用數(shù)列思維計(jì)算簡(jiǎn)單金融產(chǎn)品的內(nèi)在價(jià)值

江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 張?zhí)碡?/p>

用數(shù)列思維計(jì)算簡(jiǎn)單金融產(chǎn)品的內(nèi)在價(jià)值

江蘇省新海高級(jí)中學(xué) 張?zhí)碡?/p>

通過(guò)生活中的觀察和總結(jié)，發(fā)現(xiàn)基本金融問(wèn)題的載體基本上是數(shù)列問(wèn)題的變形。本文首先用平實(shí)易懂的語(yǔ)言解釋常見(jiàn)的金融工具：存款，債券，股票。然后，將基本金融問(wèn)題科學(xué)地分類(lèi)，利用前n項(xiàng)和的方法解決金融問(wèn)題，并列舉經(jīng)典的題目來(lái)鍛煉化歸分析解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。最后，對(duì)模型進(jìn)行了總體評(píng)估和優(yōu)缺點(diǎn)分析，并對(duì)其應(yīng)用前景進(jìn)行了展望。

前n項(xiàng)和；價(jià)值；現(xiàn)金流；現(xiàn)值；債券；股票

一、問(wèn)題引出

隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的騰飛，中國(guó)家庭的理財(cái)方式也趨于多樣化。從開(kāi)始時(shí)的儲(chǔ)蓄一家獨(dú)大，到現(xiàn)在的股票債券遍地開(kāi)花，金融產(chǎn)品可謂“亂花漸欲迷人眼”。但是在日常學(xué)習(xí)和生活中，我們又會(huì)在教科書(shū)上，試卷上，看到很多關(guān)于金融工具的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。經(jīng)過(guò)總結(jié)歸納，這些題的所用的數(shù)學(xué)模型都十分簡(jiǎn)單，基本上都是我們所學(xué)過(guò)的數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用。在本篇論文中，用平實(shí)易懂的語(yǔ)言，解釋并科學(xué)地將金融應(yīng)用題歸類(lèi)、分析求解。

二、問(wèn)題分析

1.金融工具與金融市場(chǎng)

本文研究的對(duì)象為兩大常見(jiàn)的金融產(chǎn)品：債券和股票。它們都是金融工具，而它們流通的場(chǎng)所叫做金融市場(chǎng)，也就是融通資金的場(chǎng)所。

金融工具是證明債權(quán)、債務(wù)關(guān)系的合法書(shū)面憑證。金融工具具有三大特征：收益性、安全性、流動(dòng)性。正常情況下，收益性與安全性、流動(dòng)性成負(fù)相關(guān)，也就是說(shuō)，收益性越高的產(chǎn)品，其風(fēng)險(xiǎn)越大，流動(dòng)性越差。債券是一種由債務(wù)人向債權(quán)人出具的，在約定時(shí)間承擔(dān)還本付息義務(wù)的書(shū)面憑證。由于債券的利息通常是固定的，所以債券也被稱(chēng)為固定利息證券。股票是股份公司發(fā)行的證明投資者在公司中出資并據(jù)此享有權(quán)利和承擔(dān)義務(wù)的書(shū)面憑證。股票的持有者就是公司的股東。股票確定了股份公司與股東之間的約定關(guān)系。

表1 金融產(chǎn)品對(duì)比

金融市場(chǎng)分為一級(jí)市場(chǎng)和二級(jí)市場(chǎng)：一級(jí)市場(chǎng)是發(fā)行市場(chǎng)，它最基本的功能是將社會(huì)剩余資本從盈余者手中轉(zhuǎn)移到短缺者手中，促進(jìn)儲(chǔ)蓄向投資的轉(zhuǎn)化；二級(jí)市場(chǎng)就是供在一級(jí)市場(chǎng)上發(fā)行后的金融工具流通和轉(zhuǎn)讓的市場(chǎng)，它提高了這些金融產(chǎn)品的流動(dòng)性。

