離散時(shí)間下可多重休假的冷貯備可修系統(tǒng)的可靠性分析

張娜+劉亞春

摘 要：在時(shí)間參數(shù)為離散的條件下，研究修理工可多重休假和轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)完全可靠的兩不同型部件的冷貯備可修系統(tǒng)。假設(shè)兩不同部件的壽命均服從幾何分布、修理工的維修時(shí)間和休假時(shí)間均服從一般離散型分布，引入三維離散向量，建立新的馬爾科夫過(guò)程，建立模型，并利用Z變換進(jìn)行求解，求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度、穩(wěn)態(tài)失效頻度、穩(wěn)態(tài)等待維修概率、穩(wěn)態(tài)修理工空閑的概率和休假概率、可靠度和首次平均故障前時(shí)間。

關(guān)鍵詞：離散時(shí)間；多重休假；離散向量；Z變換

中圖分類(lèi)號(hào)：O21 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2017）33-0033-04

引言

在實(shí)際工作和工程實(shí)踐中，人們會(huì)經(jīng)常定期檢測(cè)系統(tǒng)、維修或更換部件，因此部件的壽命和維修時(shí)間等統(tǒng)計(jì)量并非是連續(xù)的隨機(jī)變量，而應(yīng)看作非負(fù)整數(shù)值的離散型隨機(jī)變量序列[1]。此外，貯備系統(tǒng)在可修系統(tǒng)中是很重要的一類(lèi)系統(tǒng)，分為溫貯備和冷貯備，冷貯備是指在貯備期間部件不會(huì)發(fā)生惡化和貯備故障，貯備部件的更換是通過(guò)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)瞬間完成的。在上述模型基礎(chǔ)上，再結(jié)合上修理工可多重休假將更符合實(shí)際情況。目前，諸多學(xué)者對(duì)連續(xù)型時(shí)間的可修系統(tǒng)研究得更加透徹，對(duì)于離散型時(shí)間的可修系統(tǒng)研究得較少。針對(duì)離散型時(shí)間的不可修系統(tǒng)，C. Bracquemond[2]對(duì)離散時(shí)間的不可維修系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行了綜述。針對(duì)離散時(shí)間的可維修系統(tǒng)，楊懿、王立超等人[3-5]利用Markov更新過(guò)程和隨機(jī)過(guò)程，建立了系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，分別研究了離散時(shí)間下單部件可修系統(tǒng)、修理延遲的單部件可修系統(tǒng)和串聯(lián)可修系統(tǒng)，他們的研究拓寬了離散時(shí)間下的可靠性理論。余 妙[6]和姜紅燕[7]利用補(bǔ)充變量法和Z變換，分別研究了離散時(shí)間下單重休假的可修系統(tǒng)、單重休假的溫貯備系統(tǒng)，為離散時(shí)間下的可修系統(tǒng)提供了一種較好的思路。

鑒于前人的文獻(xiàn)，本文對(duì)離散時(shí)間下可多重休假的兩不同部件冷貯備系統(tǒng)進(jìn)行研究，提出了三維離散向量，分析系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系，建立模型，該研究更加豐富和完善了離散時(shí)間下可修系統(tǒng)的可靠性理論。

1 模型假設(shè)

（1）系統(tǒng)由兩個(gè)不同部件、一個(gè)修理工和一個(gè)完全可靠的轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)組成。當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)中至少有一個(gè)部件工作時(shí)，系統(tǒng)可正常工作，否則，系統(tǒng)失效。

