失諧葉柵的受迫振動響應特性分析

張偉偉， 高弈奇， 全金樓， 蘇丹

1.西北工業大學 翼型葉柵空氣動力學國家重點實驗室， 西安 710072 2.中國航發四川燃氣渦輪研究院， 成都 610500

失諧葉柵的受迫振動響應特性分析

張偉偉1,*， 高弈奇1， 全金樓2， 蘇丹1

1.西北工業大學 翼型葉柵空氣動力學國家重點實驗室， 西安 710072 2.中國航發四川燃氣渦輪研究院， 成都 610500

采用基于計算流體力學(CFD)方法的降階氣動力模型并耦合結構運動方程，實現了存在外激勵載荷時失諧葉柵受迫振動響應的快速分析。針對典型的跨聲速葉柵，通過求解其位移響應幅值較系統地研究了失諧方式、失諧強度和葉片質量比對失諧葉柵受迫振動響應幅值的影響。研究表明文中剛度失諧形式可以改善葉柵振動的穩定性，同時導致系統受迫振動響應局部化程度的增加，并且受迫響應的最大振幅放大因子隨失諧強度增加或者質量比降低存在先增大后減小的一個峰值，不同失諧形式則對這個峰值的大小有著明顯的影響。由于該方法可高效地分析失諧葉柵受迫振動各參數對模態局部化的影響，在工程上有一定的應用價值。

計算流體力學(CFD)； 降階模型(ROM)； 流固耦合； 失諧； 受迫響應

在航空發動機設計研制過程中，葉盤系統通常被設計成諧調的，但在實際過程中由于受到加工誤差、運行中的不均勻磨損和材料性質等不確定因素的影響，葉盤結構各扇區物理或幾何參數不可避免地存在偏差，稱為失諧。失諧之后振動能量傳遞不均勻，大多集中在很少的葉片上，使葉片振幅顯著增加，并使其產生高周應力，長期處于這種狀態會使葉片產生高周疲勞(High Cycle Fatigue，HCF)失效,因此研究失諧振幅的放大機制、預測并控制系統的最大振動響應幅值對發動機振動設計以及提高發動機的疲勞壽命有著重要意義。

近些年，很多學者對葉盤系統的失諧振動做了相關的研究[1-3]。Campobasso和Giles[4]基于集中質量模型、利用漸進分析和矩陣攝動理論研究了N個單自由度葉片的失諧。Chol等[5]基于遺傳算法的尋優方法，研究了單自由度模型彈簧振子的最佳失諧方式。王建軍等[6-7]基于某典型壓氣機葉盤結構的有限元模型和蒙特卡羅統計方法對幾何參數隨機失諧葉盤結構的概率響應局部化進行了研究。Petrov[8]基于有限元降階模型(Reduced Order Models, ROM)通過在頻域內求解結構運動方程研究了失諧對受迫響應的影響。近年來，基于降階模型的高效失諧分析方法也被越來越多的人采用。Bleeg等[9]通過矩陣的奇異值分解發展了一種新的氣動彈性模型，運用該模型快速分析了一個柔性葉片轉子在主動失諧后系統的氣動耦合和顫振特性的變化。臧朝平等[10]提出了一種高效的失諧葉盤動力響應預測的減縮計算方法,并與實驗進行了對比。

最近一些學者在研究葉柵失諧時考慮了流固耦合效應的影響[11-13]，通常是在頻域內求解結構運動方程而將氣動力作為位移擾動的線性函數、或將氣動力視為一個小量，這難以反應真實氣動力耦合效應。而在時域內通過求解非定常Euler/Navier-Stokes(N-S)方程獲得精確氣動力來研究葉柵失諧的非常少，主要是全葉排的計算量大而且由于流動復雜獲得非定常穩態結果所需的計算時間是海量的。Sadeghi和Liu[14]、鄭赟和王靜[15]通過在時域內計算模態氣動力一個周期所做的功來研究失諧對系統顫振穩定性的影響，但只是通過少數通道的計算來確定失諧葉柵穩定性本質上是解耦分析，沒有考慮到失諧對振動頻率的影響；Sadeghi和Liu[16]通過直接耦合方式研究了流固耦合效應對失諧顫振穩定性的影響，采用計算通道不多，且獲得振動響應的穩定解需要50個左右的計算周期，其計算所消耗的時間也非常多。

