告訴你“代數式”背后的故事

曹燕

如果我問你，在這個世界上，你最熟悉的人是誰，你肯定會告訴我，當然是媽媽，其次是爸爸.可為什么媽媽是你最熟悉的那個人呢？可能你會說出很多的理由.但根本原因是，人們在認識人物和事物的時候，總是從最特殊的開始，而媽媽就是你最特殊的那一個，在認識特殊的基礎上再逐步認識一般的.在數學的學習過程中，同樣如此.從特殊到一般是認識事物的一般規律，在數學上稱之為歸納.“代數式”的內容作為數學中非常重要的知識，我們也要遵循“從特殊到一般，再從一般回到特殊”的規律來認識它.

一、從特殊到一般

我們在第二章學習的有理數，屬于“數”的范疇，接著學習的第三章代數式，屬于“式”的范疇，從數到式就是“從特殊到一般”規律的體現.

小學里我們已經學習了三角形的面積公式，三角形的面積等于底乘以高除以2.所以，你只要告訴我一個三角形的底是多少，高是多少，我就可以利用上面的公式計算出此三角形的面積.如一個三角形的底為5，高為4，那么這個三角形的面積為[12]×5×4=10.顯然，三角形有無數個，每次都要根據不同的底與高進行不同的計算表達，不是我們數學所希望出現的和追求的.因為數學講究的是最優、最簡、最美.此時，字母代替數，也就是我們所說的代數式“粉墨登場”了，不同三角形的底的長度是一個具體的數，我們可以用一個一般的字母a來表示，不同三角形的高的長度是一個具體的數，我們可以用一個一般的字母h來表示，于是三角形的面積就等于[12]ah，這個代數式就可以代表所有三角形的面積值，如果用S來表示三角形的面積，那么S=[12]ah就是所有三角形的面積計算公式.可見字母表示數，是用一個代數式代替無數個具體的數的計算式子，從特殊走向一般，簡潔明了，作用非常巨大.

在有理數的學習中，我們需要驗證小學里算術中學習的加法交換律、加法結合律、乘法交換律、乘法結合律、乘法對加法的分配律對有理數是否仍然適用，你還記得是如何驗證的嗎？如有理數范圍內加法的交換律，我們是通過5+3=？，3+5=？，5+（-3）=？，（-3）+5=？，（-5）+3=？，3+（-5）=？，（-5）+（-3）=？，（-3）+（-5）=？這幾組特殊的算式逐一進行計算，發現兩種不同的算法得到的結果5+3=3+5，5+（-3）=（-3）+5，（-5）+3=3+（-5），（-5）+（-3）=（-3）+（-5）是一樣的，通過從特殊到一般的歸納，我們就得到了加法交換律a+b=b+a.其他的運算律也用相同的方法獲得.

可見，從特殊到一般不僅是日常生活中認識事物的一般規律，同樣是數學學習中認識數學的一般規律，這種方法需要同學們引起高度的重視.在今后的數學學習過程中，當你研究了一些特殊的問題之后，不妨想想能不能把這個特殊情況推廣到一般的情形，這叫特殊問題一般化.從上面的研究我們可以看出，從特殊走向一般是一次質的飛越，許多規律和發明創造就孕育其中.

二、從一般回到特殊

如果說用字母表示數產生代數式是從特殊的數到一般的式的飛躍，那么，從代數式到代數式的值就是從一般再回到特殊.

例 已知，用下圖中所示的字母表示陰影部分的面積為

解析：圖形由正方形與圓組成，圓半徑為R，正方形邊長為a，已經完成了用一般字母表示具體數的飛躍，所以，第一個問題就可以直接用一般的代數式表示出陰影部分的面積為πR2-a2.很顯然，由于半徑用R來表示，是不確定的值，滿足圓半徑R的值有無數個；同樣，邊長用a來表示，也是不確定的值，滿足正方形邊長a的值也有無數個，代數式πR2-a2表示的就是一個大圓中挖去一個小正方形余下的陰影部分的面積.而下一個問題告訴我們，R=5，a=3，都是具體特殊的數，說明圓的大小與正方形的大小都是唯一確定的，此時要求陰影部分的面積，實際上就是求當R=5，a=3時，代數式πR2-a2的值，只要把R=5，a=3代入代數式，就可以求出其值為69.5.從上面的分析過程可以看出，當代數式中字母的具體數值確定的時候，求代數式的值本質上就是用具體的數代替代數式中的字母，進而變成數的計算問題，這樣，式的問題又回到了數的問題.可見，求代數式的值實際上就是從一般回到特殊.通過字母表示數產生代數式，從特殊到一般，當字母的值確定后，從代數式回到代數式的值，又從一般到特殊，正好完成了“特殊——一般——特殊”的循環.

在今后的學習數學過程中，當你遇到要研究一個一般的問題，你又無法解決時，不妨先從特殊的情況入手進行嘗試，從一般回到特殊，也叫一般問題特殊化考慮，相信你會有更大的收獲.

最后需要告訴同學們的是：“從特殊到一般，從一般到特殊”是認識生活問題、認識數學問題非常重要的一種方法.初中階段我們的數學學習才剛剛開始，在今后的學習中，同學們一定要牢記這種方法，并在認識數學、解決問題的過程中不斷去嘗試和掌握，相信這種方法會讓你終身受益！

（作者單位：江蘇省宜興市陶都中學）