有抗彎剛度索的自振頻率矩陣分析方法

王語嫣

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 四川成都 610031)

有抗彎剛度索的自振頻率矩陣分析方法

王語嫣

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 四川成都 610031)

對于復(fù)雜邊界條件下的有抗彎剛度的拉索結(jié)構(gòu)，其特征方程為超越方程，無法獲得解析的頻率表達式。文章針對此問題，提出了一種矩陣分析方法：首先建立動力學(xué)平衡方程，考慮邊界條件，推導(dǎo)了特征方程的解析表達式；在此基礎(chǔ)上，采用數(shù)值方法在給定的頻率區(qū)間上求解特征方程的根，從而獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率解。該方法可將索的抗彎剛度、一般邊界條件一并考慮，得到統(tǒng)一的求解方法。以實際索為例，對其動力特性進行了分析，并與有限元結(jié)果相比。結(jié)果表明，該方法的求解速度快、精度高，具有推廣應(yīng)用的價值。

拉索； 頻率法； 解析解

隨著社會的發(fā)展進步，結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出多樣化的趨勢，含索空間結(jié)構(gòu)得到越來越多的重視和應(yīng)用。在諸如懸索橋、斜拉橋、拱橋、大跨度屋面中都有體現(xiàn)。索作為張拉結(jié)構(gòu)中的一個關(guān)鍵構(gòu)件，施工過程中其力值的變化影響著結(jié)構(gòu)的傳力途徑和荷載分配形式，使用過程中，其變化會引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布和線形變化，結(jié)構(gòu)的安全和使用壽命將受到較大的影響[1]。所以，無論是在結(jié)構(gòu)的施工階段還是后期的維護階段，如何精確測得索力都顯得尤為重要。

現(xiàn)階段，國內(nèi)外測索力比較常用的方法有液壓千斤頂法、壓力傳感器法、振動法、磁通量法、振動波法、三點彎曲法等[2-3]。其中最廣泛使用的是振動法，也稱頻率法，是在環(huán)境激勵或者人工激勵下采集索的振動信號，在濾波、放大和頻譜分析后得到索的自振頻率，通過實測的索自振頻率計算得到索力的方法[4]。但就目前為止，對于有抗彎剛度的索，只有索兩端鉸接的邊界條件下有精確的索力計算公式，其余邊界條件下的已有的一些經(jīng)驗公式其計算誤差較大，對于實際工程并不適用。以往的索力計算方法中，很多都未考慮抗彎剛度以及邊界條件的影響。對于細長的拉索，抗彎剛度對索本身的受力性能影響不明顯，但對于短粗的索，抗彎剛度將產(chǎn)生一定程度的影響[5]。本文提出的一種矩陣分析方法就可以精確、快速地得到一般邊界條件下索的自振頻率。將這種方法計算得到的索的自振頻率值與有限元模型計算得到的自振頻率值作比較分析，可以驗證該方法的精確度。

1 基本方程

實際工程中，有抗彎剛度的短索的邊界條件并不是完全的鉸接或者固結(jié)，而是介于兩者之間的，為彈性嵌固邊界條件。抗彎剛度值和邊界條件對索的振動頻率有顯著的影響。

需要考慮抗彎剛度和邊界條件影響的勁性索的動力分析模型假定如下[6]：

(1)索的垂跨比小于1/8；

(2)索截面為等截面，其應(yīng)變較小，截面的大小不發(fā)生變化，且索材質(zhì)均勻；

(3)索在平衡位置作微幅橫向振動，忽略弦向振動和面外振動；

(4)索只能受拉，不能受壓；

(5)索兩端的拉力沿弦向分量相等(忽略重力沿弦向的分量)；

(6)自振分析時不考慮阻尼的影響；

(7)索的密度已知。

根據(jù)上述假設(shè)，建立索振動模型，可推導(dǎo)得索在垂直于弦方向的振動方程。不失一般性，可將忽略重力沿弦向分量影響的索采用圖1所示計算模型。假定彈性轉(zhuǎn)動約束剛度為KL和KR，其中KL為索的左端約束，KR為索的右端約束。則索的分析模型如圖1所示。

圖1 索的數(shù)學(xué)物理模型

平面內(nèi)豎向振動的平衡方程為[7]：

(1)

由圖1可知，邊界條件為[8]：

(2)

式中：m為索單位長度的質(zhì)量；El為索截面抗彎剛度。

2 振動方程的矩陣求解

在線性振動范圍內(nèi)，令

v(x,t)=φ(x)·T(t)

