結合貝葉斯近似變換的沖突證據合成方法*

孟蕾，許愛強，劉家祺

(海軍航空工程學院a.飛行器工程系；b.科研部；c.兵器科學與技術系，山東 煙臺 264001)

?綜合保障性技術

結合貝葉斯近似變換的沖突證據合成方法*

孟蕾a，許愛強b，劉家祺c

(海軍航空工程學院a.飛行器工程系；b.科研部；c.兵器科學與技術系，山東 煙臺 264001)

為了解決D-S證據理論在處理沖突證據合成問題中存在的不足，改進了證據合成規則，提出了用該規則和貝葉斯近似變換相結合的證據合成方法。首先分析了封閉世界和開放世界假定中識別框架上認知集合間的轉換關系，然后根據證據理論和貝葉斯近似變換的基本知識分析沖突產生的影響，最后根據原證據焦元交集和并集的基數關系改進了合成規則，并進行了實例驗證。改進的合成規則能更好的保留原來的信息，而且通過與貝葉斯近似變換的結合減少了焦元的數量，結果表明該方法是一種準確有效的沖突證據合成方法。

D-S證據理論；貝葉斯近似變換；焦元；沖突證據；證據合成；基本概率分布(BPA)

0 引言

證據理論最初由Dempster提出，后來由Shafer推廣并且形成理論體系，所以通常稱作D-S證據理論。該理論是Bayes理論的推廣，由于該理論的先驗知識比概率理論更容易獲得，且能處理很多不確定性問題，目前在信息融合、故障診斷和專家系統等領域得到了廣泛的應用。但證據合成規則尚沒有堅固的理論支撐，而且隨著證據和其元素個數的增加，計算上存在著潛在的指數爆炸問題，所以其合理性和有效性還存在較大爭議。近年來，很多學者對證據理論進行了有益的探索和研究[1]。研究主要分3類：第1類是解釋證據理論，主要有上下概率解釋、廣義Bayes理論解釋和隨機集理論解釋[2-3]；第2類是改進證據理論，主要從合成規則和融合模型2個方面進行[4-10]；第3類是簡化計算，各種近似算法推進了證據理論的實際應用[11]。

1 識別框架上的認知集合

如果關于某個領域問題的集合Θ中的元素是兩兩互斥，并且是完備的，一般為了降低問題復雜度，集合Θ是有限集，相關命題都是集合Θ的子集，稱集合Θ為識別框架。例如關于集合Θ={a,b,c,d}的一個命題～a∧c∨d可以用集合{c,d}來表示。集合論中集合的包含關系和表示命題的邏輯關系存在著對應關系，因此關于集合Θ={a,b,c,d}所有命題的層次關系如圖1所示。

圖1 識別框架上命題的層次結構Fig.1 Proposition of discernment frame

在假設這樣一個識別框架Θ的基礎上可以建立一個推理模型，信任構建在Θ和它的子命題上，對Θ的部分子命題的信任可能要多于另外一些命題。Θ是參考領域，也是討論的全部內容。只有Θ中的命題才會被考慮，任何Θ中沒有的命題都被認為是不可能發生的。

事實上認知過程遠非想象的那么簡單。首先需要構建集合KP(known possible)，KP是那些已經知道的可能為真的命題，但也要考慮那些沒有想到的尚且不知道的命題集UP(unknown proposition)，還有已經知道是不可能發生的命題集KI(known impossible)。在像貝葉斯這樣的傳統方法里，UP是假設為空的，真命題必須只存在KP里，這是人們普遍接受的高度理想化的封閉世界假定[12]。

這3個集合的內容不單是對問題進行詳細分析就能得到的，還和已經出現的證據有關。隨著新證據的出現，命題在這3個認知集合之間重新分布，它們之間的轉換關系如圖2所示。

圖2 認知集合之間的轉換Fig.2 Transformation of cognitive sets

(1) 很容易理解，如果新出現的命題能充分證明A是不可能發生的，那么A從KP轉移到集合KI。

(2) 如果新的證據提醒某些遺忘了的命題A是有可能為真時，那么A從集合UP轉移到集合KP。

(3) 如果新的證據提醒某些遺忘了的命題A不可能發生時，那么A從集合UP轉移到集合KI。但是這對已經建立在集合KP上的信任分布是沒有實質影響的。

(4) 假設這3個集合事先對各個命題的劃分都是正確的，真命題可能被分配到集合KP和UP中，而假命題也可能被正確的分配到KP，KI或者UP中。那么，命題A從KI到KP和從KP到UP的轉移與這3個集合的定義是矛盾的。