2.關(guān)于現(xiàn)值的理解

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，價(jià)值被定義為凝結(jié)在商品中無(wú)差別的人類(lèi)勞動(dòng)。在個(gè)人理財(cái)時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到不知道選擇那種金融工具的情況。因?yàn)楣善眰鶛?quán)存款的期限不同，很難比較它們的價(jià)值。此時(shí)便需要通過(guò)一個(gè)可比的標(biāo)準(zhǔn)（比如現(xiàn)值）來(lái)比較后選擇何種金融工具。

金融資產(chǎn)的價(jià)值等于未來(lái)預(yù)期現(xiàn)金流的現(xiàn)值。現(xiàn)金流就是每一次資金的流動(dòng)。現(xiàn)值，指資金折算至基準(zhǔn)年的數(shù)值，也稱(chēng)折現(xiàn)值、也稱(chēng)在用價(jià)值，是指對(duì)未來(lái)現(xiàn)金流量以恰當(dāng)?shù)恼郜F(xiàn)率進(jìn)行折現(xiàn)后的價(jià)值。要對(duì)債券和股票定價(jià)，我們需要：預(yù)測(cè)未來(lái)現(xiàn)金流的數(shù)量（有多少）與時(shí)間（什么時(shí)候發(fā)生），并以適當(dāng)利率（折現(xiàn)率）對(duì)未來(lái)現(xiàn)金流折現(xiàn)。

三、建模求解

（一）債券價(jià)值模型

存款問(wèn)題只能說(shuō)是經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用題的一個(gè)引入，我們將用它的思想方法去解決更為復(fù)雜的債券問(wèn)題。假設(shè)必要收益率不變。符號(hào)說(shuō)明：P-債券內(nèi)在價(jià)值；CFt-每期利息和到期本金(F)；It-每期利息；rb-必要收益率，n-期限。

債券內(nèi)在價(jià)值的計(jì)算公式（存款同理）可以表示為：

公式其實(shí)就是一個(gè)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算模型。債券的計(jì)算問(wèn)題一共可以分為一般估價(jià)模型，可贖回債券的估價(jià)模型和收益率估價(jià)模型。

1.一般債券估價(jià)模型：已知期限、利率，計(jì)算現(xiàn)值

例：我國(guó)發(fā)行一面值為100元的3年期憑證式國(guó)債，票面年利率3.73%，從購(gòu)買(mǎi)之日開(kāi)始計(jì)息，到期一次還本付息，不計(jì)復(fù)利，逾期兌付不加計(jì)利息。那么在市場(chǎng)平均收益率為5%的情況下，利用上文債券價(jià)值公式，該債券的內(nèi)在價(jià)值為：

結(jié)果表明，由于該國(guó)債提供的息票率3.73%小于市場(chǎng)收益率5%，使得其價(jià)值96.05元小于其面值100元，該債券的收益明顯不具有吸引力。

2.可贖回債券的估價(jià)模型：未到期就被贖回的債券價(jià)值計(jì)算

如果一些公司發(fā)行的債券必要收益率高于市場(chǎng)收益率，他們肯定就會(huì)想將債券贖回，因?yàn)椴悔H回他們要付的利息成本會(huì)比市場(chǎng)平均利息偏高。為了公平，在贖回時(shí)，他們也將不可避免地要加上贖回溢價(jià)。

如果債券契約中載明允許發(fā)行公司在到期日前將債券從持有者手中贖回的條款，則當(dāng)市場(chǎng)利率下降時(shí)，公司會(huì)發(fā)行利率較低的新債券，并以所籌措的資金贖回高利率的舊債券。在這種情況下，可贖回債券持有者的現(xiàn)金流量包括兩部分：（1）贖回前正常的利息收入（2）贖回價(jià)格（面值+贖回溢價(jià)）。

我們不難發(fā)現(xiàn)，此模型也可以化歸為上一個(gè)模型，只是再加上贖回價(jià)格罷了。

例：某公司擬發(fā)行債券融資，債券面值為2000元，息票率為12%，期限為20年，每年付息一次，到期償還本金。債券契約規(guī)定，5年后公司可以2 240元價(jià)格贖回。目前同類(lèi)債券的利率為10%。