本文通過計算流體力學(CFD)計算的氣動力響應數據，運用系統辨識技術構建了非定常氣動力降階模型，在狀態空間內耦合存在外激勵載荷的結構運動方程，構建了全葉柵失諧受迫響應的耦合氣動彈性分析模型。計算了受迫振動響應的最大振幅放大因子,并研究了剛度失諧下各種參數對受迫響應特性的影響。

1 研究方法

1.1 氣動力模型

本文的流固耦合分析采用文獻[17-19]發展的降階氣動力模型。該方法只需少數幾個相鄰葉片通道的非定常CFD求解的輸入輸出數據，就可建立全葉柵低階氣動力狀態空間模型，主要建模步驟如圖1所示。

根據文獻[18-19]最終得到葉柵降階的氣動力狀態空間方程為

(1)

圖1 葉柵顫振分析中的非定常氣動力建模流程圖Fig.1 Flow chart of unsteady aerodynamic modeling for cascade flutter analysis

1.2 結構模型

在拉格朗日坐標系下建立流場中葉柵的結構運動方程為

(2)

式中：M為葉柵模態質量矩陣；G為結構阻尼矩陣；K為葉柵剛度矩陣；Fa(t)=qSfa(t)為模態氣動力，q為動壓，S為葉片的參考面積；Fe(t)=qSfe(t)=qS[fe1(t),fe2(t),…,fej(t),…,feN(t)]為外激勵力向量，fej(t)為第j個葉片的激勵力系數；且

M=diag(m1,m2,…,mj,…,mN)

K=diag(k1,k2,…,kj,…,kN)

定義第j個葉片的失諧量為

(3)

式中：ω0為葉片未失諧時的固有頻率。

假設葉柵中葉片上的激勵力為諧波形式，第j個葉片的激勵力系數為

(4)

式中：f0為無量綱外激勵力幅值；ωe為激振頻率；Nd為節徑數；i為虛數單位；φj為葉柵中第j個葉片的的相位。

(5)

設μ和μ0分別為當前葉片質量比和“訓練計算”時的葉片質量比，則有

(6)

式中：m為諧調葉片的質量；b=c/2，c為葉片的弦長。

由式(5)和式(6)可知

(7)

(8)

式中：

1.3 氣動彈性模型

考慮到氣動彈性過程是氣動/結構耦合的一個不斷反饋的過程，將式(1)和式(8)聯立得到如式(9)所示的氣動彈性方程。

(9)

令

式(9)可寫為

(10)

當葉柵系統無外激勵力時，則式(10)為

(11)

通過求解式(11)的特征值來判斷葉柵系統穩定性，特征值的實部為葉柵系統阻尼項，虛部為葉柵振動頻率項。

當葉柵存在外激勵力時，可以通過差分方法來求解式(10)的強迫振動響應。但文中主要關注的是強迫振動幅值，不需要考慮葉柵具體的強迫振動響應過程，可根據動態線性流假設以及頻域方法假定在周期性簡諧外激勵作用下最終的響應為一階諧波形式，即

X=X0ei ωet

(12)

式中：X0為復數形式的初始值。

將式(12)代入式(11)可得到

X0=(iωeI-A)-1Be-i ωet

(13)

可由X0中各元素的絕對值求得各葉片位移響應的幅值。

2 算例與分析

STCF4 (Standard Test ConFiguration 4)是瑞士聯邦理工學院的B?lcs和Fransson在20世紀80 年代開展的10組著名的標準葉柵氣動彈性實驗中的第4組[20]。這組實驗公開了實驗數據，常常被研究者用于葉輪機氣動彈性分析方法的驗證。

