亞臨界圓柱繞流的DES方法比較

唐虎， 常士楠,*， 成竹， 馬蘭

1.北京航空航天大學 航空科學與工程學院， 北京 100083 2.中國飛機強度研究所， 西安 710065

亞臨界圓柱繞流的DES方法比較

唐虎1， 常士楠1,*， 成竹2， 馬蘭2

1.北京航空航天大學 航空科學與工程學院， 北京 100083 2.中國飛機強度研究所， 西安 710065

針對地面結冰試驗設施噴霧系統尾跡湍流模擬需求，考察了3種脫體渦模擬(DES)方法對三維亞臨界圓柱繞流預測的準確性，比較和分析了瞬時流動特征和流場統計量。研究發現：1) 從瞬時流動特征來看，k-ω雷諾平均Navier-Stokes(RANS)控制的區域對剪切應力輸運k-ωDES (SSTk-ωDES)求解的準確性有顯著影響；2) 從流動參數統計量的誤差范圍來看，回流區長度和流向最小速度的預測質量能在一定程度上反應圓柱繞流數值模擬的準確性；3) 綜合比較，SSTk-ωDES預測值與試驗值和大渦模擬(LES)數據最為吻合，具有應用于地面結冰試驗設施噴霧系統尾跡湍流計算的潛力。

湍流擴散； 尾跡流動； 脫體渦模擬； 渦結構； 統計量

地面結冰試驗設施由于具備可控的結冰云霧模擬能力而在飛機結冰研究和冰防護系統發展過程中發揮重要作用，而液態水含量均勻性作為地面結冰試驗設施的一個重要設計指標，是設計階段必須要考慮的。此前的研究[1-7]已經表明地面結冰試驗設施噴霧棒尾跡湍流對水滴擴散有顯著影響。要正確地預測尾跡湍流對水滴的擴散行為，就必須合適地捕捉噴霧棒尾跡湍流。

氣流繞噴霧棒流動屬于亞臨界鈍體繞流，涉及邊界層分離、剪切層發展、非定常渦的產生與脫落、渦與渦之間相互作用等復雜物理現象。脫體渦模擬(Detached Eddy Simulation,DES)是一種致力于解決三維非定常大分離流動的湍流求解方法[8]，最早由Spalart等[9]提出，該方法在網格分辨率適用于大渦模擬(Large Eddy Simulation，LES)的區域發揮類似于LES亞格子尺度模型的作用，而在網格分辨率不適用于LES的區域發揮雷諾平均Navier-Stokes(Reynolds Averaged Navier-Stokes，RANS)模型的作用[10]，這樣可在保證計算精度可接受的同時較大幅度地節省計算資源。

DES方法經過逐步改進[11-19]，已成功應用于多項實際工程中[20-32]。目前構建的較為常用的DES方法有Spalart-Allmaras DES(S-A DES)[33]方法、Realizablek-εDES(Rk-εDES)[34]方法和剪切應力輸運k-ωDES(SSTk-ωDES)[35]方法(k為湍動能；ε為耗散率；ω為比耗散率)。在DES方法比較研究方面，Strelets[8]在將S-A DES推廣至SSTk-ωDES時以ReD=50 000(ReD為圓柱雷諾數)圓柱繞流案例進行了模型測試，比較了瞬時渦量、阻力系數、升力系數、雷諾應力和圓柱表面壓力系數分布，但僅有壓力系數分布與試驗數據進行了比較。Nichols[36]則以ReD=8×106圓柱繞流案例對S-A DES、SSTk-ωDES和SST多尺度模型進行了比較，分析了計算結果對時間步長和網格分辨率的敏感性，認為采用隱式算法時需要對每個渦脫落周期捕捉至少200步，但Nichols[36]僅對阻力系數CD和斯特羅哈爾數St與試驗數據進行了比較，沒有對這3種方法預測的流動統計量以及瞬時流動特征與試驗進行全面比較，因此難以說明哪種方法更適用于亞臨界流動。