如果債券5年后被贖回，債券的價(jià)值為：

如果債券沒(méi)有贖回條款，持有債券到到期日的價(jià)值為：

2340.46-2300.6=39.86（元），其中39.86元就是公司可以節(jié)省的價(jià)值。

這還可以幫我們更深層次的理解現(xiàn)值與終值的運(yùn)用。因?yàn)榭哨H回債券與不可贖回債券的期限是不同的，想要直接比較兩情況的價(jià)值十分困難。而利用現(xiàn)值可以輕松地比較，并計(jì)算出公司節(jié)省的價(jià)值。

3.收益率估價(jià)模型

在以上兩個(gè)模型中有一個(gè)重要假設(shè)，即假設(shè)必要收益率rb不發(fā)生變化。而本模型的目的是計(jì)算債券到期收益率r2，它是指?jìng)串?dāng)前市場(chǎng)價(jià)值購(gòu)買(mǎi)并持有至到期日所產(chǎn)生預(yù)期收益率。既然是預(yù)期收益率，投資者們可以將它與必要收益率rb相比較。如果r2大于rb，則應(yīng)該買(mǎi)入，反之則應(yīng)該放棄。

若當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)值和期限已知，那么就可以列出一個(gè)方程解出到期收益率。所以該問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是一個(gè)解方程的問(wèn)題。

例：假設(shè)以2100元的價(jià)值購(gòu)進(jìn)20年后到期、票面利率為12%、面值為2 000元、每年付息1次、到期一次還本的某公司債券。如果購(gòu)進(jìn)后一直持有該債券至到期日，債券到期收益率是：

冠心病是心內(nèi)科最常見(jiàn)的疾病，而心絞痛則是冠心病的一個(gè)最常見(jiàn)類(lèi)型，因冠脈粥樣硬化導(dǎo)致管腔狹窄和血管痙攣引起心肌缺血，導(dǎo)致患者前胸陣發(fā)性、壓榨性疼痛。對(duì)于冠心病心絞痛的治療，臨床上包括藥物治療和介入治療兩種方法，藥物治療對(duì)于癥狀較輕，持續(xù)時(shí)間不長(zhǎng)的患者有很好的療效，但對(duì)于心絞痛發(fā)作次數(shù)多、持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)的患者建議行PCI手術(shù)治療[1] 。本次研究以我院收治的104例高齡冠心病心絞痛患者為例，探討PCI治療冠心病心絞痛的療效。

（二）股票價(jià)值模型

經(jīng)過(guò)債券價(jià)值問(wèn)題的分析，我們基本上對(duì)金融應(yīng)用題有了一個(gè)框架式的了解。接下來(lái)要研究的股票，它的估價(jià)模型與債券極為相像，都是求未來(lái)預(yù)期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值。但我們知道債券與股票的區(qū)別之一就是期限不同，股票只有發(fā)行日，無(wú)到期日。所以自然求股票未來(lái)現(xiàn)金流量的現(xiàn)值，要先用等比數(shù)列前n項(xiàng)求和，再用趨近于∞的極限思維確定最終公式。

假設(shè)不考慮公司倒閉的影響，市場(chǎng)利率是不變動(dòng)的。符號(hào)說(shuō)明：Pn-普通股在第n期預(yù)期售價(jià)；P0-普通股未來(lái)預(yù)期現(xiàn)金流量的現(xiàn)值；rs-普通股投資必要收益率；Dt-每期的預(yù)期股利；CFt-每期的預(yù)期現(xiàn)金流。

股票價(jià)值可以表示為：

其中未來(lái)現(xiàn)金流量可以分為每期的預(yù)期股利和股票出售時(shí)的預(yù)期價(jià)值（取決于股票未來(lái)的股利）。根據(jù)式中Dt的不同情況，可以將股票價(jià)值模型分為零增長(zhǎng)模型，固定增長(zhǎng)模型和非固定增長(zhǎng)模型。

