分數階達芬振子的超諧與亞諧聯合共振1)

姜 源 申永軍 溫少芳 楊紹普

(石家莊鐵道大學機械工程學院，石家莊050043)

分數階達芬振子的超諧與亞諧聯合共振1)

姜 源 申永軍2)溫少芳 楊紹普

(石家莊鐵道大學機械工程學院，石家莊050043)

研究了含分數階微分項的達芬(Duffing)振子的超諧與亞諧聯合共振．采用平均法得到了系統的一階近似解析解，提出了超、亞諧聯合共振時等效線性阻尼和等效線性剛度的概念．建立了聯合共振定常解幅頻曲線的解析表達式，并對聯合共振幅頻響應的近似解析解和數值解進行了比較，二者吻合良好，證明了求解過程及近似解析解的正確性．然后，將等效線性阻尼和等效線性剛度的概念與傳統整數階系統進行比較，證明分數階微分項不僅起著阻尼的作用同時還起著剛度的作用．最后，通過數值仿真研究了不同的分數階微分項系數和階次對聯合共振幅頻曲線多值性和跳躍現象的影響，并與單一頻率下超諧共振或亞諧共振進行了對比．研究發現，分數階微分項系數與階次不僅影響著系統的響應幅值、共振頻率，同時還對系統的周期解個數、發生區域面積、發生先后等有重要影響．并且，在不同的基本參數下該系統分別表現出單獨超諧共振、單獨亞諧共振以及超諧共振和亞諧共振同時存在的現象．這些結果對系統動力學特性的研究具有重要意義．

分數階微分，達芬振子，聯合共振，平均法

引言

20世紀70年代，研究人員發現分形幾何、冪律現象和記憶過程等相關現象能夠與分數階微積分建立起密切的聯系，而且分數階微積分還可以是一種很好的描述與刻畫手段，由此將分數階微積分的研究推向高潮[14]．迄今為止，國內外的學者對于非線性動力學的研究仍然沒有停息[58]，有關分數階微積分的應用研究得到迅速發展[912]，越來越多的學者投入到了這個新興的領域中．

在工程問題中，分數階微積分的應用領域主要分為兩類,一類是在控制系統中引入分數階微積分項來改善控制效果．如無人機滑模姿態的控制[13]、永磁同步電動機的雙閉環控制[14]、速度反饋的PID控制[15]、集成神經網絡的控制[16]等領域．另一類是用來模擬含記憶特性的工程材料的真實本構關系．如隔振器件的建模(油氣懸架的建模[17]、空氣懸架的建模[18]、磁流變阻尼器的建模[19])、單相逆變器的建模[20]、非定常蠕變本構模型的研究[21]、黏彈性材料變形研究[22]等領域．另外達芬方程作為一類典型的動力學系統，能夠描述物理與工程領域中豐富的非線性動力學行為而稱為經典模型．在實際工程中，例如船的橫搖運動、結構振動、轉子的故障檢測等諸多非線性振動的數學模型都可以轉化為達芬方程．近幾年，由于分數階微分模型能夠在較大頻率范圍內描述材料的力學性能而成為倍受重視的本構模型，因此本文將分數階微分項引入到達芬振子中可以更加真實地反應系統特性．例如：陳林聰等[23]研究含分數階導數的達芬振子在諧和與寬帶噪聲聯合激勵下平穩響應的P分岔現象時，發現分數階微分項的變化可以導致系統發生隨機P分岔．申永軍等[2428]通過平均法對含分數階微分的線性單自由度振子進行了動力學研究，提出了等效線性阻尼和等效線性剛度的概念，并對分數階達芬振子的主共振和超諧共振進行了研究，得到了不同的分數階微分項對系統響應特性的影響規律．溫少芳等[29]在分數階時滯反饋對達芬振子動力學特性的影響研究中發現，在分數階和時滯耦合作用下，反饋系數和分數階階次等參數對系統動力學特性有著重要的影響，同時發現分數階時滯反饋能同時起到位移時滯反饋和速度時滯反饋的作用．韋鵬等[30]對分數階達芬振子的亞諧共振同樣做出了相關的研究．除此之外，分數階微積分在理論上的研究也有極大的應用價值，如Atanackovic等[31]研究了分數階微積分歐拉--拉格朗日方程；王學彬等[32]以R-L型和Caputo型兩種常見的分數階導數定義為例，研究了如何利用拉普拉斯變換求解分數階微分方程．陳明杰[33]提出了一種嶄新的信號分析工具即分數階傅里葉變換，并用經典的傅里葉變換的觀點對分數階傅里葉變換進行了充分的解釋等等．