真命題不可能分配到KI中，并且任何一個命題只要分配到KI中就只能呆在KI中不動，因此隨著新證據的增加，KI中的命題的個數是單調增加的。KI中任何命題的信度都為0。隨著新證據的增加，信度為0的命題KP轉移到KI中。

封閉世界假定認為先驗集合UP是空的，而開放世界假定承認存在著非空的集合UP，也承認真命題有可能存在于集合UP中。

按照前面的假設，真命題是永遠不可能存在KI中的。但是考慮更一般化的假設，也可以接受真命題可能在KI中并且在所有的命題上構建一些變化信度函數來表示信度，這樣每個命題都有可能屬于這3個集合中的任何一個，在廣義貝葉斯理論框架下發展出來的方法可以解決這樣的問題。

2 重要概念梳理

2.1D-S證據理論

定義：集合Θ是一個識別框架，Θ上的一個基本概率分配(BPA)是一個函數m(·):2Θ→[0,1]，其中2Θ是Θ的冪集，并且滿足條件：

m(A)這個量叫做集合A的基本概率數，這個量只是集合A所代表的那個命題的信任度量，而一般情況下并不等于分配給集合A的所有信度，因為所有信度還包括集合A的子集所承擔的那部分信度。下面這個定義很好的解釋了這個問題。

定義：在識別框架Θ上由BPA函數m推導出來的信任函數Bel為

?Θ.

Bel(A)是分配給A的所有信度。每個信任函數Bel都是從一個特定的BPA函數m推導出來的，而BPA函數m又可以從信任函數Bel中恢復出來：

?Θ.

定義：函數m是信任函數Bel的基本概率分配。

(1) 如果m(A)>0，A叫做信任函數Bel的焦元；

(2)Bel的所有的焦元的集合叫做Bel的核；

(3) 如果Θ是唯一的焦元，稱信任函數是空的；

(4) 如果所有的焦元都是單元素集合，Bel稱為貝葉斯信任函數。

定義：識別框架Θ上2個基本概率分配函數m1和m2，分別導出信任函數Bel1和Bel2。如果

則稱信任函數Bel1和Bel2是不可合成的，否則，通過Dempster合成規則就能合成BPA函數m1⊕m2，導出合成信任函數Bel1⊕Bel2。

能夠運用上面合成規則的證據必須滿足D-S獨立的條件。D-S獨立不同于概率論里面的獨立，而是要求更為苛刻的一種獨立條件。

2.2貝葉斯近似變換和廣義信任函數

D-S證據理論在實際應用中往往受到指數爆炸問題的困擾，Voorbraak發現可以通過一種貝葉斯近似變換的方法減少焦元的個數，使其少于識別框架元素的個數[13]。

貝葉斯常數c被認為是對信任函數Bel給出信息的準確度和特殊性的度量，當c=|Θ|-1意味著最不精確的空信任函數，c=1說明信任函數最精確[13]。Dubois和Prade認為∑m(C)·|C|是可以用來衡量信任函數的不確定性的，因為∑m(C)·lb|C|代表不確定性。

貝葉斯近似變換和證據合成可以交換順序：

最早由Hummel和Landy提出空間(M,?)，當時稱其為“非正規化信任狀態空間”，這在一定程度上平息了Zadeh對于Dempster合成規則處理高沖突證據合成的質疑。M中的元素m稱為廣義BPA函數。廣義BPA函數導出的廣義信任函數Bel：

空間(M,?)是一個阿貝爾獨異點。定義幺元：

m0(?)=1;

m0(A)=0, ifA≠?.

