陀螺誤差在線建模的遞推最小二乘法系統辨識

王佳偉，梁 軻，徐國泰，楊愷華，閆 杰

(1.西北工業大學，陜西 西安 710072；2.機電動態控制重點實驗室，陜西 西安 710065)

陀螺誤差在線建模的遞推最小二乘法系統辨識

王佳偉1,2，梁 軻2，徐國泰2，楊愷華2，閆 杰1

(1.西北工業大學，陜西西安710072；2.機電動態控制重點實驗室，陜西西安710065)

針對MEMS陀螺不確定性誤差建模方法只能離線進行的問題，提出了陀螺不確定性誤差時間序列法在線建模中的迭代遞推最小二乘法系統辨識方法。該方法首先通過少量實測陀螺輸出數據采用最小二乘法估計出系統參數的粗略值，隨后利用新測量到的實時數據采用可重復迭代的遞推算法使現有系統參數估計值向其真值逐步逼近。實驗室驗證結果表明：采用該方法的陀螺不確定性誤差模型輸出與陀螺真實輸出的殘差高度近似于白噪聲，從統計學角度來說該誤差模型能夠精確描述陀螺不確定性誤差輸出特性，該方法可以實現陀螺不確定性誤差在線建模。

陀螺不確定性誤差；在線建模；遞推最小二乘法

0 引言

精確制導炮彈多采用衛星定位和微型慣性組合測量彈道/彈體姿態，MEMS角速率陀螺(以下簡稱MEMS陀螺)是慣性組合中的重要組成器件，其自身精度直接影響彈體姿態的測量精度。目前提高MEMS陀螺測量精度可以通過改進生產工藝和對其進行誤差補償兩種方式實現，而這兩種途徑所需付出的成本卻天壤之別，因此通過對MEMS陀螺誤差建模以補償其測量誤差的方法更經濟可行。

MEMS陀螺誤差主要由確定性誤差和不確定性誤差構成[1]：對于確定性誤差的實驗室標定已經非常成熟，一般采用實驗方法來獲得陀螺的輸入輸出數據，用多項式定義系統的確定性誤差模型；而不確定性誤差是一種隨機過程，不能用上述方法進行補償。目前在慣導技術領域被推薦使用的不確定性誤差建模方法為PSD法和Allan方差法[2]，其中Allan方差法更是IEEE公認的陀螺參數標準分析方法，但這兩種方法的估算精度完全依賴于有限且獨立的先驗數據的個數，是一種離線建模方法；此外，時間序列分析法也是應用廣泛的不確定性誤差建模方法[3]，該方法利用實驗法通過白噪聲源驅動傳遞函數以產生與建模對象(MEMS陀螺)具備相同統計特性和譜特性的隨機數據，這種根據離線隨機數據統計特性建模的思路有別于逐項分析各不確定性誤差源的方法，轉而針對系統整體輸出的統計特性建模，更符合工程實際應用，但它同樣是一種離線建模方法。本文針對此問題，提出了陀螺誤差在線建模的遞推最小二乘法系統辨識方法。

1 研究基礎

1.1 時間序列法

目前比較成熟的MEMS陀螺的建模方法是時間序列法，該方法是采用實驗法針對一組離線隨機數據序列進行時域和頻域內的統計特性分析，求出實際物理系統的統計特性，并用自回歸滑動平均模型(ARMA模型)進行擬合，經過補償后與原始輸出信號的殘差若為類白噪聲信號即證明模型擬合精度較高，可以理想描述真實陀螺的不確定性誤差[3]。

時間序列法不確定性誤差建模是否正確取決于隨機數據的一些基本特性：平穩性檢驗、周期性檢驗及正態性檢驗。對這三個基本特性進行檢驗不僅是分析MEMS陀螺不確定性誤差統計特性的重要前提，而且也是建立陀螺不確定性誤差模型的重要依據。時間序列法具體步驟如圖1所示[4-5]。

如圖1所示，經過平穩化處理、周期項分析與提取以及正態性檢驗得到平穩的隨機誤差序列。首先，形成ARMA模型對陀螺不確定性誤差進行擬合；其次，模型定階方法選用AIC定階準則[6]，模型的結構采用最小二乘系統辨識方法；最后通過考察擬合殘差與白噪聲的接近程度來檢驗模型是否正確。

1.2 最小二乘系統辨識

系統辨識的定義是指在系統輸入和輸出數據基礎上，從一組給定的模型類中確定一個與所測系統等價的模型，是一種采用實驗測試法針對某個特定“黑箱”系統的輸入/輸出(I/O)數據而確定其結構和參數的方法，其中最小二乘法是廣泛應用的系統辨識方法，以殘差平方和最小為辨識準則[7-8]。

假設系統模型的輸出向量形式表達方程如式(1)：

YN×1=ΦN×(2n+1)θ(2n+1)×1+ξN×1

(1)

則最小二乘法的系統參數估計結果為：

(2)