作為噴霧棒尾跡湍流對水滴的擴散研究的第1步，本研究擬采用上述3種DES方法對亞臨界圓柱繞流進行計算，并將預測的瞬時流動特征和流動統計量與可用的試驗數據進行比較與分析，確定可準確描述亞臨界鈍體尾跡湍流特征的DES方法，為下一步不同噴霧棒外流場數值計算和水滴擴散計算奠定基礎。

1 數值方法

1.1 控制方程

(1)

將這種形式的速度表達式代入瞬態連續性方程和動量方程，并取時間平均可得到

(2)

式中：ρ為密度；t為時間。

(3)

湍流建模的RANS方法要求式(3)中的雷諾應力適當模化。一般采用Boussinesq假設將雷諾應力與平均速度梯度聯系起來，即

(4)

式中：μt為湍流黏性。

下面給出本文考察的3種雷諾應力模化DES方法。

1) S -A DES

(5)

式中：CDES,S -A為S-A DES的模型常數，取值為0.65；Δmax為網格在x、y或z方向的最大值，即

Δmax=max(Δx,Δy,Δz)

(6)

2) Rk-εDES

在Rk-εDES模型中，耗散項Yk由式(7)修正。

(7)

式中：lDES為DES模型湍流長度，其表達式為

lDES=min(lRk ε,lLES)

(8)

(9)

lLES=CDES,Rk εΔmax

(10)

其中：lRk ε和lLES分別為Rk-εRANS模型和LES模型湍流長度；CDES,Rk ε為Rk-εDES的模型常數，取值為0.61。

3) SSTk-ωDES

采用式(11)對SSTk-ωDES模型中的湍動能耗散項Yk進行修正。

Yk=ρβ*kωFDES

(11)

式中：β*為修正系數；FDES的表達式為

(12)

其中：CDES,SST為SSTk-ωDES的模型常數，取值為0.61；Lt為湍流長度尺度，在RANS中的定義為

(13)

1.2 求解方法

采用ANSYS 14.5 Fluent軟件平臺開展數值計算。由于研究的流動為低速不可壓縮非定常流動，因此選用基于壓力的求解器進行瞬態模擬，并采用壓力隱式分裂算子(Pressure-Implicit with Splitting of Operators，PISO)進行壓力-速度耦合求解。對于瞬態模擬，控制方程必須在空間和時間上進行離散。在空間離散上，連續性方程采用有限差分方法，并采用算術平均處理密度插值；動量方程采用有界中心差分格式(Bounded Central Differencing Scheme)進行離散，其壓力梯度項采用基于單元的最小平方法進行計算，壓力項采用動量方程系數處理表面處的壓力差值；湍動能和耗散率采用二階迎風格式。在時間離散上，采用二階隱式格式。

2 結果與討論

2.1 計算域、網格與邊界條件

選用具有代表性的ReD=3 900亞臨界圓柱繞流進行模型測試，因為這種流動有Lourenco和Shih[37]、Norberg[37](報道于文獻[37]中)、Ong和Wallace[38]、Parnaudeau等[39]的試驗數據用于比較，而且這些試驗數據也被廣泛地用于模型測試。本文主要采用Parnaudeau等[39]在2008年采用熱線風速儀(Hot Wire Anemometry, HWA)和粒子圖像測速(Particle Image Velocimetry,PIV)獲取的ReD=3 900圓柱繞流試驗數據進行模型驗證，另外還引用了Parnaudeau等[39]在相同條件下的LES數據進行比較。文獻[39]中圓柱直徑D=12 mm，長徑比L/D=24，空氣密度ρ=1.205 kg/m3，空氣溫度ta=20 ℃，空氣動力黏性系數μa=1.81×10-5Pa·s，來流空氣速度Uc=4.8 m/s。