由于能夠給出系統響應特性與參數之間的直接對應關系，所以解析研究在分數階微積分的研究中占據著重要的地位．目前，在大量關于分數階微積分近似解析解的研究文獻中，大多數是將分數階微分項當做系統的特殊阻尼來處理，這是不準確的．前述關于分數階達芬振子的研究大多以單一諧波激勵為主，較少涉及到多頻激勵．而在實際工程中，多頻激勵的發生并不少見．而且，多頻激勵下非線性系統具有更加豐富的現象，尤其是聯合共振較為突出．Nayfeh的專著[34]以整數階達芬振子的聯合共振為例，簡單介紹了其中的復雜動力學現象．本文以多頻激勵下含分數階微分項的達芬振子為對象，研究了分數階微分項對達芬振子3次超諧與1/3次亞諧聯合共振時動力學特性的影響．采用平均法求解該系統的一階近似解析解并通過數值解驗證了結果的正確性．通過等效線性阻尼與等效線性剛度的概念，研究了分數階微分項在不同的系數和階次下對系統動力學行為尤其是多值性和跳躍現象的影響．

1 分數階達芬振子的3次超諧與1/3次亞諧聯合共振的一階近似解析解

研究如下含有分數階微分項的達芬振子模型

式中，m,k,c,α1分別為系統的質量、線性剛度、線性阻尼、非線性剛度系數；F1,ω1,β1,F2,ω2,β2分別為兩項簡諧激振力的幅值、頻率及相位；K1(K1＞0)和p(0≤p≤1)分別是分數階微分項的系數和階次．分數階微分的定義有多種，這里采用Caputo形式

