利用兩次最大似然估計的單站外輻射源時差定位算法

張玉靈，何 俊，朱健東，戴幻堯

(1.鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院， 河南 鄭州 451191；2.洛陽電子裝備試驗中心，河南 洛陽 471003)

利用兩次最大似然估計的單站外輻射源時差定位算法

張玉靈1，何 俊1，朱健東2，戴幻堯2

(1.鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院，河南鄭州451191；2.洛陽電子裝備試驗中心，河南洛陽471003)

針對多站外輻射源定位系統(tǒng)復(fù)雜度高問題，提出了一種單站外輻射時差(TDOA)定位算法。該算法利用兩次最大似然估計算法分步解相關(guān)得到目標(biāo)的精確位置。仿真結(jié)果表明，時差誤差較小時，估計的均方誤差(MSE)接近CRLB，隨著目標(biāo)遠(yuǎn)離觀測站，定位誤差隨之增大，目標(biāo)距離地面的高度越低，z軸的估計誤差越大。該方法利用單站接收目標(biāo)的多個信號時差信息進(jìn)行定位，能夠克服多站定位中時間同步困難等問題。

單站外輻射源定位；最大似然估計；時差定位；CRLB

0 引言

基于外輻射源的無源定位方法，又稱被動協(xié)同定位(Passive Coherent Location, PCL)方法。由于該技術(shù)在航空和電子領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，以及其相比于主動雷達(dá)具有體積小、高隱蔽性、低空探測能力等優(yōu)點[1]，近年來成為各研究機構(gòu)和學(xué)校的研究熱點。可用于定位的外輻射源包括調(diào)頻廣播 (Frequency Modulation, FM)[2]信號、數(shù)字電視 (DVB-T)[3-4]信號、手機信號基站W(wǎng)iFi[5]等常見的民用信號。相比于多站系統(tǒng)，單站系統(tǒng)機動性強、成本低，且不存在時間和數(shù)據(jù)同步的問題。因此研究高精度的單站外輻射源定位方法具有重要的意義。

目標(biāo)的定位算法主要包括利用接收信號強度(RSS)的算法[6]，利用信號到達(dá)方向(DOA)[7-8]以及利用信號的傳播時間(TOA, TDOA)的算法[9]。如果被定位的目標(biāo)是移動的，還可利用接收信號的頻差(FDOA)[10]來實現(xiàn)目標(biāo)的定位，另外還有根據(jù)信號接收站的特點聯(lián)合多種信息的定位方法[7,10]。不同的觀測信息使系統(tǒng)的復(fù)雜度不同，信息量越少越單一，系統(tǒng)越簡單；信息量越多，系統(tǒng)越復(fù)雜。所以模型的確定需根據(jù)實際而定。

現(xiàn)有基于到達(dá)時間的定位方法主要是針對目標(biāo)輻射源定位的多站系統(tǒng)[11-12]，系統(tǒng)硬件復(fù)雜度高。針對多站外輻射源定位系統(tǒng)復(fù)雜度高問題，提出了利用兩次ML估計的單站外輻射TDOA定位算法。采用兩步最大似然估計算法實現(xiàn)對目標(biāo)的精確定位，并將定位的結(jié)果與CRLB比較，同時分析了定位算法的性能。

1 單站外輻射源定位方法

無源定位系統(tǒng)大致可以分為兩種類型：多站系統(tǒng)和單站系統(tǒng)。多站系統(tǒng)需要各站之間同步工作并進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)傳輸，此外還要求對集中的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合處理，使定位系統(tǒng)變得復(fù)雜，也限制了系統(tǒng)的機動性，因此，近幾年來，單站無源定位技術(shù)受到了越來越多的關(guān)注。單站無源定位技術(shù)是利用一個觀測平臺被動接收信號來實現(xiàn)的定位技術(shù)，主要有兩種類型：一是直接對未知位置的輻射源定位；二是利用確定性的且已知地理位置的輻射源，通過測量其照射到目標(biāo)后反射信號的方位角、俯仰角以及反射信號與直接到達(dá)信號的時間差，建立一系列的觀測方程，通過解算來確定航行中目標(biāo)的空間位置。文獻(xiàn)[11]提出采用多個接收站同時接收，一個外輻射源經(jīng)過一個或多個目標(biāo)散射回來的信號，對目標(biāo)進(jìn)行定位。從幾何學(xué)的角度來看，確定空間一點，可以由三個或三個以上的曲面或平面在三維空間中相交得到，該數(shù)學(xué)原理在很多文獻(xiàn)上均有論述，篇幅所限這里不贅述。

