雷達(dá)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬平臺(tái)解算方法

周紅峰，張友益

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225001)

雷達(dá)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬平臺(tái)解算方法

周紅峰，張友益

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225001)

介紹了一種雷達(dá)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬平臺(tái)，基于D-H方法建立了這種平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)模型，用不同方法對(duì)平臺(tái)進(jìn)行了正運(yùn)動(dòng)學(xué)及逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，采用對(duì)比法對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)仿真驗(yàn)證了建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

搖臂；雷達(dá)模擬；運(yùn)動(dòng)目標(biāo);解算方法

0 引 言

隨著雷達(dá)技術(shù)的發(fā)展和雷達(dá)仿真試驗(yàn)要求的不斷提高，需要在暗室內(nèi)場(chǎng)條件下或者外場(chǎng)條件下實(shí)現(xiàn)雷達(dá)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的模擬。根據(jù)這樣的需求，為了實(shí)現(xiàn)從雷達(dá)角度看到俯仰及方位的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，通常采用移動(dòng)的信號(hào)源方法。按照這樣的模擬原理，可采用喇叭陣列、矩形掃描架、搖臂平臺(tái)等幾種實(shí)現(xiàn)方案來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)源運(yùn)動(dòng)。

喇叭陣列方案采用二維平面空間排布的喇叭陣列，通過(guò)不同喇叭之間的切換模擬目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)。由于喇叭與喇叭之間是離散排布，目標(biāo)空間覆蓋是離散的，導(dǎo)致模擬出來(lái)的目標(biāo)軌跡也是離散的，存在較大的離散誤差。

采用掃描框架方案，需要比較大的框架以及橫豎移動(dòng)機(jī)構(gòu)。內(nèi)場(chǎng)應(yīng)用時(shí)，由于較小場(chǎng)景相對(duì)容易實(shí)現(xiàn)，外場(chǎng)應(yīng)用時(shí)需要大跨度支撐框架以及橫豎移動(dòng)機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜，靈活性差。

搖臂式目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模擬方案相對(duì)前2個(gè)方案能夠?qū)崿F(xiàn)連續(xù)的目標(biāo)軌跡，布置靈活，安裝相對(duì)簡(jiǎn)單，但控制相對(duì)復(fù)雜。

本文對(duì)搖臂式目標(biāo)模擬方案原理及解算數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了理論分析和推導(dǎo)。具體的搖臂運(yùn)動(dòng)平臺(tái)可以依據(jù)解算模型設(shè)計(jì)伺服控制系統(tǒng)軟件，結(jié)合具體的平臺(tái)參數(shù)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的模擬。

1 搖臂平臺(tái)目標(biāo)模擬原理

圖1 目標(biāo)模擬原理圖

搖臂模擬平臺(tái)布置在雷達(dá)與將要模擬的目標(biāo)之間。搖臂平臺(tái)控制信號(hào)源三維運(yùn)動(dòng)，使信號(hào)源始終位于雷達(dá)與要模擬目標(biāo)之間的連線上。模擬器的方位俯仰運(yùn)動(dòng)，通過(guò)圖1的關(guān)系可以轉(zhuǎn)換成模擬目標(biāo)的方位俯仰運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)上，搖臂的運(yùn)動(dòng)軌跡為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡在搖臂運(yùn)動(dòng)曲面上的投影。具體投影方法為：雷達(dá)目標(biāo)和雷達(dá)的連線與搖臂運(yùn)動(dòng)曲面相交，交點(diǎn)為投影點(diǎn)。