其中Γ(z)為伽馬函數，具有迭代性質Γ(z+1)=zΓ(z).對系統進行如下變量代換

式(1)可變為

式(3)從形式上滿足了利用平均法求解系統近似解析解的要求．

研究3次超諧與1/3次亞諧聯合共振，也就是系統的兩個外部激勵頻率分別接近固有頻率的1/3倍和3倍時的情況，即 ω1≈ ω0/3,ω2≈3ω0．

為了定量地表示這兩個近似等式的接近程度，引入調諧參數

因此

將式(4a)代入式(3)可得

式(5)可改寫為

其中

假設系統的解具有如下形式

將式(8)中的解代入原系統，根據平均法可得

其中

采用平均法對式(9)在區間[0,T]上進行積分平均，可以得到有關振幅a和相位θ的平均方程

其中積分上限T可以取2π(若Pi(a,θ)(i=1,2)是周期函數)，或者T= ∞(若 Pi(a,θ)(i=1,2)是非周期函數)．

因此，式(11)中第1部分的積分為

計算式(11)中第2部分的積分

引入兩個基本公式

利用坐標變換s=t?u,ds=?du得到

對上式進行分部積分可以得到

利用極限的性質，˙a211式中后半部為0．再將式(14b)代入上式，得到

對式(20)進行分部積分可以得到

根據極限的性質，當T→∞時˙a212=0．

下面計算˙a2中的第2項，根據上述分析過程可得

對上式進行坐標變換及分部積分可以得到

同理可知

因此

同理，采用類似的推導過程可以得到

聯立式(25)和式(12)，可以得到

將原參數代入上式，則有

式中

上式C(p)和K(p)分別定義為3次超諧與1/3次亞諧聯合共振時的等效線性阻尼及等效線性剛度．

分析式(28)可知，分數階項的系數與階次均出現在等效線性阻尼與等效線性剛度中．這與文獻[20]所提出的分數階微分項不僅起著阻尼的作用，同時還起著線性剛度的作用這一結論相一致．它的系數K1和階次p對于上式的等效線性阻尼和等效線性剛度有著重要的影響．當K1→0時，系統將會由分數階趨近于傳統的整數階形式，并且與等效線性阻尼和等效線性剛度呈線性關系，影響著系統的共振頻率和振幅的大小．當K1增大時，等效線性阻尼與等效線性剛度都會隨之增大，因此系統的響應振幅將會減小，共振頻率也會隨之改變；反之亦然．同時，分數階微分項的階次p也對該系統有重要的影響．當p→1時，分數階微分項幾乎等同于線性阻尼達到極大值c+K1，系統的響應幅值將降到最低；當p→0時，分數階微分項幾乎等同于線性剛度達到極大值k+K1，系統的共振頻率增大，響應振幅相應地減?。浑y看出等效線性阻尼與等效線性剛度與激勵的頻率也存在著一定的關系．

2 聯合共振定常解

非線性系統的穩態振動在工程實際情況中具有較大的應用價值，因此這里研究3次超諧與1/3次亞諧聯合共振情況下的定常解(即穩態解)．令式(27)中的和則有

為了簡化計算過程，且不影響對結果的分析，現假設β1= β2=0．

令

式(29)可簡化成

現將式(30a)與式(30b)平方相加再利用2倍角公式可得

利用三倍角公式，式(30a)可寫成

將式(31)代入上式平方后可消去θ，經整理得到定常解的幅頻曲線方程

及相頻曲線方程

至此，得到了關于ˉa的多項式方程．考慮到多項式系數的表達式非常復雜(見附錄)，所有推導過程可用Mathematica軟件方便完成．

3 數值仿真

現對式(1)所表示的系統進行數值求解，選取基本系統參數m=5,k=10,c=0.2,α1=3,F1=10,F2=1,K1=0.2,p=0.4,根據式(8)和式(35)得到該系統的幅頻曲線，如圖1中實線所示，圖中橫軸為激勵頻率ω，縱軸為響應振幅a．為了驗證解析結果的正確性，參照文獻[2]中介紹的分數階冪級數法，對該分數階達芬系統進行數值分析．首先，引入數值解法的近似公式

其中tl=lh為時間采樣點，h為時間步長，為分數階二項式系數，具有如下迭代關系

采用 Matlab軟件進行數值計算，選取步長 h =0.0005，計算時間為400s，將前320s響應值略去，取后80s的響應最大幅值為穩定幅值，所得數值計算結果如圖1中圓圈所示．可見，兩者符合較好，說明本文得到的結果具有較高的精度．

圖1 系統近似解與數值解幅頻曲線的比較Fig.1 The comparison of the amplitude-frequency curve by the approximately analytical solution with that by numerical integration

選取一組基本系統參數m=5,k=45,c=0.2,α1=45,F1=40,F2=2,K1=1,p=0.5,根據式(8)和式(35)得到該系統的幅頻曲線，如圖2所示．圖2中整數階曲線為K1=0時的情況．顯然，在該系統發生3次超諧與1/3次亞諧聯合共振的情況下，當第一激勵F1大于第二激勵F2數倍時，該系統出現了與分數階達芬振子超諧共振相似的情況，表現出3次超諧共振[35]的特性．即分數階微分項引起了該系統等效線性阻尼和等效線性剛度的增大，使該分數階達芬振子幅頻曲線中的振幅減小，幅頻曲線的彎曲程度增加(即改變了系統的頻率特性)．

圖2 傳統整數階與分數階振子的幅頻曲線比較Fig.2 Comparison of amplitude-frequency curves between the traditional integer-order and the fractional-order oscillators

當分數階微分項系數K1選取不同值時，得到的幅頻曲線如圖3所示．隨著K1的逐漸增大，該系統的幅值呈現出減小趨勢．同時，該系統的等效線性剛度在逐漸增大，導致系統的共振頻率增大．因此該系統的分數階微分項系數K1對系統響應的影響體現在兩個方面，即共振振幅和共振頻率．

圖3 不同分數階系數下幅頻曲線的比較Fig.3 Comparison of amplitude-frequency curves in di ff erent fractional coefficients

