超混沌系統在圖像置亂加密中的算法探究

李鳳榮　劉嘉洋

【摘 要】受到離散數學中超混沌系統及信息轉移的啟發，將嘗試結合兩者形成新算法框架并應用于圖像加密相關的信息安全領域。通過分析超混沌系統，計算生成混沌吸引子相圖、像素值相關度等非線性動力學特性，并實現超混沌系統展開對圖像加密的研究，并著眼超混沌序列對于初始條件的敏感性、相鄰像素差置亂度、圖像加密/解密速度進行實踐測試。 實驗成果及安全性分析表明，在該算法及所提議的框架下具有較強的抵御窮舉攻擊、統計攻擊等，具有一定的擴展意義。

【關鍵詞】超混沌系統；圖像置亂；混沌吸引子相圖

0 引言

與傳統加密方案不同，本研究將基于超混沌系統的新框架來實現加密的安全通信，設計思路如圖1所示。

混沌具有良好的偽隨機性、軌道不可預測性等一系列優良特性。但應用于加密算法時，低維混沌存在密鑰空間小等不安全弊端；而高維超混沌系統則能更有效的抵御相空間重構等破譯攻擊。正的Lyapunov指數越高，系統軌道不穩定方向越多，系統隨機性越強，抗攻擊能力越高。計算表明該研究所采用的超混沌系統具有滿意的Lyapunov指數。

圖1 研究實現架構

本文后繼展示具體的實驗步驟，集合對應步驟結果的分析逐步深入探討并優化實施方法，并最終通過實驗效果驗證了算法及架構的合理性。

1 超混沌系統

本研究采用的超混沌系統動力學方程如下[1]：

■■=a（-y■+y■）■■=dy■+cy■-y■y■■■=y■y■-by■■■=y■+k（1）

其中a，b，c，d和k是非線性系統的常數參數。當a=36，b=3，c=28，d=-16和-0.7≤k≤0.7時，該系統是超混沌的。

混沌序列可以通過以下步驟生成：通過四階Runge-Kutta離散算法迭代超混沌系統N0次以獲得四個離散狀態序列yk（k=1，2，3，4）。然后用過yk構造隨機整數序列xk，（k=1，2，3，4）：xk（i）=mod（（|yk（i）|-？骔|yk（i）|？骎）×10t，D（i））其中xk（i） 是序列xk第i個值，|x|表示x的絕對值，|x|返回小于或等于x的最近整數。

在研究實現中，N0取100000，即采用Runge-Kutta迭代100000次，取后面99000各數據得到混沌序列生成點對。系統的混沌吸引子軌道線在特定的吸引域內具有遍歷性[2]。

3 像素級置亂

3.1 對加密圖像的位置置亂

為了擾亂圖像相鄰像素間的高度相關性，利用置亂矩陣來置亂原圖像像素位置。實驗具體操作步驟如下：

（1）用迭代生成的混沌序列，舍棄前10000個值，將后面的99000個值作為實際使用的混沌序列。

（2）對混沌序列做如下處理：

x1（k）=|x1（k）|-fix（x1（k））x3（k）=|x3（k）|-fix（x3（k））（2）

（3）將由（2）產生的混沌序列排序，分別從行和列建立從原序列到新序列的映射（一定為單射+滿射），即將排序序列作為圖像數據矩陣的行序列和列序列，從而實現對原圖像位置的置亂[3]。

3.2 置亂的局限性

像素級置亂破壞了原圖像相鄰像素點相關性，但是圖像的灰度直方圖并沒改變，因而安全性不夠高，很難抵御已知明文攻擊，仍需要做進一步的加密。

4 比特級置亂

4.1 像素值擴散

仍然由超混沌系統生成的4個混沌序列出發，把其作為加密密鑰來加密圖像：

（1）對各序列預處理：

xi=mod（fix（（|xi|-？骔|xi|？骎）×1015），256

（2）通過x0決定使用的三元組：

x0=mod（x4，4）

其中x0的四個值分別對應四個不同的三元組；

（3）以x0=0為例，使用三元組（x1，x2，x3）

定義：置亂后矩陣為一個1*M*N的向量P（作為本例輸入）；擴散后矩陣置亂后矩陣為一個1*M*N的向量C（作為加密圖像輸出）則有：

C（3×i+1）=P（3×i+1）？茌x1？茌C（3×i）

C（3×i+2）=P（3×i+2）？茌x1？茌C（3×i+1）

C（3×i+3）=P（3×i+3）？茌x1？茌C（3×i+1）

其中：i=0，1，2...■，P（i）和C（i）分別代表了置亂后的圖像和密文圖像像素灰度值，C（0）=100。

4.2 置亂效果

實驗選用256×256、灰度為256色的Lena位圖作為實驗圖像。如圖2和圖3所示：

圖2 測試用例原始圖像

圖3 比特級置亂效果

5 密鑰空間分析

超混沌系統的4個初始值和參數作為密鑰。若設置精度為1*10-14，則密鑰空間總數超過 1*1070。如果將迭代次數也作為密鑰，則這樣的密鑰空間足以應付大部分的密鑰攻擊[4]。

6 密鑰敏感性分析

混沌序列的選擇對混沌系統也是敏感的，這樣就能有效地增強算法的安全性。

分別取兩個不同初值的x3為26.8629和26.86290001（精度為1*10-8），迭代10w次后輸出關于x1，x3的散點效果，如圖4所示：

因隨著迭代次數的逐級上升，差異化將越來越明顯，為驗證差異性，取后1w個點的散點效果，如圖5所示：

可以看出密鑰的微小變化將引起密文的顯著變化。使用超混沌系統加密的安全性在于其初始值的敏感性，即攻擊者用與初始值極為相似的一個數值進行破解，也因為細微的差別而不能正確解密出原始圖像，故加密效果良好[5]。

7 結束語

本研究所采用的實驗框架核心邏輯在于對超混沌系統的應用以及同統計學計算技巧的結合，從而有效地應用于圖像置亂加密。基于超混沌系統完成對明文圖像進行加密、置亂和像素值擴散的過程，分析可得其擁有較高的精度和較大的密鑰空間。每次隨機產生的密鑰不同，具有“一次一密”性 。并且該算法運速度較快（為線性時間），具有應用于實時加密傳輸的潛在價值。

【參考文獻】

[1]Gao， T.， Chen， Z.， Yuan， Z.， Chen， G.： A hyperchaos gen- erated from Chens system. Int. J. Mod. Phys. C 17（04）， 471–478 （2006）.

[2]Shannon， C.E.： Communication theory of secrecy systems. Bell Syst. Tech. J. 28（4）， 656–715 （1949）.

[3]A，A.V.I.A.：Ergodicproblemsofclassicalmechanics.Math. Phys. Monogr. Ser. （1968）.

[4]Zhang， W.， Wong， K.-W.， Yu， H.， Zhu， Z.-I.： An image encryption scheme using lightweight bit-level confusion and cascade cross circular diffusion. Opt. Commun. 285（9）， 2343–2354 （2012）.

[5]盧輝斌，孫艷.基于新的超混沌系統的圖像加密方案，計算機科學，201138（6）：149-152.endprint