STCF4葉柵共有20個葉片，輪轂與外輪套直徑之比為0.8，葉片安裝角γ=56.65°，葉根與葉梢葉型相同，葉片弦長c=0.074 4 m，由于葉片較厚，剛度較大，所以假設葉片表面不發生結構變形，整個葉片在與之相連接的彈性梁的帶動下發生彎曲振動，振動方向與弦線方向成夾角δ，葉片振動的固有頻率為149 Hz，取50%葉高處的葉片截面進行計算，如圖2所示。計算狀態為552B實驗狀態：入口總壓為1.714×105Pa，出口靜壓為1.013×105Pa，均勻入流角β1=-45°，入口靜溫T1=288.15 K。計算網格如圖3所示，網格節點數約為1.6萬，單元數為0.78萬。相關文獻沒有給出STCF4的質量比，所以下面對質量比進行探究時，根據葉型的形狀和可能的材質，估算了質量比，并選取100～800為本文的研究范圍。而各個葉片的失諧比一般小于5%[21]，本文選取失諧比0%～2%為研究范圍。

圖2 STCF4模型參數Fig.2 Model parameters of STCF4

圖3 STCF4通道網格Fig.3 Grid of STCF4 passage

2.1 各葉片氣動力辨識結果

本文非定常CFD訓練計算對中間葉片施加的都是多級訓練信號，該訓練信號計算時間步長較短且擁有帶寬頻率的范圍較大。葉柵非定常氣動力建模的輸入量是中間葉片(0號葉片)彎曲振動模態的運動位移h，如圖4所示；輸入量的功率譜密度如圖5所示。訓練信號的頻率范圍需要覆蓋結構振動模態的固有頻率及關注頻段。圖中最大功率譜密度對應的中心頻率與STCF4葉片彎曲振動的固有頻率一致。

算例采用7個葉片通道進行計算，中間振動葉片編號為0，上游為-1，下游為1，以此類推。各個葉片氣動力系數非定常響應按照文獻[18]定義。求解各葉片上的非定常氣動力響應并將其作為輸出量，采用系統辨識技術建立氣動力降階模型。非定常氣動力響應及辨識結果如圖6所示，CQk為無量綱模態氣動力系數。從圖6可以看出，除了距離振動葉片(0號葉片)較遠的葉片上的非定常氣動力由于其本身數值很小而相對誤差較大，其他葉片的氣動力辨識結果與原氣動力數值吻合得非常好。

圖4 CFD訓練計算信號Fig.4 CFD training calculation signal

圖5 訓練信號功率譜密度Fig.5 Power spectral density of training signal

圖6 訓練信號的辨識結果Fig.6 Identification results of training signal

2.2 主動失諧

首先研究了2種典型主動失諧形式的葉柵受迫振動響應。如圖7所示，圖中直線表示諧調時葉片的剛度，柱狀圖表示失諧后各個葉片的剛度。失諧方式1是2個葉片組成的基本扇區圓周循環對稱結構，而失諧方式2是4個葉片組成的基本扇區圓周循環對稱結構。剛度較小的失諧葉片的失諧量為σj=-σ0(其中σ0為所有葉片統一的失諧比，是正常數)，較大的失諧葉片的失諧量則為σj=σ0。

圖8給出了在失諧比σ0=1%、葉片質量比μ=800、節徑數Nd=1時葉柵的最大振幅隨激振頻率的變化曲線。圖8中失諧后最大振幅明顯變大，說明失諧使得葉柵中部分葉片受迫振動的振幅增大；同時失諧方式2的最大受迫振動的振幅相比失諧方式1更大、而且在相當大的激振頻率范圍內都有較大的幅值。通常定義失諧后的最大振幅與未失諧的振幅之比來描述模態局部化程度，因此失諧方式2下受迫振動的模態局部化程度相對較大。圖9給出了失諧前后由式(11)計算的關鍵特征值分布，圖9中的2種失諧形式明顯地改善了系統的顫振穩定性，特征值分布由諧調時的1簇變為失諧后的2簇或者3簇，與之對應的圖8中受迫振動幅值變化曲線的峰值個數一致。

圖10給出了當激振頻率為葉片共振頻率時兩種失諧方式各葉片的振幅分布。可以看出當葉柵為準周期對稱結構時，各基本扇區的振幅也是周期對稱的，且每個基本扇區內各葉片的振幅不同，基本扇區內某些葉片振幅急劇增大而出現不同程度的模態局部化現象，失諧方式2的受迫振動模態局部化程度更嚴重。另外圖10中失諧方式1在共振頻率附近的受迫振動幅值小于諧調葉柵的振動幅值，因此通過合理安排失諧方式可以減小受迫振動幅值，達到減振的效果。