可以看到，基本的最小二乘法是一種利用離線I/O數據進行系統參數辨識的方法，可以用于ARMA模型的參數辨識，但其特點是計算量和存儲數據量很大，不能用于在線辨識。

2 遞推最小二乘系統辨識方法

基于時間序列法的陀螺不確定性誤差傳統建模方法是在對ARMA模型進行參數辨識過程中采用基本最小二乘辨識方法，只能實現離線建模。

遞推最小二乘法在線建模方法的核心思路是采用基本最小二乘法先從少量已知陀螺輸出數據中先離線估計出系統參數的粗略值，隨后利用新測量到的實時數據采用可重復迭代的遞推算法使現有系統參數估計值向其真值逐步逼近。迭代遞推步驟如下：

(3)

(4)

(5)

3 實驗室驗證結果

選用MEMS陀螺在實驗室三軸轉臺的實測數據作為驗證對象，考核基于遞推最小二乘法的陀螺不確定性誤差建模方法的正確性。設定陀螺正轉速率400(°)/s的原始輸出見圖2所示，選擇陀螺穩定輸出部分經預處理后的結果如圖3所示。

經過預處理后的隨機信號序列xt，均值μ=2.565，方差σ=0.003 63。首先進行平穩性檢驗，將隨機序列xt分為等長的M個子序列，計算逆序總數A并根據式(1)計算統計量U，取置信度α=0.05，得到表1。

表1 平穩性檢驗結果

由平穩性檢驗結果可知|U|=1.644 9

其次進行周期性檢驗，利用Matlab中的kswelch工具箱可以簡便快捷地將隨機信號的功率譜計算出來并繪制功率譜密度曲線，因此采用pwelch函數對隨機序列xt進行功率譜分析，結果見圖4。

可以看到，陀螺隨機數據序列功率譜曲線趨勢單調，無明顯尖峰存在，因此隨機采樣數據中不具備明顯周期信號。

最后進行正態性檢驗，判斷平穩隨機數據是否服從正態分布最直接有效的方法是通過統計數據中各個量的概率密度，并繪制這組平穩隨機數據的概率密度曲線。利用Matlab中的ksdensity工具箱，繪制概率密度曲線如圖5所示，由圖可以看出陀螺不確定性誤差的概率密度大致服從正態分布特性，通過正態性檢驗。

表2 ARMA模型系統參數估計及定階

根據AIC定階準則選擇模型ARMA(1,1)及其所對應差分方程的系統參數，因此可以確定陀螺隨機誤差模型為：

表3 檢驗結果

4 結論

本文提出了陀螺不確定性誤差時間序列法在線建模的迭代遞推最小二乘法系統辨識方法。該方法首先通過少量實測陀螺輸出數據采用最小二乘法估計出系統參數的粗略值，隨后利用新測量到的實時數據采用可重復迭代的遞推算法使現有系統參數估計值向其真值逐步逼近，最終結合時間序列法建立準確的陀螺不確定性誤差模型。實驗室驗證結果表明：在置信度α=0.05的條件下，基于遞推最小二乘法的陀螺不確定性誤差模型輸出與陀螺真實輸出的殘差高度近似于白噪聲，從統計學角度來說該誤差模型能夠精確描述陀螺不確定性誤差輸出特性，該方法可以實現陀螺不確定性誤差在線建模。

[1]許江寧，劉強. 陀螺原理及應用[M].北京：國防工業出版社，2009.

[2]毛奔，林玉榮. 慣性器件測試與建模[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學出版社，2008.

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[4]徐凱. MEMS陀螺誤差補償的算法研究[D].沈陽：沈陽理工大學，2012.

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[6]牛春峰. 彈道環境下的陀螺/GPS組合姿態測量方法研究[D].南京：南京理工大學，2012.

[7]王秀峰，盧桂章. 系統建模與辨識[M]. 電子工業出版社，2004.

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RecursiveLeast-squaresMethodofSystemIdentificationinGyroRandomErrorOn-lineModeling

WANG Jiawei1,2, LIANG Ke2, XU Guotai2, YANG Kaihua2, YAN Jie1

(1.Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China; 2.Science and Technology on Electromechanical Dynamic Control Laboratory, Xi’an 710065, China)

Aiming at the problem in method of MEMS angular rate gyro random error on-line modeling, this paper proposed a new algorithm of recursive least-squares method that used in the system identification processing. With this recursive least-squares method, a few known gyro output data were used to roughly estimate system parameters, then newly obtained data were added to the measurement formula using the recursive algorithm in order to make estimated parameters approach to its truth-value. This study indicated that the residual error between outputs of gyro random error model and outputs of real gyro highly approximates white noise, which meant the error model accurately described statistical features of gyro random error and the recursive algorithm realizes on-line modeling.

Gyro random error; on-line modeling; recursive least-squares method

2017-02-25

國家自然科學基金項目資助(U1630127)

王佳偉(1984—)，男，河北保定人，博士研究生，研究方向：彈道修正。E-mail: wangjiaw0126@163.com。

TJ765

A

1008-1194(2017)05-0036-04