(3)

將式(3)代入式 (1)中，有：

EIφ″″(x)T(t)-Tφ^″(x)T(t)+mφ(x)T^″(t)=0

(4)

令

可得：

mT″(t)+λT(t)=0

(5)

EIφ″″(x)-λφ(x)-Tφ″(x)=0

(6)

令T(t)=eiωt，代入式(5)，則：

-mω2eiωt+λeiωt=0,λ=mω2

(7)

令φ(x)=Ceξx，代入式(6)，則：

EIξ4Ceξx-λCeξx-ξ2TCeξx=0

(8)

(9)

令：ξ1～ξ4是方程(8)的四個根,則

φ(x)=C1eξ1x+C2eξ2x+C3eξ3x+C4eξ4x

(10)

將上式代入邊界條件

改寫成矩陣方程后

(11)

由上述方程，若要使C1、C2、C3、C4參數(shù)具有非零解，則

顯然，只要求解出行列式H=0時的ξ值，即可求得λ，代入式(7)可精確的解出ω的值。由于ω=2πf，可得出頻率f的精確值。本文用Matlab計算軟件，求解上述行列式的解。

如需求解前階自振頻率，其具體流程如圖2所示。

3 算例分析

3.1 計算精度分析

取不同參數(shù)的索，將用有限元法求解出的頻率值與矩陣分析方法求解出的頻率值做比較，可說明該方法的正確性。有限元方法選用ANSYS計算軟件，Beam3單元，兩端施加水平拉力，以0.01 m為單元來劃分索。

選擇三根參數(shù)各異的索，索的各參數(shù)取值見表1。兩種方法得到的同一參數(shù)索的各階頻率見表2～表4。

如表2～表4所示，兩種方法得到的前五階頻率值其相對誤差在0.5 %以內(nèi)。當(dāng)索的邊界條件處于鉸接和固結(jié)之間時，頻率值是處于鉸接邊界條件下的頻率值和固結(jié)邊界條件下的頻率值之間的。所以認為矩陣分析方法精度高，在實際操作中是可行的方法。

表1 各索的參數(shù)值

圖2 矩陣分析方法求解頻率值流程

在保證精度的前提下，該方法的計算速度也是其一大優(yōu)勢。矩陣分析方法為該領(lǐng)域更深入的研究奠定了一定的基礎(chǔ)，具有較好的應(yīng)用價值[9-11]。

3.2 給定邊界條件下索力變化對自振頻率的影響

表2 1號索各階頻率值f Hz

表3 2號索各階頻率值f Hz

表4 3號索各階頻率值f Hz

圖3 索自振頻率和索自振頻率與基頻比值隨索力變化的曲線

3.3 邊界條件對索的自振頻率的影響

引入無量綱參數(shù)，當(dāng)KL=KR時：

圖4 索自振頻率和索自振頻率與基頻比值隨邊界條件變化的曲線

4 結(jié)論

對于有抗彎剛度的索，本文所提出的矩陣分析方法，其計算結(jié)果與有限元模型的計算分析結(jié)果相對誤差在0.5 %以內(nèi)的，可認為本文方法是準(zhǔn)確的、實用的。而本文方法的計算速度比有限元方法快，且更為方便實用，所以本文所述的矩陣分析方法其優(yōu)勢更為明顯。并且，索的控制參數(shù)的識別可在矩陣分析方法的基礎(chǔ)上進行深入研究，而各參數(shù)的識別也對實際工程的進一步發(fā)展具有重要意義。

利用矩陣分析方法進一步探討索力和邊界條件對索的自振頻率的影響，發(fā)現(xiàn)索自振頻率隨索力的增大和邊界約束強度的增大是逐漸增大的，其增長速度都是先快后慢。對比文章第3.2節(jié)和第3.3節(jié)，從各階自振頻率數(shù)值的變化范圍來看，邊界條件對索自振頻率的影響是不可忽略的，但索力變化的影響比邊界條件變化的影響要大得多。可認為索力對自振頻率的影響明顯要大于邊界條件的影響。同樣的邊界條件下，對于有抗彎剛度的索，索力越小時抗彎剛度對索的自振頻率值與基頻的比值的影響越大。索力不變時，邊界轉(zhuǎn)動約束的強度變化對索的自振頻率值與基頻的影響基本可以忽略。

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TU311.3

A

[定稿日期]2017-04-26

王語嫣(1992～)，女，碩士研究生，研究方向為大跨度橋梁。