一類分數階邊值問題解的存在性

李姍姍, 王智勇

(南京信息工程大學 數學與統計學院, 江蘇 南京 210044)

一類分數階邊值問題解的存在性

李姍姍, 王智勇*

(南京信息工程大學 數學與統計學院, 江蘇 南京 210044)

研究一類非齊次分數階微分方程邊值問題

其中,λ>0,h∈L2([0,T],RN)且h(t)?0.利用山路引理和Ekeland變分原理,得到上述問題至少存在2個非平凡解.

分數階邊值問題; 山路引理; Ekeland變分原理

1 主要結果

考慮如下分數階邊值問題

(A) 對?x∈RN,F(t,x)關于t是可測的,對a.e.t∈[0,T],F(t,x)關于x是連續可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1([0,T],R+)使得:

|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),

|▽F(t,x)|≤a(|x|)b(t),

對?x∈RN和a.e.t∈[0,T]成立.

當β=0,λ=0時,問題(1)退化為

上述邊值問題具有較為簡單的變分結構,其解的存在性和多重性已有很多結果,如文獻[1-4].

當λ=0時,問題(1)則變為

2011年,Jiao F.等[5]首次給出了問題(2)的變分結構,利用極小作用原理和山路引理,得到問題(2)至少存在一個解.自此以后,位勢函數F(t,x)在各種增長條件下,關于問題(2)解的存在性和多解性涌現了大量的結果,如文獻[6-8]及其參考文獻.

受上述結果的啟發,本文利用山路引理及Ekeland變分原理,討論了問題(1)的2個解的存在性.

定理1.1假設F滿足條件(A),且存在常數r>2,μ>r-2以及Λ0>0,使得下列條件成立:

其中,Γ為通常的伽馬函數,α=1-β/2;則當λ∈(0,Λ0)時,問題(1)至少存在2個非平凡解.

注1.1在文獻[9]中,利用山路引理討論了問題(2)在條件(A)、(A3)～(A5)及

本文考慮帶擾動項h(t)的問題(1)多個解的存在性問題.事實上,擾動項h(t)的存在對弱解的多解性在本文中起著關鍵作用.

2 預備知識

下面介紹一些分數階微積分的基本概念,并且給出問題(1)的工作空間和變分結構.

定義2.1[10]設γ>0,函數f(t)定義在[a,b]上,它的γ階左和右Riemann-Liouville分數積分分別定義為:

和

其中右在[a,b]上逐點有定義.

定義2.2[10]設γ>0,函數f(t)定義在[a,b]上,它的γ階左和右Riemann-Liouville分數導數分別定義為:

和

其中,t∈[a,b],n-1≤γ

記AC([a,b],RN)為絕對連續函數空間,對k∈N,

ACk([a,b],RN)={f∈Ck-1([a,b],RN):

f(k-1)∈AC([a,b],RN)}.

定義2.3[10]設γ≥0,n∈N,若γ∈[n-1,n)且f(t)∈ACn([a,b],RN);則函數f(t)的γ階左和右Caputo分數導數于[a,b]上幾乎處處存在,且分別定義為:

和

L2([0,T],RN),u(0)=u(T)=0,1/2<α≤1},

易知它是自反的可分的Banach空間,其范數為

命題2.4[11]設0<α≤1,1

(3)

進一步,若α>1/p且1/p+1/q=1,則有

特別地,當p=2時,有以下2個不等式成立:

(4)

(5)

注2.1由(5)式,Eα上的范數‖·‖等價于如下定義的‖·‖α,即

引理2.5[5]設0<α≤1,11/p.若序列{un}在Eα上弱收斂于u,即un?u;則在C([0,T],RN)上有un→u,即當n→+∞時,‖un-u‖∞→0.

定義2.6若對u∈Eα以及?v∈Eα,有

則稱u為問題(1)的弱解.

定義泛函φ:Eα→R為

λh(t)u(t)-F(t,u(t))]dt;

(6)

根據條件(A),由文獻[5]中定理4.1,可知φ∈C1(Eα,R)且有

(7)

進一步可知,u∈Eα為問題(1)的弱解當且僅當u為泛函φ的臨界點.

引理2.7[5]若1/2<α≤1,則對?u∈Eα,有

|cos(πα)|‖u‖α2≤

(8)

定義2.8[1]設X是實Banach空間,φ∈C1(X,R),如果{un}?X,φ(un)有界且φ′(un)→0(n→+∞);則稱序列{un}?X為φ的(PS)序列.如果它的每一(PS)序列都有一收斂子列,則稱泛函φ滿足(PS)條件.

定義2.9[1]設X是實Banach空間,φ∈C1(X,R),如果{un}?X,φ(un)有界,且(1+‖un‖α)‖φ(un)‖α→0(n→+∞);則稱序列{un}?X為φ的(C)序列.如果它的每一(C)序列都有一收斂子列,則稱泛函φ滿足(C)條件.

引理2.10[2](山路引理) 設X為實Banach空間,φ∈C1(X,R)滿足(PS)條件,φ(0)=0,且有:

(I1) 存在常數ρ,β>0,使得φ|?Bρ≥β;

(I2) 存在e∈XBρ,使得φ(e)≤0,

則φ存在一個臨界值c≥β,且

注2.2由文獻[12]可知,山路引理在(C)條件下依然成立.