1.零增長(zhǎng)股模型

2.固定增長(zhǎng)股模型

對(duì)于一些上市很長(zhǎng)時(shí)間，收益較為穩(wěn)定的公司，我們可以假設(shè)（1）股利支付是永久性的，即t→∞；（2）股利增長(zhǎng)率為一常數(shù)g，即，則：；（3）模型中的折現(xiàn)率大于股利增長(zhǎng)率，即。

D1是指t=1期的股利。

例：假設(shè)X公司的股票，預(yù)期1年后公司支付的股利為3元/股，該股利預(yù)計(jì)在可預(yù)見(jiàn)的將來(lái)以每年8%的比例增長(zhǎng)。投資者基于對(duì)該公司風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估，要求最低獲得12%的投資收益率，據(jù)此計(jì)算該公司的股票價(jià)格為：

3.非固定增長(zhǎng)股模型

現(xiàn)實(shí)中大部分公司的股利是多變的。對(duì)于一些新成立，或者剛剛發(fā)布新產(chǎn)品的公司，其股利往往會(huì)高速增長(zhǎng)然后又趨于穩(wěn)定。對(duì)于這種公司可以假設(shè)為兩階段增長(zhǎng)股和三階段增長(zhǎng)股。這里對(duì)兩階段增長(zhǎng)股進(jìn)行研究。其價(jià)值為高速增長(zhǎng)階段股利現(xiàn)值和固定增長(zhǎng)階段股票價(jià)值的現(xiàn)值之和：。

例：假設(shè)Y公司目前擁有一種引起公眾注意的新產(chǎn)品，預(yù)計(jì)在未來(lái)的3年內(nèi)，銷(xiāo)售每年以50%的速度增長(zhǎng)，其股利將以每年13%的速度增長(zhǎng)，此后預(yù)計(jì)股利增長(zhǎng)率為7%。如果股東投資的必要收益率為15%，公司最近發(fā)放的現(xiàn)金股利為每股1.4元。那么Y公司的股票價(jià)值是多少？

這是一道很典型的兩階段增長(zhǎng)模型，用分段函數(shù)的方式進(jìn)行討論即可。根據(jù)資料，我們可以將該公司前三年作為高速增長(zhǎng)階段，第四年以后作為固定增長(zhǎng)階段。兩個(gè)階段股票價(jià)值計(jì)算如下：

高速增長(zhǎng)階段：

固定增長(zhǎng)階段：

如果股利增長(zhǎng)情況不限于兩種情況，則還可以繼續(xù)劃分為三階段或多階段，只要最后將各個(gè)階段的現(xiàn)值相加即可。

四、總結(jié)

對(duì)于一般的債券和股票價(jià)值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵就是分清楚條件是哪一個(gè)金融名詞，并將其與特定模型對(duì)號(hào)入座。只要掌握化歸這一數(shù)學(xué)思想，將條件從題目中剝離出來(lái)，并尋找合適的金融模型進(jìn)行組合便可以輕松解決。本文模型很好的結(jié)合了高中數(shù)學(xué)知識(shí)與深?yuàn)W的金融問(wèn)題，讓高中生可以利用所學(xué)的數(shù)列，極限等知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題。同時(shí)，該模型可以形象生動(dòng)地解釋經(jīng)濟(jì)學(xué)現(xiàn)象。

[1]歐陽(yáng)光中,朱學(xué)炎．復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析第三版上冊(cè)[M]．高等教育出版社,2007．

[2]卜月華．中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué)[M]．東南大學(xué)出版社,2002．

[3]林娟．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第三版[M]．廈門(mén)大學(xué)出版社,2008．

[4]中國(guó)證券業(yè)協(xié)會(huì)．證券投資分析[M]．中國(guó)金融出版社,2012．

固定增長(zhǎng)模型，可得固定增長(zhǎng)階段折算到第n期的股票價(jià)值為：