加權最小二乘恒定阻帶響應空域矩陣濾波器設計方法

依力娜艾克拜+李克文+韓東

摘 要：文章針對現有恒定阻帶響應空域矩陣濾波器設計效率低，不適用于快速陣列數據處理要求的問題，提出在最小二乘空域矩陣濾波器設計基礎上，采用對通帶響應誤差和阻帶響應加權的方式，實現恒定阻帶抑制型空域矩陣濾波器。仿真結果表明，文章采用的設計方法，可以產生接近于恒定阻帶抑制效果的濾波器，設計效率較高。

關鍵詞：空域矩陣濾波器；最小二乘；加權最小二乘

中圖分類號：TP911.9 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2017）33-0113-02

1 概述

空域矩陣濾波技術可用于陣列數據處理，通過設計不同的通帶和阻帶方式，保留通帶信號，濾除阻帶干擾，是一種新興的陣列數據處理技術，在聲納信號處理的應用中產生了較大的效益[1-3]。

空域矩陣濾波器設計方法中，最小二乘[4]、零點約束[5]和通帶零響應誤差約束、阻帶響應、通帶響應誤差總體約束、雙邊阻帶總體響應約束空域矩陣濾波器可直接通過陣列流形矩陣獲得，或求解一至兩個方程獲得，其設計效率較高。而恒定阻帶響應約束空域矩陣濾波器由于要限制阻帶響應或通帶響應誤差的最大值都小于某特定約束值，所建立的最優化問題不能直接給出最優解，需要借助復雜的最優化理論和算法求解，計算復雜，不利于實時空域矩陣濾波器設計[6-8]。而恒定阻帶型空域矩陣濾波器具有阻帶約束恒定的特點，可以實現阻帶任意方位的相同阻帶信號抑制，具有較大的實用價值。因此探索新的設計方法，快速有效的實現恒定阻帶抑制能力，是空域矩陣濾波器設計領域必須解決的問題。

本文將采用響應加權的方式設計空域矩陣濾波器，這種空域矩陣濾波器設計方法可以通過對通帶誤差、阻帶相應設置相應加權值得的方式，獲得所需的恒定阻帶響應等濾波效果。通過仿真分析可以發現，這種建立在最小二乘濾波器基礎上的設計方法設計效率較高，可以滿足實際信號處理要求。

2 加權最小二乘空域矩陣濾波器設計方法

線列陣陣元數目為N，假設具有相同的角頻率？棕0的D個窄帶平面波信號源，從D個方向？茲=[？茲1，？茲2，…，？茲D]入射到該基陣，則接收陣采樣信號表示為：

x（t）=A（？茲）s（t）+n（t）

式中x（t）=[x1（t），…，xN（t）]T，s（t）=[s1（t），…，SD（t）]T是D個具有相同角頻率？棕0的信號源，n（t）=[n1（t），…，nN（t）]T是陣列接收數據的背景噪聲，A（？茲）∈CN×D是由入射信號方向向量所構成的矩陣，A（？茲）=[a（？茲1），…，a（？茲i），…，a（？茲D）]，a（？茲i）=[1，e，…，e]T∈CN是第i個信號的入射方向向量，（·）T表示矩陣轉置。

設計矩陣濾波器H∈CN×N對接收陣列數據進行陣元域濾波，濾波輸出為：

y（t）=HA（？茲）s（t）+Hn（t） （1）

假設空域離散化數目為M，每個方位的方向向量為a（？茲m），m=1，…，M期望響應向量為b（？茲m）。為使該矩陣濾波器保留通帶的信號，濾除阻帶的噪聲，則理想的矩陣濾波器應該滿足：

（2）

其中？專P，？專S分別表示通帶和阻帶空間入射方位角集合。

空域矩陣濾波器對陣列信號的實際響應和期望響應之間的誤差由下式給出。

（3）

利用實際響應和期望響應的誤差，構造加權型最優化問題如下。

最優化問題1：

其中，w（？茲m）是每個方向向量的響應加權系數。

由最優化的理論可知，當w（？茲m）取較小值時，Ha（？茲m）-b（？茲m）對J（H）的貢獻較小，反之，則對J（H）的影響較大。隨著w（？茲m）取值的增加，w（？茲m）Ha（？茲m）-b（？茲m）的值隨之增加，導致J（H）的增加。此時要獲得最優空域矩陣濾波器，則必然需要在所有的響應誤差間獲得平衡，大的w（？茲m），必然會獲得矩陣濾波器在？茲m位置較小的響應誤差值。因此，可以通過調節該系數即可實現對目標函數的最優值調節，從而調節空域矩陣濾波器的響應效果。

構造Lagrange函數求解最優化問題1：

（5）

上式中構造了矩陣：

對J（H）求關于矩陣H*的偏導數，并令之為零，以獲得最優濾波器的解。

（6）

得到

（7）

3 加權空域矩陣濾波器仿真

針對等間隔線列陣半波長頻率設計空域矩陣濾波器，即陣元間隔為半波長。陣元數目N=30，通帶為[-15°，15°]，阻帶為[-90°，-20°）∪（20°，90°]，通帶和阻帶離散化采樣間隔0.1°，不考慮過渡帶的響應。圖1給出了最小二乘空域矩陣濾波器的設計效果，最小二乘型空域矩陣濾波器設計方法是加權型設計方法的特例，可以認為此時的加權系數為各個探測方位均為恒定值1。

圖2給出了對通帶響應誤差、阻帶響應分別施加不同權值的濾波器設計效果。此時的通帶響應誤差由圖2（b）可知，約等于恒定值-20dB。阻帶響應由圖2（a）可知，也約等于恒定值-20dB。此時通帶、阻帶加權系數由圖3給出。

4 結束語

因此，對于加權最小二乘矩陣濾波器設計而言，只要通過設計合適的通帶響應誤差、阻帶響應加權值，即可設計出具有恒定阻帶響應約束效果的濾波器。這種濾波器的設計運算量與最小二乘方法沒有本質區別，僅需在最小二乘設計方法基礎上，與加權矩陣相乘即可。因此，相對于現有的恒定阻帶抑制空域矩陣濾波器設計效率而言，本文所用的設計方法，設計效率更高。

參考文獻：

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[2]Vaccaro R J， Chhetri A， Harrison B F. Matrix filter design for passive sonar interference suppression. J Acoustic Soc Am，2004，115（6）：3010-3020.

[3]鄢社鋒，侯朝煥，馬曉川.矩陣空域預濾波目標方位估計[J].聲學學報，2007，32（2）：151-157.

[4]Macinnes C S. Source localization using subspace estimation and spatial filtering. IEEE J. Ocean. Eng.， 2004，29（2）：488-497.

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