（2）兩個(gè)部件的壽命？孜分別均服從參數(shù)為qi的幾何分布，即

（3）兩個(gè)部件在冷貯備期間，既不會(huì)發(fā)生貯備故障、也不會(huì)惡化。

（4）兩個(gè)部件因工作發(fā)生故障的維修時(shí)間？濁均服從一般離散分布，即

記其母函數(shù) ，平均維修時(shí)間 。

令 ，定義維修工單位時(shí)間內(nèi)的修復(fù)率？子k為

其中可知 。

（5）在初始時(shí)刻，兩個(gè)部件均是正常工作的，其中一個(gè)部件工作，另一個(gè)部件處于冷貯備狀態(tài)，修理工開(kāi)始休假，當(dāng)一次休假結(jié)束后，若系統(tǒng)中的兩個(gè)部件，一個(gè)正常工作，一個(gè)仍處于冷貯備狀態(tài)，那么修理工將繼續(xù)進(jìn)行下一次休假；當(dāng)系統(tǒng)中至少有一個(gè)部件出現(xiàn)故障，修理工結(jié)束休假后，立即工作，對(duì)故障部件進(jìn)行維修，其中遵循先壞先修的原則，且故障部件均可修復(fù)如新。設(shè)修理工的休假時(shí)間？酌服從一般離散分布，即

記其母函數(shù) ，平均休假時(shí)間 。

令 ，定義修理工單位時(shí)間內(nèi)的休假結(jié)束率vk為

其中可知 。

（6）當(dāng)一個(gè)工作部件發(fā)生故障后，通過(guò)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)，冷貯備部件立即工作。當(dāng)冷貯備部件也發(fā)生工作故障時(shí)，若前一個(gè)故障部件已修復(fù)如初，通過(guò)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)，立即替換故障部件正常工作；若前一個(gè)故障部件還沒(méi)修復(fù)或修復(fù)未完成，則冷貯備部件等待修理，系統(tǒng)處于故障狀態(tài)。

（7）兩部件的壽命、修理工的維修時(shí)間和休假時(shí)間均相互獨(dú)立。

2 系統(tǒng)狀態(tài)分析

根據(jù)模型假設(shè)，可知系統(tǒng)共有9個(gè)不同的狀態(tài)：

狀態(tài)0：k時(shí)刻，部件1在工作，部件2冷貯備，修理工休假，系統(tǒng)工作。

狀態(tài)1：k時(shí)刻，部件2在工作，部件1冷貯備，修理工休假，系統(tǒng)工作。

狀態(tài)2：k時(shí)刻，部件1在工作，部件2發(fā)生故障，修理工休假，系統(tǒng)工作。

狀態(tài)3：k時(shí)刻，部件2在工作，部件1發(fā)生故障，修理工休假，系統(tǒng)工作。

狀態(tài)4：k時(shí)刻，部件1和2均發(fā)生故障，修理工休假，系統(tǒng)故障。

狀態(tài)5：k時(shí)刻，部件1在工作，部件2在修理，系統(tǒng)工作。

狀態(tài)6：k時(shí)刻，部件2在工作，部件1在修理，系統(tǒng)工作。

狀態(tài)7：k時(shí)刻，部件1在修理，部件2在等待修理，系統(tǒng)故障。

狀態(tài)8：k時(shí)刻，部件2在修理，部件1在等待修理，系統(tǒng)故障。

在上面的9個(gè)狀態(tài)中，系統(tǒng)的狀態(tài)集E={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，其中系統(tǒng)工作的狀態(tài)集W={0，1，2，3，5，6}，系統(tǒng)故障的狀態(tài)集F={4，7，8}。用N（k）表示系統(tǒng)在時(shí)刻k（k=0，1，2，…） 所處的狀態(tài)，很明顯，N（k）是隨機(jī)過(guò)程，是非Markov過(guò)程。我們引入離散向量，即補(bǔ)充變量法：當(dāng)N（k）=0，1，2，3，4時(shí)，X（k）表示在k時(shí)刻修理工在一次休假中已用掉的休假時(shí)間，X（k）=0，1，2，…；當(dāng)N（k）=5，6，7，8時(shí)，Y（k）表示在k時(shí)刻部件已修理的時(shí)間，Y（k）=0，1，2，…