2 搖臂平臺(tái)運(yùn)動(dòng)鏈與正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

要研究搖臂系統(tǒng)，首先要進(jìn)行搖臂運(yùn)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)鏈及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析研究。對(duì)搖臂平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是對(duì)搖臂平臺(tái)運(yùn)動(dòng)控制的基礎(chǔ)。搖臂運(yùn)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題包含正向解和逆向解問(wèn)題。正向解問(wèn)題是搖臂根據(jù)每個(gè)運(yùn)動(dòng)副設(shè)定關(guān)節(jié)變量值，得到信號(hào)源的空間位置和方向的解算過(guò)程。逆向解問(wèn)題是根據(jù)信號(hào)源運(yùn)動(dòng)軌跡和方向的要求，解出各個(gè)運(yùn)動(dòng)副關(guān)節(jié)的變量(未知的關(guān)節(jié)參數(shù))。本節(jié)先研究搖臂運(yùn)動(dòng)鏈及正向解問(wèn)題，下節(jié)研究逆向解問(wèn)題。

搖臂運(yùn)動(dòng)平臺(tái)是典型的串聯(lián)機(jī)械手結(jié)構(gòu)，由簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)鏈所組成。如圖2所示的搖臂運(yùn)動(dòng)平臺(tái)由0到5號(hào)6個(gè)桿件組成。其組成的每個(gè)桿件最多只和2個(gè)其他桿件相連。端部的2只桿件只和1個(gè)桿件相連，第0號(hào)桿件為基座，第5號(hào)桿件是末端執(zhí)行器(即信號(hào)源)。除了端部的桿件，其它的桿件都包含2個(gè)運(yùn)動(dòng)副，而且都是轉(zhuǎn)動(dòng)副(rotating pair)。1號(hào)到4號(hào)桿件為中間桿件，它們都為雙運(yùn)動(dòng)副桿件，其兩端轉(zhuǎn)動(dòng)副分別為R1～R5。

圖2 搖臂運(yùn)動(dòng)模擬平臺(tái)運(yùn)動(dòng)鏈桿件圖

為了唯一描述運(yùn)動(dòng)鏈的結(jié)構(gòu)，即確定相鄰2個(gè)運(yùn)動(dòng)副之間的相對(duì)位置與方向，這里采用Denavit-Hartenberg提出的D-H方法[1]。

圖2所示的搖臂平臺(tái)結(jié)構(gòu)由5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副構(gòu)成。描述搖臂平臺(tái)的狀態(tài)，可以用這5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的關(guān)節(jié)變量以及表征運(yùn)動(dòng)副之間位置關(guān)系的關(guān)節(jié)參數(shù)表示。

根據(jù)D-H方法，在圖2中已經(jīng)定義i=0,…,5號(hào)桿件，0號(hào)為基座，5號(hào)為執(zhí)行器。以下為了敘述方便采用i=0,…,5計(jì)數(shù)多個(gè)連續(xù)的運(yùn)動(dòng)副、桿件、坐標(biāo)系等。

定義0,…,5號(hào)運(yùn)動(dòng)副的軸Zi(i=0,…,5)。Xi同時(shí)與Zi-1和Zi垂直，方向?yàn)閆i-1到Zi，符合右手定則。Zi-1與Zi之間距離定義為ai，Xi+1與Zi的交點(diǎn)在Zi上的坐標(biāo)為bi。Zi-1與Zi之間夾角定義為αi，Xi與Xi-1之間夾角定義為θi。對(duì)于搖臂運(yùn)動(dòng)鏈結(jié)構(gòu)(搖臂結(jié)構(gòu)的形位和姿態(tài))，可以用每個(gè)運(yùn)動(dòng)副Ri的參數(shù)ai，bi，αi，θi等描述，表示為Ri(ai，bi，αi，θi)。根據(jù)上述定義，對(duì)于本文的搖臂平臺(tái)，θi是未知量，是關(guān)節(jié)變量，而其他參數(shù)在設(shè)計(jì)具體搖臂時(shí)都已確定。

D-H方法可以描述搖臂平臺(tái)，用以確定信號(hào)源在桿件坐標(biāo)系的結(jié)構(gòu)、形位或姿態(tài)。為了進(jìn)一步對(duì)搖臂平臺(tái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，需要定義相關(guān)信號(hào)源的笛卡爾坐標(biāo)系關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 搖臂運(yùn)動(dòng)平臺(tái)D-H法分析