按照Dempster證據合成規則定義的正規化BPA函數空間(M,⊕)，M中的元素m，g是(M,?)到(M,⊕)映射：

圖3 3個空間之間的映射關系Fig.3 Map of three spaces

顯然，g映射的作用是正規化，f映射的作用是進行貝葉斯近似變換。對證據合成后的結果正規化可能會使得貝葉斯常數減小，也就說信息的準確度有可能降低。因此，正規化因子的合理性一直存在著很大的爭議。

3 新的沖突證據合成方法

3.1沖突證據的影響

在廣義BPA函數空間(M,?)中處理有沖突的證據合成問題時，如果B∩C=?，顯然

也就是說2個證據中完全沖突的那部分信度被賦給了?，Smets認為在開放世界假設中，?的那部分信度代表集合UP中有真命題的可能性，即事實可能存在識別框架以外。

在正規化BPA函數空間(M,⊕)中，封閉世界假設認為識別框架肯定是完備的，無需考慮識別框架以外的情況，因此?的信度被強制性的賦予零值[14]。也認為每一條證據都是完全可信的，因此只要有一條證據對命題A的基本概率分配為0，意味著命題A絕對不可能發生，那么命題A將被從認知集合KP中剔除到KI中，即使后來的證據完全支持A成立，也不可能再給命題A分配一點信度，這就是Dempster合成規則的一票否決問題[15]。

2種合成規則對Zadeh的經典沖突證據例子計算結果見表1。合成規則?將沖突信度0.999 9賦給了?集，意思是真兇有極大可能性是A,B,C以外的第4人，并且排除了A,C的可能性。這樣的結果有一定的合理性，但它打破了識別框架的完備性的限制，而且也沒有解決一票否決的缺陷。

表1 證據合成規則⊕和?的結果Table 1 Combination results of ⊕ and ?

3.2新的沖突證據處理方法

Yager認為既然不知道沖突部分信度究竟該如何指派，就應該讓它分布在所有的元素上，即賦予識別框架Θ：

m1⊥m2(?)=0，

ifA≠?,Θ，

Yager的方法增加了證據合成結果的不確定性，Dubois和Prade提出了改進方法，如果2個證據源都是可靠的，信度應該賦給2個命題的交集；如果只有一個可靠，沒有交集命題的信度該賦給并集：

?)=0，

圖4 B命題和C命題的關系Fig.4 Relationship of proposition B and C

式中：|·|為集合的基數；k∩為一致因子，表示兩個命題B和C的一致程度；k∪為沖突因子，表示命題B和C的沖突程度。

4 實例驗證

表2 證據合成結果對比Table 2 Comparison of combination results

5 結束語

數值試驗結果表明，在某些情況下對于證據源中非單點集BPA的變化，本文的合成規則克服了Dubois和Prade規則沒有響應的缺點，因此能更好地保留合成之前證據源中的有用信息。

但是該方法繼承了Dubois和Prade規則將沖突賦給并集的缺點，即合成后焦元個數可能會增加，從而使問題復雜化，而貝葉斯近似變換恰好能解決這個問題，并且能消除Dempster規則的一票否決缺陷，因此將這2種方法結合使用能達到理想的合成效果。

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SyntheticMethodofConflictEvidenceCombinedwithBayesianApproximation

MENG Leia，XU Ai-qiangb，LIU Jia-qic

(Naval Aeronautical Engineering University，a.Airborne Vehicle Engineering Department； b.Scientific Research Department；c.Ordnance Science and Technology Department，Shandong Yantai 264001，China)

In order to solve the problems emerging in the situation trying to combine conflict evidences using Dempster-Shafer theory, a new combination rule based on Dubois and prade rule is put forward. A method of using the new rule together with Bayesian approximation is proposed to combine evidences from different bodies. Firstly the proposition transformation of discernment frame is discussed both in the open and closed world assumption. Secondly the effect of conflict is shown based on the Dempster-Shafer theory and Bayesian theorem. And finally the modified rule depending on the cardinal of set from different evidence bodies is proposed and is shown in the numerical example. Conclusion can be drawn from the example that the new combination rule reserves more information from the combined evidences and Bayesian Approximation reduces the number of focused elements, and using both of them is an effective and accurate method in evidence combination.

Dempster-Shafer theory; Bayesian approximation transformation; focal element; conflict evidence; evidence synthesis; basic probability assignment (BPA)

2016-09-21；

2016-11-21

中國博士后科學基金資助項目(2013M542535)

孟蕾(1987-)，女，山東聊城人。講師,博士，研究方向為裝備保障預測和狀態評估。

通信地址：264001 山東省煙臺市芝罘區二馬路188號航院504教研室E-mail：735546262@qq.com

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.05.024

TJ760.7；O212.8

A

1009-086X(2017)-05-0149-06