圖7 2種主動失諧方式的葉片剛度分布 Fig.7 Blade stiffness distribution of two intentional mistuning patterns

圖8 最大受迫振動幅值隨無量綱外激振頻率的變化 Fig.8 Maximum forced vibration amplitude vs nondimensional forcing frequency

圖9 葉柵失諧前后關鍵特征值分布 Fig.9 Distribution of crucial eigenvalues of tuned and mistuned cascades

圖10 失諧前后的位移幅值分布Fig.10 Distribution of displacement amplitude of tuned and mistuned cascades

圖11給出了葉片質量比μ=800、節徑數Nd=1時失諧方式1的最大振幅放大因子(Amax/Atune)隨失諧比的變化，其中Amax為失諧葉片的最大振幅，Atune為諧調葉片的振幅，σ0為失諧比。隨著失諧比的增大葉柵的最大振幅放大因子先增大達到峰值，然后逐漸地減小，與文獻[22]的結論一致。 這主要是因為隨著失諧量的增大引起的局部化現象越來越嚴重，而當失諧比達到某一臨界值后，葉柵原諧調系統破壞得非常嚴重，扇區內各葉片固有頻率相差較大，使得葉片的振動受相鄰葉片氣動耦合共振影響減小。

圖12給出了σ0=1%、節徑數Nd=1時失諧方式1的最大振幅放大因子隨葉片質量比μ的變化曲線。可以看出最大幅值放大因子隨著質量比減小首先略微增加，達到峰值，然后隨著流固耦合作用的增加而減小。因為質量比較大時雖然隨著質量比的減小慣性力在減小并且氣動力耦合作用增強，但慣性力占主導地位，葉片結構失諧使得葉片的振幅略微增大，而當質量比較小時氣動力耦合越來越強。使得振動能量向四周葉片分散，使得最大振幅逐漸減小。

圖11 最大振幅放大因子隨失諧比的變化(主動失諧模式) Fig.11 Maximum amplitude magnification factor vs mistuning ratio (intentional mistuning pattern)

圖12 最大振幅放大因子隨質量比的變化(主動失諧模式) Fig.12 Maximum amplitude magnification factor vs mass ratio (intentional mistuning pattern)

上述研究表明主動失諧改善了系統的顫振穩定性，但同時帶來了模態局部化現象。現今的壓氣機工程中，發動機葉片的設計傾向于越來越輕、薄，而葉片的表面載荷只增不減，相應的流固耦合效應也越來越明顯。在本節探究質量比、失諧量對模態局部化的影響規律的過程中，提示了流固耦合作用對失諧葉柵受迫響應的規律，可為型號設計提供指導。

2.3 隨機失諧

由于加工誤差和使用中的磨損導致的葉片間失諧一般是隨機性的，文中用蒙特卡羅方法來統計分析葉柵剛度隨機失諧下系統的受迫響應特性。

考慮了2種隨機失諧分布形式：一種是均勻分布，給定2種失諧葉片A和B在20個葉片中均勻隨機分布，剛度較小的失諧葉片的失諧量為σj=-σ0，剛度較大的失諧葉片的失諧量則為σj=σ0，剛度分布形式之一如圖13(a)所示；另外一種是正態分布，20個葉片各自的失諧量為σj=σ0Nv，其中Nv為服從(0,1)標準正態分布的隨機值，剛度分布形式之一如圖13(b)所示。2種隨機分布的樣本數都為500。

圖14給出了統計分析得到的2種隨機失諧方式的最大振幅放大因子隨失諧量的變化趨勢，計算狀態為質量比μ=800、節徑數Nd=1。圖15給出了統計分析得到的兩種隨機失諧方式的最大振幅放大因子隨質量比的變化趨勢，計算狀態為失諧比σ0=1%、節徑數Nd=1。圖14 和圖15的變化趨勢和2.2節的主動失諧是一致的，但振幅放大因子卻非常大，這是因為隨機失諧相當于葉排中所有葉片組成的基本扇區圓周循環對稱結構包含的葉片數增多了，受迫響應的模態局部化程度相對提高了很多。圖14和圖15中的均勻隨機分布的峰值振幅放大因子明顯比正態分布的大。