參照文獻[37]中的圓柱繞流計算域選取經驗，確定計算域為：流向-15≤x/D≤15，側向-15≤y/D≤15，展向-2≤z/D≤2，圓柱體中心位于x/D=0的位置，如圖 1(a)所示。在網格設計時，要考慮圓柱邊界層長度尺度、分離剪切層和渦結構。Spalart[40]和Bunge等[41]對DES方法的使用、網格系統和網格尺寸(Δx,Δy,Δz)設計給出了建議。此處參考Travin等[42]開展圓柱繞流DES計算時的網格系統設計方法，將流體計算域分為3塊，即RANS域、LES域和歐拉域，3個域的交點A由剪切層長度確定，約為(1.09,1.03)，如圖1(b)所示。

為了準確地描述邊界層的發展與脫落，RANS域第1層網格厚度Δy取0.003D，對應的y+≈1，y方向網格增長率取1.15，這樣可保證邊界層內(以0.99Uc確定)分布有足夠的節點。這樣得到RANS域在交點A處的Δy約為0.045D，考慮到DES方法要求LES域具有近似的各向同性網格，因此RANS域第1層網格Δx取0.015D，這樣可以保證交點A處的Δx≈Δy。展向網格分辨率要考慮渦結構尺度，根據Mansy[43]和Williamson[44]等的試驗研究，在近圓柱尾跡區域的展向波長尺度約為

(14)

根據式(14)，ReD=3 900時的展向波長λz/D≈0.4，故第1層網格展向取Δz=0.05D可保證每個波長內分布約8個節點。因此整個網格系統節點分布：RANS域為195×65×85，LES域為 46×151×85，歐拉域為75×51×85，總網格數約為200萬。

根據Parnaudeau等[39]的試驗條件，設置計算的入口速度Uc=4.8 m/s，入口湍流強度為0.2%，圓柱表面為無滑移靜止壁面，展向方向設置為對稱邊界。為了保證方程求解滿足CFL(Courant-Fredrichs-Levy)限制條件，取固定時間步長Δt=0.02D/Uc進行計算，這樣可使每個渦脫落周期捕捉約240次，滿足文獻[36]提到的時間步長要求。

2.2 瞬時流動特征

在對DES模擬數據進行處理時，發現Rk-εDES給出的預測數據具有顯著的RANS特征，為了表明Rk-εDES結果的可靠性，此處同時引入Rk-εRANS結果進行比較。圖2和圖3 分別給出了瞬態展向渦分量ΩzD/Uc和側向渦分量ΩyD/Uc在2個對稱面(z=0和y=0)上的分布，為了與Parnaudeau等[39]的PIV試驗數據和LES數據進行比較，此處坐標軸與渦量范圍的選取均與Parnaudeau等[39]的一致。從圖2 可看出，在z=0平面，S-A DES和SSTk-ωDES在圓柱兩側均預測出兩條細長的剪切層，且剪切層幾乎一直延伸到x/D=2，這與試驗測量以及LES結果較為吻合，然而Rk-εDES卻預測出了兩條相對粗短的剪切區域，沒能預測出明顯的剪切層特征。在尾跡區內，3種DES方法給出了尺度較為接近的渦結構，這是因為DES在該區域內轉換為LES，但受上游解析能力的影響，DES在尾跡區內的微小尺度渦結構預測能力稍弱于LES。Rk-εRANS預測出的邊界層和剪切層與Rk-εDES得到的結果極為相似，而Rk-εDES有在近壁區保持為Rk-εRANS的特點，這也表明Rk-εDES的預測結果是可靠的。另外，Rk-εRANS在尾跡區幾乎沒能捕捉到展向渦分量，這是由于RANS構架下產生過高的湍流黏性，使得流場的脈動信息被劇烈耗散。

從圖3可看出，在y=0平面，3種DES方法均預測出了交替出現的湍流渦以及無旋區，因此3種DES方法均能預測出圓柱下游區的卡門渦街，而且預測的渦街排列與試驗及LES較為接近，均與圓柱基本平行，表明了流動結構的三維特征。但3種DES方法中，Rk-εDES預測的側向渦量ΩyD/Uc較弱。另外，Rk-εRANS幾乎沒能捕捉到側向渦分量，這說明RANS在預測流動的三維特征方面表現欠佳。