分析不同分數階階次p的影響，選取K1=1,p分別取0.1,0.25,0.5,0.75,0.9時的幅頻曲線如圖4所示．如圖可知，隨著p的逐漸增大，導致等效線性阻尼也隨之增大，系統的共振幅值隨之減弱，固有頻率也逐漸減??；當p達到一定程度時系統的多解和跳躍現象將會消失．因此，分數階微分項的階次p對系統的共振振幅和共振頻率同樣有重要影響．

圖4 不同分數階階次下幅頻曲線的比較Fig.4 Comparison of amplitude-frequency curves in di ff erent fractional orders

選取另一組基本參數m=5,k=45,c=0.2,α1=15,F1=2,F2=200,K1=1,p=0.5,根據式(8)和式(35)便可以得到該系統的幅頻曲線如圖5所示，圖5中整數階曲線為K1=0時的情況．由圖5可見，當第一激勵F1小于第二激勵F2數倍時，該系統出現了與分數階達芬振子亞諧共振相似的情況，表現出1/3次亞諧共振[35]的特性．即分數階微分項引起了該系統等效線性阻尼和等效線性剛度的增大，使系統幅頻曲線中的振幅減小及共振頻率增大，幅頻曲線向右偏移．

圖5 傳統整數階與分數階振子的幅頻曲線比較Fig.5 Comparison of amplitude-frequency curves of the traditional integer-order and the fractional-order oscillators

選取 p=0.5,K1分別取0.5,1,1.5時的幅頻曲線如圖6(a)所示；K1=1,并且p分別取0,0.5,1時的幅頻曲線如圖6(b)所示．分析圖6(a)可知，隨著分數階微分項系數K1逐漸增大，導致系統等效線性阻尼及等效線性剛度也隨之增大，因此系統的響應幅值逐漸減小、系統的共振頻率逐漸增大，同時系統的共振區域逐漸減小且幅頻曲線向右偏移．分析圖6(b)可知，隨著分數階微分項階次p逐漸增大，系統等效線性阻尼逐漸增大、等效線性剛度逐漸減小，因此系統的響應幅值及共振頻率逐漸減小，同時系統的共振區域顯著減小，并且在不同參數下幅頻曲線出現了相交現象．通過上述分析可知，分數階微分項系數與階次對系統的動力學特性有著重要影響．

圖6 不同分數階參數下幅頻曲線的比較Fig.6 Comparison of amplitude-frequency curves under di ff erent fractional-order parameters

改變系統的基本參數為m=2,k=15,c=0.2,α1=80,F1=3000,F2=15000,K1=0,該系統為傳統整數階達芬振子的3次超諧與1/3次亞諧聯合共振，圖7(a)和圖7(b)分別給出了聯合共振下的幅頻曲線．由圖可知，這種聯合共振最多可同時出現7個解，這與單個解存在時的情況有明顯的不同．分析圖中的多解情況可得：(1)1個非平凡的穩定解；(2)3個非平凡解，其中一個是不穩定的；(3)5個非平凡解，其中兩個是不穩定的；(4)7個非平凡解(P1～P7)，其中3個是不穩定的．將這種聯合共振與單獨存在的3次超諧共振和1/3次亞諧共振進行比較后可以看出，圖7中B和C兩枝類似于亞諧共振，而A和D兩枝則類似于超諧共振[36]．

圖7 多值下的幅頻曲線Fig.7 The amplitude-frequency curves of multi-value

圖8為3次超諧與1/3次亞諧聯合共振在 p=0.5,K1分別取0,10,20情況下的幅頻曲線．不難看出，這種出現多解現象的幅頻曲線在改變分數階微分項系數K1時出現了和上述相似的結果：隨著K1的增大，導致系統的等效線性阻尼及等效線性剛度也隨之增大，因此幅頻曲線中的幅值減小，系統的共振頻率增大．不僅如此，該系統的多值性也發生了一系列變化：隨著K1的逐漸增大，導致聯合共振出現3個解的區域逐漸減小，5個解的發生區域將提前出現并且逐漸擴大，同時7個解的發生區域將向后推移．