具體過(guò)程如下：定義Fi為以O(shè)i為原點(diǎn)，(Xi，Yi，Zi)為軸的坐標(biāo)系，F(xiàn)i固定在i-1號(hào)桿件上。正向求解可以通過(guò)相關(guān)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、移動(dòng)等實(shí)現(xiàn)。設(shè)Qi為坐標(biāo)系Fi(Xi，Yi，Zi)旋轉(zhuǎn)到坐標(biāo)系Fi+1(Xi+1，Yi+1，Zi+1)的旋轉(zhuǎn)矩陣。設(shè)Ai為Oi到Oi+1的矢量。矩陣Qi可以按照幾何學(xué)定義，用ai，bi，αi，θi參數(shù)實(shí)現(xiàn)：

(1)

設(shè)Q為末端信號(hào)源的方向，A為末端執(zhí)行器工作點(diǎn)的位置，則：

Q=Q1Q2Q3Q4Q5

(2)

A=A1+Q1A2+Q1Q2A3+Q1Q2Q3A4+

Q1Q2Q3Q4Q5A5

(3)

對(duì)于具體的搖臂平臺(tái)，在設(shè)計(jì)時(shí)相鄰軸間多采用垂直或平行關(guān)系，如Z2⊥Z1，Z3∥Z2，Z4⊥Z3，Z5⊥Z4，解耦相關(guān)運(yùn)動(dòng)關(guān)系，簡(jiǎn)化旋轉(zhuǎn)矩陣復(fù)雜度，也方便最終的搖臂控制。

3 搖臂平臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

對(duì)于本文中逆向解問(wèn)題是按照設(shè)定好的目標(biāo)軌跡要求，通過(guò)逆運(yùn)動(dòng)解算，獲得控制信號(hào)源的空間位置的每個(gè)運(yùn)動(dòng)副未知變量數(shù)值。在模擬過(guò)程中正向用這些數(shù)值控制運(yùn)動(dòng)副關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，復(fù)原出信號(hào)源空間位置，使信號(hào)源按要求正好位于雷達(dá)與模擬目標(biāo)的連線上。

經(jīng)前節(jié)分析每個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)副的參數(shù)除θi未知，其余都是已知量，所以搖臂運(yùn)動(dòng)平臺(tái)逆向問(wèn)題就是求解未知的變量θi。具體可以采用上節(jié)D-H法得出的公式和具體的約束條件列寫相關(guān)方程進(jìn)行求解。但這個(gè)逆解算過(guò)程需要通過(guò)消元后解非線性方程組得到解答，過(guò)程比較復(fù)雜，還會(huì)出現(xiàn)多重根的情況。

根據(jù)搖臂模擬平臺(tái)的目標(biāo)模擬原理，具體的約束條件是，平臺(tái)輸入是目標(biāo)的空間坐標(biāo)位置，只能夠確定目標(biāo)與雷達(dá)之間的連線，要求搖臂平臺(tái)控制的信號(hào)源在這條連線上，并且輻射源要方向要對(duì)準(zhǔn)雷達(dá)。

由上分析可知，搖臂承載負(fù)載信號(hào)源的位置沒(méi)有直接給出，需根據(jù)約束要進(jìn)行求解。根據(jù)搖臂平臺(tái)的具體要求得到:

(4)

式中：T為目標(biāo)的位置坐標(biāo)；Tr為雷達(dá)的位置坐標(biāo)；第1個(gè)方程表示信號(hào)源的指向于目標(biāo)與雷達(dá)的連線平行；第2個(gè)方程表示A位于雷達(dá)與目標(biāo)的連線上；第3個(gè)方程表示桿3與桿1平行，都垂直于基座，這是搖臂運(yùn)動(dòng)的附加約束條件。

將式(1)、(2)和(3)的關(guān)系帶入式(4)，可以得到5元的非線性方程組，解這個(gè)方程組，能夠得到搖臂每個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角角度θi的值。