2 利用兩次最大似然估計的時差定位算法

提出一種新的單站外輻射源定位方法，定位模型如圖1所示。與文獻(xiàn)[11]不同，本文定位模型包含單個接收站，N個外輻射源，一個或多個目標(biāo)，利用單個接收站接收到的多個反射信號到達(dá)時間差(TDOA)對目標(biāo)定位。本文提出的信號定位體制適應(yīng)于可選外輻射源較多的情形，利用單個接收站即可定位，進(jìn)而不需要考慮多站之間的時間同步問題。下面分別給出物理模型和非線性數(shù)學(xué)解算方法。

算法第一步假設(shè)需要估計的目標(biāo)位置x,y,z和距離R為狀態(tài)量θ=[x,y,z,R]，為便于理解和計算，這里設(shè)x,y,z和R不相關(guān)，通過ML算法獲取θ的估計值。第二步再次通過ML算法實現(xiàn)解相關(guān)，得到目標(biāo)位置估計。

τk=(R+rk-dk)/c+vτk

(1)

2.1 第一次最大似然估計

對式(1)移項，得：

c(τk-vτk)-R+dk=rk

(2)

對式(2)兩邊同時平方，化簡得：

(3)

h-Sθ=Bv+O(v2)≈Bv

(4)

式中，

θ=[x,y,z,R] ，

v=[vτ1,…vτN]T，

B=diag(cR-cd1-c2τ1,…,cR-cdN-c2τN) 。

φ=h-Sθ

(5)

根據(jù)噪聲假設(shè)和式(4)可知E[φ]=0，且其協(xié)方差矩陣為：

(6)

根據(jù)高斯誤差向量的特性，假設(shè)θ已知時，構(gòu)建誤差向量的概率密度函數(shù)為：

(7)

通過式(7)求解θ的ML解。首先對式(7)求偏導(dǎo)：

(8)

進(jìn)而得到：

(9)

當(dāng)時延的估計誤差不是高斯噪聲時，式(9)得到的也是最小二乘(LS)解[11]。

但對于定位的問題，式(9)不可直接得到估計結(jié)果，因為Ψ矩陣包含的B是θ的函數(shù)，所以這里需要用迭代的方法來得的待估參數(shù)θ的值。迭代步驟為：

1)選擇Ψ一個初值，Ψ0=Q；

上述迭代的過程可以畫成流程圖如圖2所示。

2.2 第二次最大似然估計

(10)

其中，ei,i=1,2,3,4為步驟1)中的估計誤差。

(11)

所以：

(12)

(13)

將式(13)化簡并省略高次項：

(14)

求得：

(15)

將式(12)帶入式(15)得：

(16)

所以：

(17)

因為BE[vvT]BT=Ψ，所以式(17)化簡為：

(18)

實際的計算中用步驟1)的估計值來代替真實值。

構(gòu)建向量：

(19)

將式(10)帶入式(19)化簡得

(20)

同理于式(6)的推導(dǎo)過程，得：

(21)

(22)

進(jìn)而得到目標(biāo)位置：

(23)

(24)

那么，TSE算法的計算步驟可歸納為：

2.3 多目標(biāo)定位方法

上面針對的場景是單個目標(biāo)，如果場景內(nèi)存在多個觀測目標(biāo)，則式(1)將不滿足觀測方程的要求。此時假設(shè)目標(biāo)為(xj,yj,zj)，其中j=1,2,…,M，M為目標(biāo)個數(shù)。那么觀測方程可改寫為：

(25)

如果參數(shù)估計過程可將第j個目標(biāo)對應(yīng)的時延[τ1,τ2,…,τN]T區(qū)分出來，可利用本文2.2節(jié)和2.3節(jié)的算法分別求解得到M個目標(biāo)的位置。但是，結(jié)合圖 1所示的定位模型可知，存在M個目標(biāo)時，會產(chǎn)生MN個時延，如何將MN個時延組合成M個觀測方程是多目標(biāo)估計的難點。

(26)