可知{N（k），X（k），Y（k）}構(gòu)成一個(gè)新的馬爾科夫過(guò)程，則系統(tǒng)在時(shí)刻k的狀態(tài)概率：

3 相關(guān)狀態(tài)方程及其相關(guān)解

根據(jù)對(duì)上述模型一步轉(zhuǎn)移概率的分析，可得各狀態(tài)概率間的差分方程

（1）

（2）

邊界條件：

（11）

初始條件：

P0（0，0）=P1（0，0）=1，其他值均為零。

對(duì)（1）～（16）左右兩端同時(shí)進(jìn)行Z變換，可得endprint

（20）

（25）

（26）

（28）

（17）式經(jīng)迭代可得

（18）式經(jīng)迭代可得

（22）式經(jīng)迭代可得

（23）式經(jīng)迭代可得

由（19）、（28）、（34）式可得

（37）

由（20）、（28）、（33）式可得

由（21）、（28）、（34）、（37）、（38）式可得

由（26）、（35）式可得

由（40）、（35）式可得

由（27）、（36）式可得

由（36）、（42）式可得

由（31）、（33）、（36）、（38）、（39）式可得

由（25）、（35）、（41）、（42）式可得

由（32）、（34）、（35）、（37）、（39）式可得

由（25）、（35）、（40）、（44）式可得

由（29）～（38）、（40）～（47）可得

其中

其中

4 系統(tǒng)的可靠性分析

4.1 系統(tǒng)的可用度

記系統(tǒng)在k（k=0，1，2，…）時(shí)刻的可用度為A（k），則有

對(duì)A（k）左右兩端進(jìn)行Z變換，

則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度

4.2 系統(tǒng)等待修理的概率

記系統(tǒng)等待修理的概率為P（k），有

對(duì)P（k）兩端進(jìn)行Z變換，

系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)，其等待修理的概率為

4.3 修理工休假的概率

記修理工的休假概率為V（k），則有

對(duì)V（k）左右兩端進(jìn)行Z變換，可有

系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)下，其休假概率為

4.4 系統(tǒng)的瞬時(shí)故障頻度

記系統(tǒng)的瞬時(shí)故障頻度為Mf（k），則有

對(duì)Mf（k）左右兩端進(jìn)行Z變換，

故系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)下，其故障頻度

4.5 系統(tǒng)可靠度

令上述模型中的故障狀態(tài)4、7和8為隨機(jī)過(guò)程{N（k），X（k），Y（k）}的吸收態(tài)，定義一個(gè)新的離散時(shí)間過(guò)程{（k），（k），（k）}，即可求出系統(tǒng)的可靠度。當(dāng)（k）=0，1，2，3時(shí)，（k）表示在k時(shí)刻修理工在一次休假中已用掉的休假時(shí)間，（k）=0，1，2，…；當(dāng)（k）=5，6時(shí)，（k）表示在k時(shí)刻部件已修理的時(shí)間，（k）=0，1，2，…；當(dāng)（k）=4，7，8時(shí)，由于在該狀態(tài)內(nèi)，系統(tǒng)終止工作，故不予考慮。定義新的隨機(jī)過(guò)程{（k），（k），（k）}是具有吸收狀態(tài)的三維離散向量的Markov過(guò)程。

利用與第3節(jié)同樣的處理方法，可得

系統(tǒng)的可靠度為

對(duì)R（k）兩端進(jìn)行Z變換，可得

系統(tǒng)的首次故障平均時(shí)間

5 結(jié)束語(yǔ)

本文的研究考慮了離散時(shí)間下的多重休假和開(kāi)關(guān)完全可靠的冷貯備系統(tǒng)，引入了三維離散向量，建立新的馬爾科夫過(guò)程，并利用Z變換進(jìn)而求得系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)，其中當(dāng)修理工的休假？酌服從P{？酌=k}=hk=0，k=1，2，…時(shí)，該模型就是離散時(shí)間下的兩不同型部件的冷貯備可修系統(tǒng)。本文的研究是對(duì)已有文獻(xiàn)研究成果下對(duì)離散時(shí)間下的修理工可休假的自然延伸，具有很好的理論價(jià)值和實(shí)際意義，為實(shí)際工作和生產(chǎn)提供了很強(qiáng)的說(shuō)服力。

參考文獻(xiàn)：

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[7]姜紅燕.離散時(shí)間單重休假溫儲(chǔ)備可修系統(tǒng)的可靠性分析[J].淮陰工學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，20（5）：1-6.endprint