形磁梯度張量系統連續三點的測量數據，令：

則可以列出關于目標位置坐標的線性方程組

MX=V

(12)

則該線性方程組可以通過對矩陣M求廣義逆給出關于目標位置坐標的最小二乘解：

X=(MTM)-1MTV

(13)

3 仿真實驗

由仿真結果可得，本文提出的多測量點線性定位方法的定位效果優于Nara提出的定位方法，原因主要為本文提出的定位方法利用磁梯度張量的特征值和特征向量信息對目標進行定位，不需要利用地磁場的估計值，因此該方法可以克服地磁場的干擾。由圖4可得，多測量點線性定位方法對磁性目標有較高的定位精度，隨著平臺與磁性目標之間的距離減小，定位誤差不斷減小，在t=1 s時，平臺距離磁性目標81 m，多測量點線性定位方法對目標的定位誤差為0.55 m，定位相對誤差0.7%，可以實現對磁性目標的精確定位。

分析影響磁性目標定位誤差的因素可能有：1)磁力儀的測量精度；2)測量系統基線的大小；3)運載平臺的位移測量誤差。

1)磁力儀的測量精度與定位誤差的關系

仿真分析在不同的磁力儀精度下，多測量點線性定位方法對磁性目標的定位誤差，磁力儀的精度分別取為0.1 nT、0.01 nT、0.001 nT，仿真實驗結果如圖5所示。

由仿真結果可得，隨著運動載體平臺與磁性目標之間的距離減小，不同精度的磁力儀的定位誤差都減小，但是磁力儀精度越高，磁性目標的定位誤差越小，在t=1 s時，精度為0.1 nT的磁力儀就會出現較大的定位誤差，此時的定位誤差大于4 m，而精度為0.001 nT的磁力儀的定位誤差一直較小，在t=1 s時定位誤差小于0.5 m。

2)測量系統基線的大小與定位誤差的關系

仿真分析當十字形磁梯度張量系統的基線分別取為0.2 m、0.5 m、0.9 m時，多測量點線性定位方法對磁性目標的定位誤差，仿真實驗結果如圖6所示。

由仿真結果可得，測量系統基線距離越大，磁性目標的定位誤差相對越小。當基線距離一定時，隨著運動載體平臺距磁性目標的距離減小，定位誤差不斷減小。

3)運載平臺的位移測量誤差與定位誤差的關系

仿真分析當運載平臺的位移測量誤差的大小分別為0.1 m、0.3 m、0.5 m時，多測量點線性定位方法對磁性目標的定位誤差，仿真實驗結果如圖7所示。

由仿真結果可得，隨著運動載體平臺與磁性目標之間的距離減小，磁性目標的定位誤差先減小隨后在一定范圍內波動，且運載平臺的位移測量誤差越大，磁性目標的定位誤差相對越大。

4 結論

本文提出了基于磁梯度張量的多測量點線性定位方法，該方法可以克服目前基于磁梯度張量多測量點定位方法中求解過程復雜、無法得到解析最優解的問題。仿真實驗驗證表明，多測量點線性定位方法對磁性目標的定位效果較好，可以實現對磁性目標的精確定位，且磁力儀的測量精度、測量系統的基線距離和運載平臺的位移測量誤差是影響定位精度的主要因素。多測量點線性定位方法可以搭載于運動載體平臺上實現對靜止磁性目標的定位，不足之處在于對運動目標不能實現定位，在下一步的工作中應該研究運動目標的定位方法。

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LinearLocalizationMethodBasedonMagneticGradientTensorofMulti-points

CHI Cheng1，REN Jiancun1，Lü Junwei1，YU Zhentao2，GONG Jian1

(1.Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China; 2.Institute of Remote Sensing, Naval Submarine Academy, Qingdao 266001, China)

Aiming at the problem that localization method of target based on the magnetic gradient tensor of multi-points is characterized by nonlinear equations whose optimal analytical solution cannot be obtained, linear localization method based on the magnetic gradient tensor of multi-points was proposed in this paper. Firstly, an useful rotational invariant was introduced, the invariant could be calculated from eigenvalues of magnetic gradient tensor, which was independent of the magnetization direction; Then the property of eigenvectors was deduced in this paper, and we came up with the conclusion that the eigenvector corresponding to the eigenvalue which had the smallest absolute value was perpendicular to the source-sensor displacement vector, according to property shown above, location of the magnetic target could be calculated by solving linear equations of magnetic gradient tensor measured at three points. Results of the simulations showed that the proposed method was effective in magnetic target localization, magnetometer precision, baseline of magnetic gradient tensor system and displacement measurement error of platform were main factors affecting the location error of magnetic target.

magnetic gradient tensor; invariant; eigenvector; localization

2017-03-25

國家863高技術研究發展計劃項目資助(2015AA0922)

遲鋮(1989—)，男，山東日照人，博士研究生，研究方向：磁性目標探測。E-mail:Cheng.chihhu@163.com。

U666.1

A

1008-1194(2017)05-0058-05