基于撓度理論對懸索橋進行豎向偏心荷載作用下的求解

劉凱園

(西南交通大學土木工程學院, 四川成都 610031)

基于撓度理論對懸索橋進行豎向偏心荷載作用下的求解

劉凱園

(西南交通大學土木工程學院, 四川成都 610031)

文章基于撓度理論，在撓度理論所作的各種假定前提下，推導并獲得了在偏心荷載作用下，加勁梁的扭轉變形微分方程組，并介紹了求解方法和步驟。以一座懸索橋為例，分別采用撓度理論和有限元方法進行求解，并對兩種計算方法的結果進行了比較，發現采用撓度理論在計算扭轉變形方面保持了足夠的計算精度。

撓度理論； 扭轉變形； 有限元法

大跨度懸索橋在扭轉荷載或偏心荷載作用下，加勁梁將作為主要的受力構件。扭轉荷載是由于荷載的偏心產生的，即荷載作用線不經過橫截面的剪切中心[1]。以往計算偏載效應的方法是應用杠桿原理將豎向偏載分配到兩側吊桿，然后分別對兩側作豎向的平面結構分析，或者將豎向荷載乘一個考慮偏載效應的放大系數，只作一個平面結構分析，不進行扭轉分析，這種方法沒有對結構抵抗扭矩的截面特性作出要求。

1 撓度理論

撓度理論[1-2]的一般假定為：(1)恒載沿跨度均勻分布，無活載狀態下主纜線型為拋物線；(2)加勁梁沿跨度等直；(3)吊桿假設為均勻分布的膜；(4)所有材料符合胡克定律(圖1)。

圖1 撓度理論采用的模型

在上述的假定下，主纜在恒載狀態下的線形方程為：

如果在上述四個假定的基礎上，不考慮吊桿的伸縮和傾斜，也不考慮主纜的縱向水平位移，忽略加勁梁的剪切變形，在外荷載p的作用下，荷載集度由qc變為qp，加勁梁和主纜產生的豎向撓度為v，主纜的水平拉力由Hq變為Hq+Hp，假設加勁梁的EI常數，可以得到加勁梁的平衡方程為：

EIviv-(Hq+Hp)v″=p(x)+Hpy″

上式就是古典撓度理論的平衡微分方程，該方程是非線性的，有兩個未知數即Hp和v，還需要一個方程才能進行求解，撓度理論的纜索相容方程為：

2 扭轉理論

在豎向偏載作用下(圖2)，加勁梁的平衡方程為：

圖2 偏載作用下加勁梁斷面位移

式中：Hp是豎向撓度為v時的活載纜力；HL和HR分別為加勁梁扭轉引起的左右主纜的附加水平拉力，它們兩個相對于Hp和Hq小很多，可以認為有關系為HL=-HR。可以看出來v和θ呈現出了非線性耦合關系。

應用閉口截面薄壁桿件烏曼斯基約束扭轉理論，獲得關于加勁梁扭轉角的微分方程[3]如下：

上式中有四個未知量，分別為豎向撓度v、加勁梁扭轉角θ、活載引起的主纜水平分力Hp和加勁梁扭轉引起的主纜附加水平分力HL。另外左右主纜的相容條件方程為：

建立這樣的方程考慮了加勁梁的扭轉角θ與豎向撓度v的非線性耦合。上述四個方程四個未知量，該方程是一個高階的非線性耦合的方程組，目前還沒有一個好的方法來進行求解。下面將對方程進行一定的近似簡化，并進行求解。

如果扭轉角θ和撓曲v之間的耦合不是很顯著的話，將扭轉角θ和加勁梁的撓曲v認為是獨立的，bHLv″是小量而可以忽略不計，從而有：

EIviv-(Hq+Hp)v″=p(x)+Hpy″

EIviv-Nvv″=qv

采用等代梁法[4-7]對上面兩式進行求解，假設在梁上作用均布荷載，那么上面兩個方程的解為：

迭代的基本流程如下圖3所示。

圖3 迭代求解基本流程

3 實例介紹

以某大跨度懸索橋為實例，分別采用撓度理論和有限元法來研究懸索橋的靜力扭轉特性。該橋是主跨1 700 m的單跨懸索橋，主桁為華倫式桁架，主跨的矢跨比為1/9，主跨纜索的矢度為188.889 m，主橋總體布置如圖4所示。撓度理論和有限元法計算需要的參數見表1。