3 定理的證明

為了敘述方便,令Ci(i=1,2,3,…)表示一系列不同的正常數.

引理3.1假設條件(A)、(A4)、(A5)成立,則泛函φ滿足條件(C).

證明令X=Eα,首先證明{un}在X上有界.假設{un}是泛函φ的(C)序列,即{φ(un)}有界,且當n→+∞時,有‖φ′(un)‖α(1+‖un‖α)→0;則對?n∈N有

φ(un)≤C1,

‖φ′(un)‖α(1+‖un‖α)≤C1.

(9)

根據條件(A4),存在常數R1>0,使得對?|x|≥R1以及a.e.t∈[0,T],有

F(t,x)≤C2|x|r.

(10)

結合(10)式和條件(A),對?x∈RN和a.e.t∈[0,T],可知

F(t,x)≤C2|x|r+g1(t),

(11)

(12)

由條件(A5),存在常數R2>0,使得對?|x|≥R2和a.e.t∈[0,T],有

(▽F(t,x),x)-2F(t,x)≥C5|x|μ;

因此,再由條件(A),對?x∈RN和a.e.t∈[0,T],可得

(▽F(t,x),x)-2F(t,x)≥C5|x|μ-g2(t), (13)

下面分2種情形進行討論.

情形1若μ>r,利用H?lder不等式和帶ε的Young不等式有

(14)

考慮(6)、(7)、(9)、(13)和(14)式有

所以可得

(16)

根據(12)、(16)式及H?lder不等式,可知

注意到,μ>r,因此‖un‖α有界.

(17)

其中,p′=μ-r+2,1/p′+1/q′=1.利用(15)和(17)式可得

因此

(18)

由于μ>r-2,利用(12)、(18)式和H?lder不等式,并注意到ε的定義有

因此,‖un‖α有界.

綜上所述,對于μ>r-2,總有{un}在X中有界.

最后證明{un}在X上有強收斂子列.因為{un}在X上有界,則存在子序列,不妨仍記為{un},使得在X上,有un?u.于是,當n→+∞時,有

〈φ′(un)-φ′(u),un-u〉=

〈φ′(un),un-u〉-〈φ′(u),un-u〉≤

‖φ′(un)‖α‖un-u‖α-

〈φ′(u),un-u〉→0.

(19)

由(5)式和引理2.5,可知{un}在C([0,T],RN)上有界;并且當n→+∞時,有‖un-u‖∞→0.因此,再依據條件(A),當n→+∞時,有

(20)

此外,由(7)、(8)、(20)式以及H?lder不等式有

〈φ′(un)-φ′(u),un-u〉=

所以結合(19)式可得,當n→+∞時,‖un-u‖α→0,即φ滿足(C)條件.

引理3.2假設F滿足條件(A2)、(A4),則存在常數ρ>0,β>0和Λ0>0,使得當‖u‖α=ρ,λ∈(0,Λ0)時,有φ(u)≥β.

證明根據條件(A2)、(A4)可知,存在常數ε1∈(0,|cos(πα)|),對?x∈RN和a.e.t∈[0,T],有

C12|x|r.

(21)

由(3)、(6)、(8)、(21)式及H?lder不等式有

λh(t)u(t)-F(t,u(t))]dt≥

引理3.3假設F滿足條件(A)、(A3),則存在e∈X且‖e‖α>ρ,使得φ(e)<0.

證明由條件(A3)知,存在常數ε2>0和R3>0,使得對?|x|≥R3以及a.e.t∈[0,T]有

F(t,x)≥

再由條件(A),對?x∈RN和a.e.t∈[0,T]有

(22)

(23)

根據(6)、(8)、(22)、(23)式和H?lder不等式,當s→+∞時有

λsh(t)u0(t)-F(t,su0(t))]dt≤

所以,存在充分大的s0使得φ(s0u0)<0,取e=s0u0∈X,有φ(e)<0.

引理3.4假設條件(A1)成立,則

其中ρ由引理3.2給出.

證明由條件(A1)知,存在常數δ>0,使得對?|x|≤δ以及a.e.t∈[0,T]有

F(t,x)≥0.

(24)

λsh(t)φ(t)-F(t,sφ(t))]dt≤

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Existence of Two Solutions for a Class of Nonhomogenous Fractional Boundary Value Problems

LI Shanshan, WANG Zhiyong

(SchoolofMathematicsandStatistics,NanjingUniversityofInformationScienceTechnology,Nanjing210044,Jiangshu)

In this paper, we deal with the following nonhomogeneous fractional boundary value problem

whereλ>0,h∈ ([0,T],RN) andh(t)?0. Using mountain pass lemma and Ekeland’s variational principle, we prove that the above boundary value problem has at least two nontrivial solutions.

fractional boundary value problem; mountain pass lemma; Ekeland’s variational principle

2016-09-22

國家自然科學基金(11026213、11571176)

*通信作者簡介:王智勇(1979—),男,副教授,主要從事非線性泛函分析的研究,E-mail:mathswzhy@126.com

O175.1

A

1001-8395(2017)05-0615-06

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.009

2010MSC:26A33; 35G60

(編輯 余 毅)