從參數(shù)估計的角度思考多目標(biāo)問題。可以參照文獻(xiàn)[12]的方法獲取多目標(biāo)的大致方位，進(jìn)而區(qū)分不同目標(biāo)對應(yīng)的時延，進(jìn)一步估計出多目標(biāo)的位置。由于這里主要是區(qū)分不同目標(biāo)對應(yīng)的參數(shù)，所以只需目標(biāo)的大致方向，所以MIMO雷達(dá)的接收端可用干涉儀模型減小計算量。

3 僅用時差定位的CRLB及性能分析

估計誤差的克拉美-羅(Cramer-Rao)下限(CRLB)是對定位跟蹤問題的有意義并且實際的評價，它揭示了對于所討論的模型，狀態(tài)估計誤差的統(tǒng)計平均的下限。本節(jié)通過推導(dǎo)新算法的估計極限性能的解析表達(dá)式，為評估算法性能提供數(shù)學(xué)依據(jù)。

3.1CRLB推導(dǎo)

將式(1)寫為向量形式為：

τ=f(X)+v

(27)

式中，τ=[τ1,…,τN]T，X=[x,y,z]T，f(X)=[f1(X),…,fN(X)]T，v=[vτ1,…,vτN]T。根據(jù)前文假設(shè)，vτi為高斯的，那么可以構(gòu)建起概率密度函數(shù)為：

(28)

(29)

計算得到FIM的各元素如下：

那么系統(tǒng)的估計誤差的均方誤差MSE滿足：

(30)

3.2 性能分析

同理于式(18)的推導(dǎo)過程，得到Υ的估計方差為：

cov(Υ)=(GTΩ-1G)-1

(31)

(32)

式中X.2為對向量中的每個元素分別平方，C=diag(x,y,z)。從而得到最終估計結(jié)果的方差為：

(33)

分別將式(18)，式(21)，式(31)帶入式(33)，最終得到

(34)

4 實驗仿真

現(xiàn)有的時差定位算法主要是針對基于目標(biāo)輻射源的多站時差定位法。這類算法雖也適用于本文所研究的模型，如文獻(xiàn)[13]利用替換求解的方法獲取輻射源位置估計。但是該方法在算法模型中沒有考慮誤差因素，所以定位的精度不高，同時該算法存在模糊現(xiàn)象。因此本文算法優(yōu)于文[12]算法。為了驗證本文算法的可行性和算法的優(yōu)越性，將本文算法估計的MSE與CRLB對比，在下文的實驗中，應(yīng)用到的輻射源的位置坐標(biāo)假設(shè)如表1所示。

表1 外輻射源的位置

并假設(shè)時延的觀測誤差均相同，根據(jù)文獻(xiàn)[12]假設(shè)時延估計誤差變化的范圍在10～1 000 ns之間。

實驗1：算法定位精度分析

為了驗證算法的定位精度，將估計的結(jié)果與CRLB對比。首先假設(shè)在6個外輻射源的條件下，時延誤差為10～1 000 ns之間，取10個觀測點，得到目標(biāo)在[10,10,10] km時的估計結(jié)果如圖3所示。從圖中所示的結(jié)果可知，當(dāng)時延誤差較小時，定位精度較高，接近CRLB，當(dāng)TDOA誤差大于100 ns之后，估計誤差增大并偏離CRLB，因此后面的仿真，均選擇TDOA誤差等于100 ns。且z坐標(biāo)的誤差相對與x軸與y軸要大，偏離CRLB也越大。這是由于算法模型是在省略誤差高次項的條件下成立的，當(dāng)觀測誤差較大時，近似的觀測方程不準(zhǔn)確，所以估計結(jié)果不精確。

當(dāng)目標(biāo)遠(yuǎn)離觀測站時，設(shè)目標(biāo)位置為[100,100,10] km時的定位結(jié)果如圖5所示，在整個時差誤差條件下，x、y軸的估計誤差的MSE基本接近CRLB。當(dāng)στi<40 ns時，估計誤差的MSE偏離CRLB。

當(dāng)στi>600 ns之后，定位算法對于z軸基本失去意義了，此時已經(jīng)不能得到z軸位置估計，所以才會出現(xiàn)MSE低于CRLB的現(xiàn)象。對比圖3和圖4發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)偏離觀測站時，估計誤差增大。

