從“算術”到“代數”的飛躍

浦敘德

在小學數學里，我們主要學習了數、圖形與數據統計三方面的知識，在數的研究上，重點是數的認識和計算，所以小學數學的這塊內容可以簡稱為“算術”.進入初中后的數學學習，知識板塊由原來的三個變成代數、幾何、統計與概率四個，在數的研究上，從小學的算術數上升到了初中的代數.初中代數需要經歷三次飛躍，其中，第一次是從小學的算術數引進負數變成有理數，完成數擴充的飛躍，第二次是從小學具體的數引進抽象的字母，用字母代替數，從特殊到一般，完成數到式的飛躍，所以初中數學的這塊內容可以簡稱為“代數”.由此可以看出，第3章《代數式》是小學算術與初中代數的分水嶺，也是同學們在初中代數學習中必須跨越的第二道坎.那么如何才能學好本章內容呢？

一、掌握概念本質是基礎

本章中涉及如下幾個重要概念：一是“代數式”；二是“單項式”“多項式”與“整式”；三是“代數式的值”；四是“同類項”.

用加、減、乘、除、乘方等運算符號把數與表示數的字母連結而成的式子叫做代數式，單獨的一個數或一個字母也是代數式.從這個定義中可以看出，在式子中只能出現“數”“字母”“運算符號”三者，一旦出現等于號或不等號，就不是代數式.

單項式與多項式統稱為整式.整式是屬于代數式中的比較簡單的一類，整式一定是代數式，但代數式不一定是整式，代數式與整式是一般與特殊的關系.

只有數與字母的積組成的代數式叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也是單項式；幾個單項式的和叫做多項式.單項式與多項式都屬于整式，它們與整式也是特殊與一般的關系，單項式是最簡單的代數式.對于單項式有系數與次數的概念；對于多項式有項、次數的概念，因為多項式的項是一個單項式，所以還有項的系數與項的次數的概念.

用具體數值代替代數式中的字母，計算所得的結果叫做代數式的值.用字母表示數就產生了代數式，讓“數”的問題走向“式”的問題，包括“式的認識”與“式的計算”；而代數式的值是讓字母回歸到具體的數.代數式與代數式的值正好完成了“從特殊到一般”，再“從一般回到特殊”的完整過程.

所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫做同類項.項是針對多項式而言的，實際上就是幾個單項式，所以，同類項只會出現在多項式中.需要注意的是兩個“相同”的條件必須同時滿足，才能確定為同類項.

二、掌握思想方法是關鍵

本章中隱含了許多非常重要的思想方法.用字母表示數本身就是“字母代數”思想，又體現了“從特殊到一般”的思想；由于引進了字母，字母具有一般性，所以在研究代數式的問題中，往往需要“分類討論”；在求解代數式的值時，有時需要用到“整體思想”，包含整體代入、整體求解等方法；在研究單項式、多項式、同類項時，往往需要用到“方程思想”.

例1 我們知道：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52…根據前面各式規律，可以猜測：1+3+5+7+9+…+（2n-1）= .（其中n為自然數）.

【分析】本題是一個規律探索題，在前面的學習中多次遇到，在本章再來研究，可以加深對“字母表示數”的理解.我們發現等號的左邊全是連續奇數相加的式子，右邊正好是奇數個數的平方，這樣用字母表示數，從特殊到一般，所求左邊式子是n個連續奇數的和，就可以得出右邊式子是n2的結論.

例2 已知a、b互為相反數，c、d互為倒數，[x]=1，求代數式a+b+x2-cdx的值.

【分析】因為a、b互為相反數，所以a+b=0，因為c、d互為倒數，所以cd=1，因為[x]=1，這里的x可正可負，需要進行分類討論，x=±1，所以代數式a+b+x2-cdx的值為0或者2.

例3 已知代數式3x2-4x+6的值為9，求x2-[43]x+6的值.

【分析】因為3x2-4x+6=9，從等式中無法直接求出x的值，所以可以從整體的角度思考，得到3x2-4x=3，從而x2-[43]x=1，把這個式子整體代入x2-[43]x+6，求出代數式x2-[43]x+6的值為7.

例4 關于x的多項式（m-2）x4-xn+x-1是二次三項式，求m，n的值.

【分析】這里是關于x的代數式，所以，應該把m、n作為待定字母.由多項式的項與次數的定義可知，m-2=0，并且n=2，此處根據定義得出m-2=0就體現了方程思想，所以m=2，n=2.

三、掌握解題策略是保障

本章中的題目類型主要有如下幾類.

第一類是列代數式.此類問題本質上是把通用的文字語言轉化成數學獨有的符號語言，在列代數式的過程中，要遵循先讀先寫的原則，并且嚴格按照代數式的書寫規定進行，此處不再舉例.

第二類是關于單項式、多項式、整式、代數式等相關概念的認識.

例5 如果關于x，y的單項式2mxay與

-5nx2a-3y的差是一個單項式.

（1）求（7a-22）2017的值；（2）若2mxay-5nx2a-3y=0，求（2m-5n）2018的值.

【分析】關于x，y的單項式2mxay與-5nx2a-3y的差是一個單項式，說明這兩個單項式是同類項，可以合并進行整式減法運算.根據同類項的定義，得2a-3=a，所以a=3.（1）由a=3，知（7a-22）2017=（-1）2017=-1；（2）因為2mxay-5nx2a-3y=0，說明這兩項是同類項，可以合并進行減法運算，所以2m-5n=0，故（2m-5n）2018=0.

第三類是利用直接代入法或間接代入法（整體）求代數式的值.此類問題只要嚴格按照解題步驟，特別需要注意把哪個式子作為一個整體，如上面的例3.

第四類是根據同類項的概念，利用去括號等步驟合并同類項，進行整式的加減運算.這類問題是程序性操作問題，課本上都有規范的解決問題的例子，只要嚴格按照先去括號、再根據合并同類項的法則合并同類項，直到整式中沒有同類項可以合并就可以了.

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區教師發展中心）endprint