上述方法求解比較復(fù)雜，對(duì)于簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)能夠獲得閉式的解，復(fù)雜的結(jié)構(gòu)有可能需要通過(guò)數(shù)值方法給出解。針對(duì)文中的搖臂平臺(tái)，本文給出了一種相對(duì)簡(jiǎn)單的幾何解析法來(lái)求解搖臂平臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。該方法充分利用搖臂平臺(tái)設(shè)計(jì)特殊的空間結(jié)構(gòu)，盡量多地進(jìn)行運(yùn)動(dòng)解耦，簡(jiǎn)化搖臂平臺(tái)的解算過(guò)程。

首先分析由這5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副構(gòu)成的運(yùn)動(dòng)學(xué)鏈。搖臂平臺(tái)模型如圖4所示。

圖4 搖臂運(yùn)動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角定義

平臺(tái)為5軸系統(tǒng)，通過(guò)運(yùn)動(dòng)副的特殊位置設(shè)置，滿足搖臂平臺(tái)運(yùn)動(dòng)模擬要求，同時(shí)對(duì)5軸系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)化。ψ1、β1構(gòu)成一級(jí)向上叉架結(jié)構(gòu)，垂直相交；ψ2、ψ3構(gòu)成向下的叉架結(jié)構(gòu)，垂直相交；β1、β2軸向平行，可認(rèn)為是一個(gè)平面機(jī)構(gòu)；β1、β2互補(bǔ)，保證ψ1、ψ2軸平行且與大地垂直。

對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)模擬的方法為控制ψ1、β1、β2、ψ2、ψ3，使信號(hào)源始終處于雷達(dá)天線與目標(biāo)連線上，使信號(hào)源始終對(duì)準(zhǔn)雷達(dá)。根據(jù)上述定義，建立相關(guān)坐標(biāo)系如圖5所示。

雷達(dá)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，雷達(dá)與搖臂基座連線為X軸方向，Z方向垂直向上，Y方向符合右手定則。

圖5 搖臂運(yùn)動(dòng)平臺(tái)幾何解析法分析模型

設(shè)虛擬的圓心在O(a,b,c)，搖臂臂長(zhǎng)R，搖臂垂直于XY平面，且垂點(diǎn)位于X上(為了簡(jiǎn)化)。S(x,y,z)為信號(hào)源位置,S′是S在XY平面的投影點(diǎn)。T(xt,yt,zt)為模擬的目標(biāo)位置。

計(jì)算S(x,y,z)點(diǎn)：

(5)

a2+b2+c2-R2=0

(6)

(7)

這里取較小的根，即：

(8)

根據(jù)圖5 模型可解出ψ1、ψ2、ψ3、β1、β2等角度。

4 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證前述不同模型的正確性，采用2種模型相互驗(yàn)證的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。具體思路為：設(shè)置搖臂平臺(tái)的基本參數(shù)、目標(biāo)位置、雷達(dá)位置，根據(jù)這些輸入?yún)?shù)代入逆運(yùn)動(dòng)幾何解析法模型，得到搖臂平臺(tái)的控制參數(shù)及信號(hào)源位置坐標(biāo)。將搖臂的控制參數(shù)代入，用D-H法得出正向解算模型，得到信號(hào)源位置坐標(biāo)，驗(yàn)證兩模型信號(hào)源位置坐標(biāo)是否相同，由此來(lái)驗(yàn)證2個(gè)模型的一致性。

設(shè)置搖臂參數(shù)，如圖2中桿1長(zhǎng)2 m，桿2長(zhǎng)2 m，桿3長(zhǎng)5 m；圖3中Z3到Z5距離2 m，X1到X2距離2 m，Z2到Z3距離5 m，X4到X5距離2 m。

目標(biāo)在以雷達(dá)為原點(diǎn)的坐標(biāo)系中的位置為(20 000,500,2 000)，單位m。雷達(dá)到搖臂平臺(tái)距離100 m。

