“代數(shù)式”的前世今生

陳曉靚

如果說人類是生物進(jìn)化的產(chǎn)物，那么代數(shù)式就是數(shù)學(xué)進(jìn)化的一個(gè)重要組成部分.用字母表示數(shù)是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中一次質(zhì)的飛躍，是人類一項(xiàng)創(chuàng)造性的成就，是認(rèn)識和思維上的巨大提升.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲說過：“符號的巧妙和利用符號的藝術(shù)，是人們絕妙的助手，因?yàn)樗泽@人的形式節(jié)省了思維.”俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基也說過：“利用了符號，數(shù)學(xué)上的每一個(gè)論斷，它所要描述的東西可以更快地被別人所了解.”既然用字母表示數(shù)如此重要，那么我們有必要來了解一下代數(shù)式的進(jìn)化史.其發(fā)展歷史大致可以分為三個(gè)時(shí)期.

一、代數(shù)式的萌芽期

人類最初完全沒有數(shù)量的概念，但人類發(fā)達(dá)的大腦對客觀世界的認(rèn)識已經(jīng)達(dá)到更加理性和抽象的地步.這樣，在漫長的生活實(shí)踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念.比如“結(jié)繩記事”是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事.我國古書《易經(jīng)》中也有“結(jié)繩而治”的記載.傳說古代波斯王打仗時(shí)也常用繩子打結(jié)來計(jì)算天數(shù).用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計(jì)數(shù)也都是古人常用的辦法.這些辦法用得多了，就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號.隨著不同先進(jìn)文明的不斷崛起，人們記錄數(shù)字的方法也得到了很大程度的發(fā)展.其中最具有代表性的就是羅馬數(shù)字和阿拉伯?dāng)?shù)字.實(shí)際上，羅馬數(shù)字的符號一共只有7個(gè)：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C（代表100）、D（代表500）、M（代表1000）.這7個(gè)符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數(shù)字都是不變的.它們按照一定規(guī)律組合起來，就能表示任何數(shù).而阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0起源于古印度，是國際上通用的十進(jìn)制數(shù)碼，也是同學(xué)們最為熟悉的數(shù)字.可是不管是古羅馬人還是古印度人，沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家意識到可以用一個(gè)字母來代表一類數(shù)，直到一個(gè)偉大數(shù)學(xué)家的出現(xiàn).

二、代數(shù)式的發(fā)展期

公元3世紀(jì)，被譽(yù)為古希臘代數(shù)學(xué)鼻祖的丟番圖在其著作《算術(shù)》中首次用字母“ζ”來表示未知數(shù).丟番圖是最早在數(shù)學(xué)中運(yùn)用一套符號的人，這使得代數(shù)式的思維和數(shù)學(xué)更加緊湊.在其之前，人們在表示自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等一些特殊數(shù)時(shí)，只能用冗長的文字語言或者解釋來表示這些數(shù).丟番圖創(chuàng)造性地用詞頭的字母作為縮寫符號來簡化代數(shù)式.例如，他用希臘文“冪”的頭兩個(gè)字母表示未知數(shù)的平方，用希臘文“立方”的頭兩個(gè)字母表示未知數(shù)的立方等.這里，我們把丟番圖的“ζ”改成x，一起來看看丟番圖著作《算術(shù)》中的一個(gè)經(jīng)典題目.“已知兩數(shù)的和與差求這兩個(gè)數(shù).”丟番圖的解法是：“假設(shè)兩數(shù)和為100，差為40，較小數(shù)為x，則較大數(shù)為40+x，則2x+40=100，故得x=30，而較大數(shù)為70.”很明顯，丟番圖當(dāng)時(shí)已經(jīng)運(yùn)用字母解決了一個(gè)一元一次方程的問題.由此可見，丟番圖讓代數(shù)學(xué)前進(jìn)了一大步.但是由于種種原因，丟番圖不知道可以用字母來表示任意一個(gè)數(shù).可見，代數(shù)式的進(jìn)化歷史并非如我們想象得那么一帆風(fēng)順，呈直線式發(fā)展.在古代，由于信息渠道的閉塞，數(shù)學(xué)思想的傳播是極受限制的.無論如何，在用字母表示數(shù)這件事上，丟番圖之后一千多年間，人們沒有任何進(jìn)步，直到另一個(gè)偉大數(shù)學(xué)家的出現(xiàn).

三、代數(shù)式的成熟期

“獨(dú)上高樓，望盡天涯路.”16世紀(jì)法國偉大的數(shù)學(xué)家，代數(shù)式真正的創(chuàng)造人韋達(dá)終于實(shí)現(xiàn)了歷史性的突破，他在《分析引論》中使用字母來表示未知數(shù)以及已知數(shù).韋達(dá)在書中寫道：“本書將輔以某種技巧，通過符號來區(qū)分未知量和已知量.”韋達(dá)將這種新的代數(shù)稱為“類的算術(shù)”，以區(qū)別于舊的“數(shù)的算術(shù)”.一旦用字母來表示任何數(shù)，在韋達(dá)的筆下便出現(xiàn)了我們所熟悉的代數(shù)恒等式：完全平方公式與平方差公式，那就是A2±2AB+B2=（A±B）2，（A+B）（A-B）=A2-B2.在用字母表示數(shù)后，代數(shù)學(xué)告別了舊時(shí)代，插上了新翅膀，在人類文明的天空自由地飛翔起來.韋達(dá)之后另一個(gè)偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡爾改用拉丁字母表中最后的幾個(gè)字母x、y、z等表示未知數(shù)，用前面的字母a、b、c等表示已知數(shù)，還將一個(gè)數(shù)x的立方、平方寫成x3、x2，這些符號一直沿用到今天. 1693年，英國數(shù)學(xué)家沃利斯正式在代數(shù)中使用這些符號，就實(shí)現(xiàn)了代數(shù)式的完全符號化.另外，這里提到的笛卡爾正是站在韋達(dá)這位巨人的肩膀上，后來成為了著名的平面直角坐標(biāo)系的創(chuàng)立者.

“用字母表示數(shù)”，這在今天學(xué)過代數(shù)的同學(xué)們看來乃是一件稀松平常的事情.當(dāng)年，中國第一部符號代數(shù)教材《代數(shù)術(shù)》的翻譯者李善蘭和偉烈亞力所創(chuàng)“代數(shù)”一詞，正是“用字母表示數(shù)”之義.但是我們追溯代數(shù)式的歷史，竟是如此的漫長，不得不讓我們感受到數(shù)學(xué)的博大精深.正是那些偉大的數(shù)學(xué)家點(diǎn)亮了人類文明的光燭，使得我們學(xué)習(xí)和使用代數(shù)式是如此的簡單和方便，我們應(yīng)該感激并幸福著.

（作者單位：江蘇省無錫市梅里中學(xué)）