圖8 不同分數階系數K1下的幅頻曲線比較Fig.8 Comparison of amplitude-frequency curves in di ff erent fractional-order parameters

圖9為3次超諧與1/3次亞諧聯合共振在K1=10，p分別取0.25,0.5,1情況下的幅頻曲線．如圖分析可得，當分數階微分項階次p逐漸增大到1時，系統的等效線性阻尼也隨之增大，不僅降低了系統的幅值，同時對系統的多值性也有很大的影響．隨著p的逐漸增大，此聯合共振出現3個解的區域不斷減小，出現5個解的區域擴大并且7個解的發生區域后移．當p增大到一定程度時系統的多解性消失．

圖9 不同分數階階次p下的幅頻曲線比較Fig.9 Comparison of amplitude-frequency curves in di ff erent fractional-order parameters

4 結論

本文利用平均法對分數階達芬振子的3次超諧與1/3次亞諧聯合共振的響應進行了研究，通過等效線性阻尼及等效線性剛度的概念對該系統在不同分數階微分項系數K1及階次p的情況下分別做出了分析，并與傳統整數階達芬振子進行了比較．結果發現，分數階微分項階次p和系數K1通過等效線性阻尼及等效線性剛度對系統起著剛度和阻尼的作用，不僅僅影響著系統的響應幅值、共振頻率，同時還對系統的多值性個數、發生區域面積、發生先后等有重要影響，對系統動力學特性的研究具有重要意義．

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SUPER-HARMONIC AND SUB-HARMONIC SIMULTANEOUS RESONANCES OF FRACTIONAL-ORDER DUFFING OSCILLATOR1)

Jiang Yuan Shen Yongjun2)Wen Shaofang Yang Shaopu
(School of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043，China)

The super-harmonic and sub-harmonic simultaneous resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative is studied in this paper.The fi rst-order approximate analytical solution is obtained by averaging method.The de fi nitions of equivalent linear damping coefficient and equivalent linear sti ff ness efficient for super-harmonic and subharmonic simultaneous resonance are presented.The analytical amplitude-frequency equation for steady-state solution of simultaneous resonance is established.A comparison of the analytical solution with the numerical results is made,and their satisfactory agreement veri fi es the correctness and higher-order precision of the approximately analytical results.Then,a further comparison between the fractional-order and traditional integer-order Duffing oscillator is ful fi lled through the de fi nitions of equivalent linear damping coefficient and equivalent linear sti ff ness coefficient,and the results prove that the fractional-order parameters has the e ff ects of both damping and sti ff ness,which is similar in other fractionalorder system.At last the numerical simulation is used to analyze the e ff ects of di ff erent fractional-order parameters on multi-value characteristics and jumping phenomena of the amplitude-frequency curve under simultaneous resonance,and the di ff erences between the super-harmonic and sub-harmonic resonances under single-frequency excitation are analyzed in detail.It could be found that the fractional-order parameters not only a ff ect the response amplitude and resonant frequency of the system,but also has signi fi cant in fl uence on the number,existing area and the occurrence order of periodic solutions.Moreover,single super-harmonic resonance,single sub-harmonic resonance and both existing of these two resonances could be respectively found under di ff erent basic parameters,which is important to study the dynamic characteristics of the similar system.

fractional-order derivative，Duffing oscillator，simultaneous resonance，averaging method

O313，O322

A

10.6052/0459-1879-17-105

2017–03–28收稿，2017–06–29 錄用,2017–06–29 網絡版發表.

1)國家自然科學基金(11372198,11602152)和河北省高等學校創新團隊領軍人才計劃(LJRC018)資助項目.

2)申永軍，教授，主要研究方向：機械系統的動力學與振動控制.E-mail：shenyongjun@126.com

姜源,申永軍,溫少芳,楊紹普.分數階達芬振子的超諧與亞諧聯合共振.力學學報,2017,49(5):1008-1019

Jiang Yuan,Shen Yongjun,Wen Shaofang,Yang Shaopu.Super-harmonic and sub-harmonic simultaneous resonances of fractionalorder Duffing oscillator.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):1008-1019

附錄：方程(35)關于ˉa的多項式系數