表1 結構參數

圖4 主橋總體布置(單位:m)

該橋荷載等級是城市A-級，上層橋面6車道，下層橋面4車道，計算時，荷載除了考慮自重之外，只是計入車道荷載。各個荷載工況如表2所示，在多線車道荷載加載的時候考慮了橫向和縱向的折減。

4 有限元法求解

相比于有限元方法，由于撓度理論采用了各種理想化的假設，因此計算的結果會有較大的誤差，尤其是在懸索橋的跨度較大的情況下，因此有必要運用有限元的方法進行計算求解，與撓度理論的計算結果做一個比較。這里采用有限元分析軟件Ansys建立了全橋分析模型(圖5)。

工況1與工況2、工況3與工況4、5、6、工況7與工況8豎向荷載合力大小是相等的，圖6顯示求出的加勁梁的撓度基本上一致的。工況1與工況7的扭轉大小相等，圖7顯示求出來的扭轉變形一致。這說明了扭轉變形與豎向變形之間是相互獨立的，進一步證明了采用撓度理論計算偏載荷載下結構的響應，將扭轉變形和豎向變形分開并獨立進行分析是合理的。

表 2 荷載工況

圖5 全橋有限元分析模型

圖6 加勁梁豎向撓度

圖7 加勁梁扭轉變形

5 撓度理論與有限元法計算結果對比

從圖8和表3可以看出，對于豎向撓度的計算，有限元法和撓度理論的計算結果有較大的差異，在跨中位置處，兩者的比例最大達到了2.53。而圖9和表4則顯示了兩種方法求得的扭轉角的計算結果比較接近，兩者的最大比例為1.32。造成這樣的結果可以這樣理解：由于在撓度理論中為簡化計算而做出了一些假定，忽略了主纜的縱向水平位移以及吊桿的傾斜和拉伸，有計算結果表明，主纜在靠近橋塔位置處會發生較大的指向跨中位置的水平縱向位移，并且由橋塔到跨中逐漸減小為零，加勁梁與纜索之間的位移協調導致了有限元求得的加勁梁豎向位移要大于撓度理論的計算結果，而在計算加勁梁的扭轉變形方面，橫截面的計算是根據加勁梁兩側桁架的豎向位移差除以橋面寬度獲得的，正好抵消了由于主纜縱向位移導致的加勁梁豎向位移的增大，因此兩種計算方法的結果比較接近。

圖8 加勁梁豎向撓度對比

圖9 加勁梁扭轉變形對比

6 結論

在采用撓度理論對懸索橋進行偏心荷載的結構分析時，為了求解的簡化，假設豎向撓曲和扭轉變形的非線性耦合作用比較弱，將它們看作是兩個相互獨立的函數進行求解，有限元的計算結果證明了這種假設的合理性，加勁梁的豎向位移只與豎向荷載的合力大小有關，扭轉變形只與外荷載的扭矩大小有關。

表 3 豎向撓度對比

表4 偏載工況下扭轉角對比

在對懸索橋全橋進行靜力分析方面，與有限元方法相比，撓度理論在計算公式推導時做出了各種假定，特別是忽略了纜索的水平位移和吊桿的傾斜、拉伸，導致了求得的加勁梁的豎向撓曲有較大的誤差，但是獲得的扭轉變形的計算結果的一致性較高。

[1] 陳仁福. 大跨懸索橋理論[M]. 成都: 西南交通大學出版社, 2015.

[2] 項海帆. 高等橋梁結構理論[M]. 2版. 北京： 人民交通出版社, 2013.

[3] 包世華. 薄壁桿件結構力學[M]. 北京: 中國建筑工業出版社, 2006.

[4] Wollmann G P. Preliminary analysis of suspension bridges[J]. Bridge Engineering. 2001, 6(4): 227-233.

[5] Arco D C D. Preliminary static analysis of suspension bridges[J]. Engineering Structures. 2001(23): 1096-1103.

[6] 李國豪. 橋梁與結構理論研究[M]. 上海: 上海科技文獻出版社, 1983.

[7] 李國豪. 橋梁結構穩定與振動[M]. 北京: 中國鐵道出版社, 1992.

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[定稿日期]2017-05-22