Besov空間中一類反周期函數的三角插值逼近問題

何尚琴， 馮秀芳

(1. 寧夏大學 數學計算機學院, 寧夏 銀川 750021;2. 河北科技師范學院 數學與信息科技學院, 河北 秦皇島 066004)

Besov空間中一類反周期函數的三角插值逼近問題

何尚琴1,2， 馮秀芳2

(1. 寧夏大學 數學計算機學院, 寧夏 銀川 750021;2. 河北科技師范學院 數學與信息科技學院, 河北 秦皇島 066004)

引進一種插值算子，研究在Besov空間中以2π為周期的反周期函數的三角插值的逼近階和飽和問題，確定了逼近的飽和類.

反周期三角插值算子； Besov空間； 飽和類

函數逼近論是現代數學的一個重要分支，其研究目標是用簡單的可計算函數對一般函數進行逼近，進而考慮其逼近的程度和如何刻畫被逼近函數本身的特性.插值多項式可看作實現逼近的一個重要工具，其中三角多項式插值是函數逼近論的重要研究方法.以2π為周期函數的三角插值已有深入的研究及推廣[1-2],A.Sharma等[3]研究了2π周期函數的(0,m)三角插值，A.S.Cavaretta等[4]研究了2π周期函數的(0,m1,m2,…,mp)三角插值.但其插值空間Tn,ε(x)對平移運算和求導運算不封閉，從而2π周期函數的三角插值問題在實際應用中受到一定的限制.反周期函數的(0,m)三角插值問題的研究自文獻[5]的研究之后受到廣泛關注[6-7].以2π為周期的反周期函數三角插值問題對上述2種運算封閉，因而研究以2π為周期的反周期函數的三角插值有重要意義.Besov空間中插值算子的研究在近些年來發展很快.文獻[8]研究了在Besov空間中，Jackson整插值算子的逼近和飽和問題，確定了逼近的飽和類與飽和階.文獻[7]得出了三角插值算子在Besov空間中逼近的飽和類與飽和階.本文研究Besov空間中以2π為周期的反周期函數三角插值多項式逼近的飽和問題，確定了逼近的飽和類.

則g(x)叫作f(x)的m次Lp范數，記作g=Drf.

(1)

當插值核Kn(x)取Fejer核時，Jn(f,x)就是著名的Jackson插值算子[9-13],它滿足插值條件：

取文獻[6]中定理1中的ρ0=0,

則當

時，易知當m為奇數時(1)式定義的三角插值多項式Jn(f,x)滿足插值條件：

1 引理

引理1[6]若T(x)為2n-1階反周期三角多項式，則一定存在常數aj、bj,使得

其中

.

由引理1及引理2易得以下引理：

引理3設

得

‖Rn(x)‖1=O(1).

引理4[15]對任意n階三角多項式Tn(x)有

引理6設Tn(x)為2n-1階反周期三角多項式，f(x)是以2π為周期的反周期函數,若

有

證明當n=2k+1時有

由引理3有

于是

所以，對任意的n∈N存在k∈N,當2k-1≤n≤2k+1時得

2 主要結果

證明充分性 記n′=2n-1,k=2j-1,由引理2可得

其中,xk滿足

因

故

從而

必要性 由假設知

運用引理5得

于是

由三角多項式的性質知Tn(Tn(f))=Tn(f),則有

存在常數C>0,使得

又

其中

由引理4得

從而

因

由引理5知

因此當k→∞時得

致謝寧夏大學自然科學研究基金(ZR16035)對本文給予了資助，謹致謝意.

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Problem on a Kind of Anti-periodic Trigonometric Interpolation Approximation in Besov Space

HE Shangqin1,2, FENG Xiufang2

(1.SchoolofMathematicsandComputerScience,NingxiaUniversity,Yinchuan750021,Ningxia;2.CollegeofMathematicsandInformationScienceandTechnology,HebeiNormalUniversityofScienceandTechnology,Qinhuangdao066004,Hebei)

Using a kind of interpolation operator, we study the 2 periodic trigonometric interpolation approximation and saturation problem of antiperiodic functions in Besov space, and determine the approaching saturation class.

antiperiodic trigonometric interpolation operator; Besov space; saturation class

2016-04-12

國家自然科學基金(11161036)

何尚琴(1977—)，女，博士生，主要從事函數逼近論、偏微分方程數值解法的研究，E-mail:hsq101@163.com

O174.41

A

1001-8395(2017)05-0628-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.011

2010MSC:03F50

(編輯 李德華)