突破常規(guī)應用 拓展思維空間

周勝

導數的引入，給高中數學的學習注入了新的活力，然而對導數的應用，只是停留在常規(guī)求函數的極值或者判定函數的單調性上，大大束縛了我們的思維.因此，突破常規(guī)，拓展我們的思維空間就顯得迫切而又必要.

“學起于思，思源于疑.”質疑，最能調動學生學習、思索、答問的積極性，發(fā)展學生的創(chuàng)新思維能力，使學生真正成為學習的主人.學生質疑能力的發(fā)展及培養(yǎng)，不僅有賴于知識和能力的基礎，而且還要依賴于問題情境的創(chuàng)設.由學生自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，再解決問題，從中得到成功的體驗.學生的創(chuàng)造性思維是遇到要解決的問題時而引發(fā)出來的.問題是激發(fā)思維的起點，矛盾是推動思維發(fā)展的動力.問題設計得科學藝術，能激起學生動機，開闊學生思路，誘發(fā)求知的欲望，使學生的思維由潛伏狀態(tài)轉入活動狀態(tài)，有利于發(fā)散思維的形成.

在數學解題過程中，當思維能力受阻時，我們可以對題目中的條件和結論與數學各分支中不同的數學知識、數學方法乃至兄弟學科或現(xiàn)實生活中的其他知識常識，充分展開接近聯(lián)想、相似聯(lián)想、對比聯(lián)想，進一步改變問題情境，常能有效地使思路暢通，甚至誘發(fā)直覺、頓悟，激發(fā)靈感，獲得創(chuàng)造性的解法.思維求變、求異，多向發(fā)散，拓展聯(lián)想空間，促進信息遷移，使問題獲得多種不同的解題途徑，優(yōu)化解法是決勝數學高考的一個不可缺少的思維策略.

下面是筆者在教學實踐中總結出的其他應用，整理出來與大家共享。

一、函數不等式的證明

例1.證明：？坌x>0，有不等式■

證明：分別證明這兩個不等式■

設f（x）=ln（1+x）-■，則f′（x）=■.對于？坌x>0，有f′（x）>0，從而函數f（x）在（0，+∞）嚴格增加，且f（0）=0，于是？坌x>0有f（x）=ln（1+x）-■>0，

即？坌x>0，有■

設g（x）=x-ln（1+x），g′（x）=■，對于？坌x>0，有g′（x）>0，從而函數g（x）在（0，+∞）嚴格增加，且g（0）=0，于是？坌x>0有g（x）=x-ln（1+x）>0.

即？坌x>0有l(wèi)n（1+x）

綜上所述，對于？坌x>0，有不等式■

二、立幾中球面距離的證明

例2.在學習立體幾何時有學生常常就問：為什么球面上所有連接兩點的線中，經過大圓的劣弧的長度最短，而不是其他圓.

下面用導數的方法來證明這一問題.

證明：如圖，圓O為過A，B兩點的大圓，半徑為R，圓O1為過A，B兩點的小圓，半徑為r，顯然r

令∠AO1B=2x2，0<∠AO1B<？仔，則0

sinx2=■，即sinx1

欲證A■B■.

為此，構造函數f（x）=■，x∈（0，■），

則f′（x）=■，當x∈（0，■）時，有tanx>x，

即■>x，xcosx-sinx<0，

從而當x∈（0，■）時，f′（x）<0，所以函數f（x）=■在

x∈（0，■）上是減函數

由r■，即證結論.

三、一些恒等式的證明

例3.■-■-■+■+■=■

證明：設f（x）=■-■-■+■+■

則f′（x）=sinx·cosx（sin6x+cos6x-2sin4x-cos4x+sin2x）

=sinx·cosx（sin4x-sin2x·cos2x+cos4x-2sin4x-cos4x+sin2x）

=sin3x·cosx（-sin2x-cos2x+1）

=0.

故f（x）=C，由f（0）=■，即得C=■，由此即證.

四、求軌跡方程

例4.點A（0，4）是橢圓4x2+y2=16上的一點，過A作弦AB，求弦中點的軌跡方程.

解：設弦AB的中點M（x0，y0），對4x2+y2=16求導，有y′=-■，則由導數的幾何意義可知，被點M平分的弦所在的直線的斜率為k=-■，又過點（0，4）和（x0，y0）兩點的直線的斜率為kAM=■，由k=kAM即得所求軌跡方程為4x2+y2-4y=16.

總之，在適宜的土壤中運用適當的方法去培養(yǎng)高中學生的數學問題意識，有一定價值的問題會“不盡長江滾滾來”！它促使學生主動地、積極地、創(chuàng)造性地學習，從而發(fā)展學生思維，增強學生能力，提高學生的學習效果。

項目基金：甘肅省教育科學“十三五”規(guī)劃2017年度《高中數學解題教學的實踐研究》課題（課題網絡審批號：BY2017_26）成果。

編輯 趙飛飛