逆運(yùn)動(dòng)幾何解析法模型計(jì)算如下：

根據(jù)第3節(jié)中描述的模型以及搖臂輸入?yún)?shù)，得出模型的輸入?yún)?shù)：a=100 m,b=0 m,c=2 m,R=5 m,xt=20 000 m,yt=500 m,zt=2 000 m。計(jì)算得到：信號(hào)源位置為S(95.715 4，0.957 2，2.392 9)，ψ1=12.592 7°，ψ2=13.165 7°，ψ3=1.432 2°，β1=118.592 5°，β2=61.407 5°。

D-H法正運(yùn)動(dòng)模型計(jì)算：根據(jù)搖臂輸入?yún)?shù)、第2節(jié)中相關(guān)定義和圖3得到模型的輸入?yún)?shù)α1=0°，α2=90°，α3=0°，α4=90°，α5=90°；A1到A5矢量為A1=(0,0,2)′，A2=(-5cosθ2, -5sinθ2,0)′，A3=(0, 0,0)′，A4=(0, 0,-2)′，A5=(0, 0,0)′。

根據(jù)圖3和圖5的模型，以及第1節(jié)描述的方法，依據(jù)逆運(yùn)動(dòng)模型計(jì)算結(jié)果，可得到：θ1=-12.592 7°,θ2=-28.592 5°,θ3=151.407 5°,θ4=13.165 7°,θ5=1.432 2°。各旋轉(zhuǎn)副的關(guān)節(jié)參數(shù)為：

R1(a1=0 m,b1=2 m,α1=0°,θ1=-12.592 7°)；

R2(a2=0 m,b2=0 m,α2=90°,θ2=-28.592 5°)；

R3(a3=5 m,b3=0 m,α3=0°,θ3=151.407 5°)；

R4(a4=0 m,b4=-2 m,α4=90°,θ4=13.165 7°)；

R5(a5=0 m,b5=0 m,α5=90°,θ5=1.432 2°)。

根據(jù)公式(2)、(3) 得到：

A=(-4.284 6,0.957 2,2.392 9)′

A為信號(hào)源位置矢量，由于圖3和圖5之間坐標(biāo)系原點(diǎn)X方向差100 m，換算到圖5坐標(biāo)系中：

(-4.284 6+100,0.957 2,2.392 9)=(95.715 4，0.957 2，2.392 9)

結(jié)果與S相等，驗(yàn)證了這2種模型的正確性。

5 結(jié)束語(yǔ)

搖臂式運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是搖臂平臺(tái)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，也是目標(biāo)模擬的基本模型。本文給了搖臂式雷達(dá)目標(biāo)模擬平臺(tái)的模擬原理，分析了搖臂式運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)鏈并進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，給出了相關(guān)仿真驗(yàn)證。在搖臂平臺(tái)具體技術(shù)設(shè)計(jì)過(guò)程中必須進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，即研究搖臂平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度、加速度等問(wèn)題。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可以以運(yùn)動(dòng)學(xué)研究為基礎(chǔ)，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)研究的結(jié)果和相關(guān)公式。另外搖臂平臺(tái)的伺服控制也是建立在搖臂運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)上。本文的研究為搖臂雷達(dá)目標(biāo)模擬器的控制研究提供了基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)學(xué)解算模型和方法，更深入的研究還需要進(jìn)一步開(kāi)展。

[1] 宋偉剛.機(jī)器人學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2007.

[2] 數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，1979.

SolvingMethodofSimulationPlatformofRadarMovingTarget

ZHOU Hong-feng,ZHANG You-yi

(The 723 Institute of CSIC,Yangzhou 225001,China)

This paper introduces a simulation platform of radar moving target,builds the moving model of the platform based on D-H method,performs the analysis of forward kinematics and inverse kinematics to the platform through different methods,adopts comparison method to validate the analyzing result,validates the veracity to build moving dynamatic model through simulation.

rocker arm;radar simulation;moving target;solving method

TN955.2

A

CN32-1413(2017)05-0040-04

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2017.05.008

2017-09-10