基于平面幾何性質的向量問題思考

彭雪純 湖南省長沙市麓山國際實驗學校

基于平面幾何性質的向量問題思考

彭雪純 湖南省長沙市麓山國際實驗學校

高中學習，幾何是十分重要的知識點，具有很強的包容性。而向量問題能夠對我們的邏輯思維進行培養，具有著代數和幾何的雙重性質，因此這種題型在高考中十分的常見。本文以實際例題為基礎，對平面幾何性質的向量問題進行了深入的思考。

向量 平面幾何 例題解析

1 距離的相關概念

向量模長是兩點之間距離的表現，對這種模長進行理解與考核，是向量幾何性質中最根本的呈現。

例題1：已知e1，e2是空間單位向量，而e1e2,若是空間向量b滿足了be1=2，be2=，并且對任意x，y∈R，我們在對這道題目進行仔細閱讀之后，可以得知能夠使用代數化方式進行解答，不過相對復雜，并且也不能夠呈現出向量幾何性質。其首先要理解的是b的重點是處在和e1，e2形成平面，Ian的垂線上運動，經由平面向量相關的定理能夠知道（xe1，ye2）體現的向量和e1，e2處在同個平面中。而表示的則是（圖1）中在B進行任意移動時，距離最小時當且只當Q的位置是線和面的垂足，以三角形方面的定理可以知道這個時候x0=1，y0=2。因此在這道題的關鍵是對距離的理解，對其進行運用和構圖就是解題的突破口。

圖1

2 平行四邊形的性質

我們學習了平面四邊形知識后，會了解到一個關鍵性質，即對角線平方和等于鄰邊平方和的2倍。在這個性質上就可以知道向量和之差是平面四邊形最基本的幾何表現。在這個性質的基礎上，對向量問題進行解答就十分的容易。

例題2：如圖2，CD兩個點在△PAB的邊AB之上，AC=BD若是∠CPD+90°，并且PA2+PB2=10，那么2AB+CD最大值是多少？

圖2

解析：取CD重點O，在這個基礎上連接PO，由于PA2+PB2=10，因此 2（PO2+AO2）=10，又因為 AO=AB，PO=CD，所以2（[）2+（）2]=10，因 此 AB2+CD2=20．記 x=AB，y=CD， 則 就 會 有x2+y2=20，Z=2x+y，使用線性定理能夠得到（2x+y）max=10這道理是使用兩個平行四邊形對角線的特征。使用上面的結論進行有效的轉化，進而減少了對題目的運算量。

3 極化恒等式

這個等式是對向量數量積和向量和之差之間關系進行體現的式子，在這個基礎上進行解題，就能夠避免了內部凌亂的預算關系出現，從而實現了便捷解答問題的目的。

解析：經過對題目的閱讀之后可以得知題目中出現了a-c和ac，所以在a+c的基礎上就能夠得知這三者之間一恒等關系：對于a+c而言，在△OAC之中，取AC中點M，那么所以在對ac的最大值進行求解時，只用求的最大值就行。在這個圓中，因為AC=3，因此我們就能夠知道OM經過圓心時獲取最大值，在這個基礎上就能夠得到所以代入就能夠得到ac最大值是（92-9）=18。解此題時，我們知道，計劃恒等式的存在就不需要在內部對數量關系進行轉換，在日常學習以及考試中，這種題型比較常見。在遇到這種問題時要對題目進行詳細的閱讀，以此判定這道題是否能夠使用計劃恒等式的方式對題目進行解答。合理運用這種方式能提升我們對知識的運用能力，和解題速度。

4 幾何圖形的構成

對向量幾何意義進行考查時，離不開對幾何圖形的構建，這其中常見的幾何圖形是對向量問題進行解決的關鍵所在。我們在解題的時候要對幾何圖形進行仔細觀察，還需要掌握幾何圖形的相關性質，例如三角形和圓的結構等等。

解析：向量ab滿足于夾角120°，并且a-c和b-c夾角是60°，使用四個點公圓進行圖形的構建，如圖3，設=b，則∠ACB=60°，由此可知點C軌跡是優弧上面的一個動點，在點C是優弧中點時，取得最大值，其即為OABC四點處在圓的直徑，在這個基礎上就能夠得到而根據三角形的正弦定理就能夠得到：

平面幾何是考察我們數學知識區分和運用能力，而把向量問題中存在的平面幾何性質進行研究，在這個基礎上就能夠讓我們在幾何性質的基礎上進行向量題目的解答，從而在解答過程中對我們的解題思路進行正確的引導，開辟出在解題中的新思路。

圖3

[1]印金鳳.基于平面幾何性質的向量問題思考[J].數理化學習:高中版,2016(10):10-12.