文獻[39]沒有給出總渦量ΩD/Uc在z=0平面分布的試驗數據，這里給出3種DES方法在z=0平面的瞬態渦量(ΩD/Uc取0～10)以供比較，如圖4所示。從圖4可見，S -A DES和SSTk-ωDES均預測出了不穩定的剪切層從圓柱表面分離，并逐步發展為周期性的卡門渦街這一過程，而Rk-εDES和Rk-εRANS對流動結構的發展過程預測能力較弱。Rk-εDES在預測下游尾跡區的渦結構能力方面與S-A DES和SSTk-ωDES相當，這也體現了DES方法在該區域保持LES特性的解析能力。Rk-εRANS預測的尾跡區渦量偏弱，這是由于RANS產生過高的湍流黏性。

從構造的角度來看，DES方法在邊界層區域保持RANS，在遠場轉化為LES。而SSTk-ωDES中的RANS部分本身就包含了k-ωRANS和k-εRANS兩部分，僅是采用混合函數進行了處理，使得SSTk-ωRANS在邊界層近壁區保持為k-ωRANS，在邊界層遠壁區切換為k-εRANS，以發揮出更好的性能[45]。Strelets[8]認為影響SSTk-ωDES準確性的主要是k-εRANS控制的區域。本文給出的Rk-εDES和SSTk-ωDES結果在邊界層分離和剪切層發展區域存在較大差異，然而Rk-εDES預測的邊界層分離和剪切層發展行為又與Rk-εRANS較為接近，這說明Rk-εDES在邊界層區域的確是采用k-εRANS進行求解。以上分析表明k-ωRANS控制的區域對SSTk-ωDES求解的準確性也有較大影響。

從渦量數據來看，流向渦分量ΩxD/Uc和側向渦分量ΩyD/Uc的量值相當；展向渦分量ΩzD/Uc較大，是渦量的主要分量，這進一步體現了流動的三維特征。

2.3 流動統計量

在比較流動統計量時，首先要考慮流場統計量的收斂性。很多研究者在對流場統計量進行處理時所取的平均時間都不一致，例如Kravchenko和Moin[37]用7個渦脫落周期計算流場統計量，而Dong等[46]使用40～50個渦脫落周期，Ma等[47]又采用131個渦脫離周期。Franke和Frank[48]研究了流場統計量的收斂性，認為至少需要40個渦脫離周期才能獲取收斂的流動統計量。目前的數值模擬均在尾跡湍流形態規律穩定之后開始對瞬態流場進行采樣。所有的統計量都是基于T=240D/Uc(約50個渦脫落周期)取平均得到，平均符號由“〈·〉”表示。

表1中給出了ReD=3 900圓柱繞流統計量。圓括號內的值表示數值計算數據與試驗數據的誤差，“+”表示偏大，“-”表示偏小。從表 1可以看出，3種DES方法得到的阻力系數CD均稍小于試驗測量值，而LES方法得到的CD稍大于試驗測量值，這說明DES方法預計的分離點比試驗測量得到的分離點稍微延后，這也由DES方法計算得到的分離角θsep均大于試驗測量值所證實。3種DES方法預計的阻力系數與試驗最為接近的是SSTk-ωDES，誤差僅為1%。-Cpb為背壓系數，Cpb為圓柱基點(Base Point，θ=180°)處的壓力系數。3種DES方法計算的-Cpb均比試驗測量值小，精度最高的是SSTk-ωDES模型，誤差為14%，精度不及LES方法(誤差為7%)，這和Norberg[37]是在ReD=4 020條件下測量的-Cpb有關。此前有研究者認為，St數(St=fD/Uc，f為渦脫落頻率)對網格分辨率和時間步長不敏感，筆者在網格分辨率和時間步長調試過程中也發現了這一點，但DES模型仍然對St數有輕微影響，3種DES方法中SSTk-ωDES模型預計的St數與試驗最為接近，誤差為1%，精度與LES相當。3種DES方法計算的分離角θsep基本相同，最接近試驗值的是Rk-εDES，誤差為5%。回流區長度Lrec為圓柱基點與中心線上平均流向速度〈u〉符號轉變點之間的距離，如圖5所示。由表1可看出，3種DES方法在回流區長度和流向最小速度umin預測方面存在較大差異，S-A DES預測的Lrec比Parnaudeau等[39]得到的試驗值大39%，Rk-εDES預測的Lrec比Parnaudeau等[39]得到的試驗值小50%，SSTk-ωDES預測的Lrec與Parnaudeau等[39]得到的試驗值最為接近，僅偏大8%。S-A DES方法給出了較為準確的流向最小速度umin，約偏低6%。從流動參數統計量的誤差范圍可以看出，3種DES方法得到的流動參數CD、-Cpb、St和θsep的誤差較為接近，僅回流區長度Lrec和流向最小速度umin的誤差有明顯差異，因此回流區長度Lrec和流向最小速度umin的預測質量能在一定程度上反應圓柱繞流數值模擬的準確性。另外，通過比較Rk-εRANS和Rk-εDES預計的流動統計量可以發現，Rk-εDES預計的流動統計量具有顯著的RANS特征，這表明在Rk-εDES中k-εRANS對邊界層區域表現出了過分抑制。