實驗2：步驟1)的迭代次數(shù)對估計結(jié)果的影響

假設(shè)有6個外輻射源，目標(biāo)位于[10,10,10]km的位置，時延誤差標(biāo)準(zhǔn)差為100 ns，得到算法步驟1)中每次迭代的結(jié)果與真實目標(biāo)位置的偏差結(jié)果如圖5所示。從圖5的結(jié)果可知，2次迭代就可使步驟1)的估計結(jié)果趨于穩(wěn)定，所以在之后的實驗中，迭代步數(shù)定為3。

實驗3：算法性能分析

目標(biāo)定位的幾何精度因子(Geometric Dilution of Precision, GDOP)為

(35)

為了研究目標(biāo)定位的誤差隨著目標(biāo)位置的改變的變化情況，需要在一定的目標(biāo)位置條件下畫出GDOP的等高線圖，但是由于等高線圖只能有兩個變量，所以這里假設(shè)目標(biāo)的高度是確定的條件下的GDOP圖。下面給出TDOA誤差標(biāo)準(zhǔn)差為100 ns時的GDOP圖。

圖6到圖8給出了不同條件下的GDOP等高線圖。從圖中可知，隨著目標(biāo)遠(yuǎn)離觀測站，估計誤差隨之增加，當(dāng)目標(biāo)距離觀測站100 km左右時達(dá)到最大，然后減小，當(dāng)增加到200 km左右時達(dá)到最小，然后增大。從圖6和圖7可以看出，當(dāng)目標(biāo)出現(xiàn)在(-100,100)km和(100,-100)km時誤差出現(xiàn)一個最大值現(xiàn)象。通過對比輻射源在坐標(biāo)軸上的位置，發(fā)現(xiàn)在這兩個項現(xiàn)剛好沒有輻射源，從而出現(xiàn)這個現(xiàn)象。為了驗證該問題，圖8的GDOP圖為8個輻射源。且新增的兩個輻射源坐標(biāo)分別為(20, -20, 0.8)km和(-20, 20, 0.8)km。同時，對比圖6和圖7可知，相同的誤差條件下，目標(biāo)的位置越高，估計精度越高，從圖4和圖5的結(jié)果可知這是因為低空目標(biāo)的z坐標(biāo)估計誤差大。

5 結(jié)論

本文提出了利用兩次ML估計的單站外輻射源TDOA定位算法。區(qū)別于多站定位，該單站定位模型采用多個外輻射源時差信息，該算法利用兩次ML算法逐步解相關(guān)得到目標(biāo)的精確位置。實驗仿真采用6個外輻射源，并將估計的結(jié)果與CRLB對比，表明時差(TDOA)誤差較小時，估計的均方誤差(MSE)接近CRLB；隨著目標(biāo)遠(yuǎn)離觀測站，x軸和y軸的估計結(jié)果越穩(wěn)定，z軸估計誤差越早偏離CRLB；通過作GDOP圖可知，隨著目標(biāo)遠(yuǎn)離觀測站，定位誤差隨之增大，距離增大到一定程度時達(dá)到極大值而后減小又增大的趨勢，目標(biāo)距離地面的高度越低，z軸的估計誤差越大。該方法利用單站接收目標(biāo)的多個信號時差信息進(jìn)行定位，能夠克服多站定位中時間同步困難等問題。

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Single-ObserverPassiveCoherentTDOALocationUsingTwiceMLEstimationAlgorithm

ZHANG Yuling1, HE Jun1, ZHU Jiandong2, DAI Huanyao2

(1.Shengda College of Economics & Trade Management of Zhengzhou, Zhengzhou 45119, China; 2.Electronic Equipment test Center, Luoyang 471003, China)

To solve the high complexity of multi-station passive coherent Location systems,the single-station location based on time difference of arrival is studied. two-step maximum likelihood (ML) estimation algorithm was iterated to get target position and distance estimation. The simulation showed that, when the time difference of arrival (TDOA) error was small, the estimated mean square error (MSE) was close to CRLB. Meanwhile, as the target was far from the observation station, the positioning error increases, and the lower the height of the target, the greater the estimation error ofz-axis. The proposed location method used time difference information of single-station to receive the multiple signal from a target, which could overcome those difficulties such as time synchronization in the multi-station locating.

single-station passive coherent Location; maximum likelihood; TDOA localization; CRLB

2017-04-26

國家自然科學(xué)青年基金項目資助(61401469)

張玉靈(1979—)，女，河南鄭州人，碩士，副教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)、雷達(dá)信號處理的理論和方法。E-mail:leoneast@sina.com。

TN974

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1008-1194(2017)05-0045-07