對“重力機械能守恒定律在各慣性系都成立”的修正

劉明成

(河北師范大學 河北 石家莊 050091)

劉文芳

(吉林師范大學 吉林 四平 136000)

趙文桐

(河南師范大學 河南 新鄉 453007)

對“重力機械能守恒定律在各慣性系都成立”的修正

劉明成

(河北師范大學 河北 石家莊 050091)

劉文芳

(吉林師范大學 吉林 四平 136000)

趙文桐

(河南師范大學 河南 新鄉 453007)

1 前言

文獻[1]發表后,收到兩篇批評文章[2,3],我們非常高興,這說明兩位作者認真審閱了我們的文章.富蘭克林先生說過：“誰批評我們,誰就是我們的朋友,因為他們指出了我們的缺點.”為了對已經發表的文章負責,對自己的觀點負責,我們接受文獻[2]的批評意見,把這兩個例題重做一遍.“堅持真理,修正錯誤”,這是討論問題時應具備的正確態度.文獻[1]的論述方法確有毛病,但結論是正確的.“在自由落體和斜面滑塊問題中機械能守恒定律在電梯系和小車系也成立.”

本文為文獻[1]之修正版,和文獻[1]的主要區別是把自由落體、斜面滑塊兩個理想實驗從電梯和小車上搬到地面上做,這樣修改使伽利略坐標變換回到原來的規范配置上,使我們看清了參考系和坐標系的本質區別,即參考系是具體的,坐標系是抽象的(假想的).

2 問題分析

【例1】一質量為m的小球(視為質點),自地面以上高h處t=0時開始下落,t=T時落到地面.忽略一切非保守力作用.

(1)求證：在地面坐標系小球(質點)在自由降落過程中機械能守恒;

(2)有一相對于地面勻速u上升的電梯,求證：在電梯坐標系小球在自由降落過程中機械能守恒.

解析:(1)在地面系考察小球的機械能,勢能零點選擇地面.

當t=0時,y(0)=h,v(0)=0,于是Ep(0)=mgh,Ek(0)=0,則落體起始機械能為

Ek(0)+Ep(0)=mgh

(1)

于是有

Ek(t)+Ep(t)=mgh

(2)

這即說明t∈[0,T],y(t) ∈[0,h]下落過程中小球的機械能守恒.

(2)在電梯系考察小球的機械能.在電梯系觀測小球為豎直下拋.

按伽利略坐標變換關系,y為地面系,y′為電梯坐標系

y=y′+ut

v=v′+u

a=a′ = -g

在t=0和t=T時兩坐標系及小球位置關系如圖1和圖2所示.

圖1 設uT=h，t=0時兩坐標系重合，小球在頂端

圖2 設uT=h,t=T時小球落地，電梯系到達頂端

當t=0時,兩坐標系原點重合,小球開始下落,有

y′(0)=y(0)=h

v′(0)=v(0)-u=-u

則

于是起始時落體機械能為

(3)

當t∈[0,T]時,y(t) ∈[0,h], 有

v′(t)=v(t) -u=-gt-u

于是有

(4)

這即證明了小球在下落過程中機械能在電梯系也守恒.

【例2】在地面上固定一光滑斜面,斜面高h,傾角為θ,斜面頂端有一個光滑的滑塊(視為質點),其質量為m,當t=0時滑塊開始下滑,t=T時滑到地面.忽略一切非保守力因素.

(1)求證：在下滑過程中滑塊機械能在地面坐標系守恒；

(2)同時有一輛小車沿x軸正方向勻速u直線運動,求證：在小車系滑塊的機械能守恒.

(1)首先證明在地面系滑塊的機械能守恒.勢能零點選在地面.

當t=0時,y(0)=h,v(0)=0,于是

Ep(0)=mgh

立即寫出t=0時機械能

Ek(0)+Ep(0)=mgh

(5)

在此問題中滑塊(質點)所受的外力是重力和斜面對質點支持力(約束力).但由于支持力方向始終和滑塊位移方向垂直,因此始終不做功或做功為零.因此在下滑過程中只有重力做功. 當t時刻滑塊滑到A點時,由動能定理,合外力對質點所做之功等于質點動能的增量

W=Ek(t)-Ek(0)

(6)

再用質點勢能定理,保守力重力所做之功等于質點勢能增量的負值

W=—[Ep(t)-Ep(0)]

(7)

再用式(6)和式(7)消去W,并引用式(5)得

Ek(t)+Ep(t)=Ek(0)+Ep(0)=mgh

(8)

這就證明了在地面系滑塊在下滑過程中機械能守恒.

(2)求證在小車系滑塊下滑過程中機械能守恒.勢能零點選在地面.在t=0和t=T時兩坐標系及滑塊位置如圖3所示.

圖3 設uT=s，t時刻兩坐標系及滑塊位置示意圖

當t=0時,兩坐標系原點重合,滑塊開始下滑,有

y′(0)=y(0)=h

v′(0)=v(0)-u=-u

則

于是起始時質點機械能為

(9)

當t∈[0,T]時,y′(t)=y(t) ∈[0,h]時,滑塊一直在斜面上,比如t時到達A點,約束力(支持力)一直不做功,僅重力做功,所以根據動能定理：合外力對質點所做的功等于質點動能的增量

(10)

根據勢能定理：保守力重力對質點做的功等于質點勢能增量的負值

(11)

由式(10)和式(11)消去W,并引用式(9)可以得到

(12)

這就證明了在小車系滑塊下滑過程中機械能守恒.

3 結束語

“機械能守恒定律在各慣性系都成立”是“機械能守恒定律滿足力學相對性原理[6]”的通俗表述.2015年我們所寫的3篇文章[1,7,8]列舉4個例子說明(重申)了物體(質點)的重力、引力、彈力機械能守恒定律都滿足力學相對性原理.

在靜系

Ep(t)+Ek(t)=E(0)

在動系

其中

式中m為物體(質點)的質量,u為兩坐標系之間相對速度.

文獻[3]還批評文獻[8,9],認為這兩篇文章的結論錯誤，兩位作者關于“結論錯誤”的批評,我們絕對不能接受,當然這不妨礙我們對他們對我們的批評表示感謝！正是由于他們的批評,我們才寫成此文,從而對“機械能守恒定律在各慣性系都成立”有了更清楚的認識.

1 趙文桐,劉文芳,劉明成．重力機械能守恒定律在各慣性系都成立．物理通報,2015(3)：96～98

2 李偉鐸.對“重力機械能守恒定律在各慣性系都成立”的商榷.物理通報,2016(增刊1)：110～112,115

3 朱如曾.力場與時間有關系統的功能定理及其應用.大學物理,2016(10)：11～16

4 王立,張成華．機械能守恒定律具有伽利略變換不變性．吉林師范大學學報(自然科學版),2004(3):95～96

5 張翠．斜面上下滑滑塊機械能守恒問題新解．物理通報,2016(9)：115～117

6 趙佩章,陳華,胡世巧,等.機械能守恒定律滿足力學相對性原理.河北師范學院學報(自然科學版),1997(2):40～45

7 劉明成,劉文芳,趙文桐．引力機械能守恒定律在各慣性系都成立．物理通報,2015(6)：123～124

8 劉明成,劉文芳,趙文桐．彈力機械能守恒定律在各慣性系都成立．物理通報,2015(12)：109～111

9 李學生,師教民.對一道中學生物理競賽試題答案的商榷. 物理通報,2014(9)：119～120

2017-04-11)