表1 ReD=3 900圓柱繞流統計量Table 1 Statistics of flow around circular cylinder at ReD=3 900

圖5給出了尾跡中心線上平均流向速度〈u〉分布。雖然3種DES方法預測的〈u〉變化趨勢幾乎一致，均是隨著尾跡中心線的延伸先逐步減小，達到最小速度umin后再增大，最后趨于平穩，但是僅有SSTk-ωDES模型得到的〈u〉在整個尾跡區(x/D≥0.5)與Parnaudeau等[39]的試驗數據最為吻合(和LES數據基本一致)，而S -A DES模型和Rk-εDES模型預測的〈u〉僅在遠尾跡區(約x/D≥6)與試驗數據較為接近。這里引入了Lourenco和Shih[37]以及Ong和Wallace[38]的試驗數據作為比較。Ong和Wallace[38]僅給出了回流區下游的〈u〉分布，Lourenco和Shih[37]給出了包含回流區的〈u〉分布。Lourenco和Shih[37]試驗測量得到的Lrec比Parnaudeau等[39]測量得到的Lrec小，Kravchenko和Moin[37]認為這是由于內流干擾導致剪切層過早轉捩形成的。

將3種DES方法獲取的z=0平面3個不同流向位置處的平均流向速度〈u〉分布(見圖6)和平均側向速度〈v〉分布(見圖7)與Parnaudeau等[39]以及Lourenco和Shih[37]的近尾跡區試驗數據進行比較，并引入Parnaudeau等[39]的LES數據作為參考。為了便于與試驗數據進行比較，流向位置的選取與試驗一致。

總體看來，〈u〉分布呈現出明顯的對稱性，〈v〉分布呈現出明顯的反對稱性。從模擬與試驗數據的接近程度來看，對于〈u〉的預測，S -A DES數據偏大，Rk-εDES數據〈u〉偏小；對于〈v〉的預測，S -A DES模擬數據又偏小，而Rk-εDES數據偏大，只有SSTk-ωDES與Parnaudeau等[39]的試驗數據最為接近，與LES僅存在極小的差異。值得注意的是，在位于回流區的x/D=1.06處(見圖 6(a))，S -A DES、SSTk-ωDES和LES都給出了U型輪廓的〈u〉分布，這和Parnaudeau等[39]試驗給出的〈u〉分布輪廓幾乎完全一致。然而Rk-εDES卻給出了V型〈u〉分布，這又和Lourenco和Shih[37]試驗給出的〈u〉分布輪廓接近。注意到試驗和模擬數據在回流區邊緣區域x/D=1.54和回流區下游x/D=2.02處都給出了V型〈u〉分布，這說明〈u〉分布可能是從回流區的U型輪廓發展為回流下游尾跡區的V型輪廓。從圖7的〈v〉分布可明顯看出，除Lourenco和Shih[37]的試驗數據外，所有的模擬和試驗數據均給出了反對稱的〈v〉分布，這種異常行為也表明Lourenco和Shih[37]的試驗測量可能受到某些外部干擾的影響，導致剪切層過早轉捩，影響回流區尺寸和近尾跡區的速度輪廓形狀，這也從圖 5中Lourenco和Shih[37]試驗得到的回流區長度Lrec得到證實。