圖13 2種隨機失諧方式的葉片剛度分布 Fig.13 Blade stiffness distribution of two random mistuning patterns

圖14 最大振幅放大因子隨失諧比的變化(隨機失諧模式) Fig.14 Maximum amplitude magnification factor vs mistuning ratio (random mistuning pattern)

圖15 最大振幅放大因子隨質量比的變化(隨機失諧模式) Fig.15 Maximum amplitude magnification factor vs mass ratio (random mistuning pattern)

3 結 論

基于CFD技術，建立氣動力降階模型分析葉片剛度失諧時的受迫振動幅值的變化，從主動失諧和隨機失諧2個角度分析了失諧強度及葉片質量比對受迫振動幅值的影響, 結果表明:

1) 文中方法既能快速地分析失諧葉柵的穩定性，又能計算葉柵各葉片受迫振動的幅值。

2) 葉片失諧改變系統穩定性的同時也會導致受迫振動模態的局部化現象，使得少數葉片的振幅急劇增大，且局部化程度與失諧方式、失諧強度和質量比等參數有關，選擇合理的參數可以改善受迫振動的局部化程度。

3) 準周期對稱結構基本扇區包含葉片數越多，其受迫模態局部化程度越大，葉片的振幅放大因子也越大。

4) 主動失諧和隨機失諧的最大振幅放大因子關于失諧量和葉片質量比的變化趨勢是一致的，隨著失諧量的增加或者葉片質量比的減小，振幅放大因子都是先增大后減小,存在一個峰值，并且峰值的大小受失諧形式的影響十分明顯。

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(責任編輯： 鮑亞平， 徐曉)

*Corresponding author. E-mail: aeroelastic@nwpu.edu.cn

Characteristics analysis of forced vibration response of mistuned cascades

ZHANG Weiwei1,*, GAO Yiqi1, QUAN Jinlou2, SU Dan1

1.NationalKeyLaboratoryofAerodynamicDesignandResearch,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi’an710072,China2.AECCSichuanGasTurbineEstablishment,Chengdu610500,China

This paper employs a reduced order aerodynamic model based on Computational Fluid Dynamics (CFD), coupled with the structural dynamic equation, to analyze the forced vibration response of the mistuned cascade. The displacement amplitude of the typical transonic cascade in the tuned and mistuned cases are calculated by the proposed method, and the effect of mistuning patterns, mistuning strengths and mass ratios on the forced vibration response amplitude of the mistuned cascade are investigated quantitatively. The results show that the stiffness mistuning patterns in this paper can improve the stability of the cascade, but can also result in the increase of the modal localized level. The maximum vibration amplitude magnification factor has a peak value as the mistuning strength increases or the mass ratio decreases, and the peak value is significantly affected by mistuning patterns. Due to its efficiency in the analysis of the modal localization of the mistuned cascade with forced vibration, the proposed method is beneficial for engineering applications.

computational fluid dynamics (CFD); reduced order model (ROM); fluid-structrual coupling; mistuning; forced response

2016-12-05； Revised： 2017-01-01； Accepted： 2017-02-26； Published online： 2017-03-20 15:14

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170320.1514.008.html

National Natural Science Foundation of China (11172237)

V211.47

A

1000-6893(2017)09-521018-10

2016-12-05； 退修日期： 2017-01-01； 錄用日期： 2017-02-26； 網絡出版時間： 2017-03-20 15:14

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170320.1514.008.html

國家自然科學基金 (11172237)

*通訊作者. E-mail: aeroelastic@nwpu.edu.cn

張偉偉， 高弈奇， 全金樓， 等． 失諧葉柵的受迫振動響應特性分析[J]． 航空學報, 2017, 38(9): 521018. ZHANG W W, GAO Y Q, QUAN J L, et al. Characteristics analysis of forced vibration response of mistuned cascades[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2017, 38(9): 521018.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.621018