圖8給出了圓柱表面z=0處壓力系數分布。由于Parnaudeau等[39]沒有給出圓柱表面壓力系數分布的試驗數據，這里用Norberg[37]在ReD=4 020 下的試驗數據進行比較。在DES方法中，盡管3種DES方法均給出了相同的Cp變化趨勢，但S-A DES和Rk-εDES(兩條線幾乎完全重合)方法給出的Cp分布與試驗數據偏離較遠，SSTk-ωDES方法與試驗數據較為接近，精度能比前兩種DES方法高1倍，但仍不及LES。另外，DES方法中駐點處的壓力系數略微大于1，這在Travin等[42]的圓柱繞流DES方法中也曾出現，Travin等[42]認為這種誤差會隨計算域的增大而減小，然而背壓卻對計算域的增大不敏感。研究較為關注的是背壓系數，而不是駐點處的壓力系數，因此在目前的計算域條件下得到的壓力系數分布誤差是可以接受的。

3 結 論

1) 從瞬時流動特征來看，k-ωRANS控制的區域對SSTk-ωDES求解的準確性有顯著影響。

2) 從流動參數統計量的誤差范圍來看，回流區長度Lrec和流向最小速度umin的預測質量能在一定程度上反應圓柱繞流數值模擬的準確性。

3) 綜合比較，SSTk-ωDES預測值與試驗和LES數據最為吻合，具有應用于地面結冰試驗設施噴霧系統尾跡湍流計算的潛力。

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(責任編輯：鮑亞平)

＊Corresponding author. E-mail: sn_chang@buaa.edu.cn

Comparison of detached eddy simulation schemes on a subcritical flow around circular cylinder

TANG Hu1, CHANG Shinan1,*, CHENG Zhu2, MA Lan2

1.SchoolofAeronauticScienceandEngineering,BeihangUniversity,Beijing100083,China2.AircraftStrengthResearchInstituteofChina,Xi’an710065,China

Considering the requirements of simulating the flow around spray system in ground based icing test facilities, the accuracy of three detached eddy simulation (DES) schemes applied to three-dimensional subcritical flow around circular cylinder was examined through the comparison and analysis of instantaneous flow characteristics and flow statistic parameters. It is found that, from the point of instantaneous flow characterization, thek-ωReynolds averaged Navier-Stokes (RANS) branch has remarkable influence on the accuracy of shear stress transportk-ωDES (SSTk-ωDES). From the point of error range in flow statistics, the length of recirculation region and streamwise minimum velocity are the key parameters which determine the accuracy of numerical simulation on flow around circular cylinder. Compared comprehensively, the instantaneous flow characteristics and flow statistics obtained from SSTk-ωDES have well agreements with the data of experiments and large eddy simulation (LES), which thus has the potential of being applied to computing the wake turbulence of spray system in ground based icing test facilities.

turbulent dispersion; wake flow; DES; vortex structure; statistics

2016-04-07； Revised：2016-05-07； Accepted：2016-05-27； Published online：2016-06-07 08:40

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160607.0840.004.html

s：National Natural Science Foundation of China (11372026)； Technique Innovation Foundation of Aviation Industry Corporation of China (2013F62302)

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0174

2016-04-07； 退修日期：2016-05-07； 錄用日期：2016-05-27； 網絡出版時間：2016-06-07 08:40

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160607.0840.004.html

國家自然科學基金 (11372026)； 中國航空工業集團公司技術創新基金 (2013F62302)

＊通訊作者.E-mail: sn_chang@buaa.edu.cn

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V216.8

A

1000-6893(2017)03-120294-11