基于磁鏈重構的永磁同步電機分布參數模型*

鐘再敏, 秦一進, 周英坤, 江 尚

(同濟大學 汽車學院，上海 201804)

基于磁鏈重構的永磁同步電機分布參數模型*

鐘再敏, 秦一進, 周英坤, 江 尚

(同濟大學 汽車學院，上海 201804)

針對基于電感的永磁同步電機(PMSM)線性集中參數模型無法描述電機磁路飽和、反電動勢非正弦等非理想特性的問題，提出一種基于磁鏈重構的PMSM分布參數模型，并進行了仿真和試驗驗證。首先通過有限元分析(FEA)獲取電機不同工作點下的磁鏈，其次利用傅里葉級數展開和多項式擬合方法對磁鏈進行重構，再根據重構的磁鏈建立起PMSM分布參數模型，并進行了仿真和試驗驗證。仿真和試驗結果表明，模型能準確描述PMSM在不同工況下的非線性特性。

永磁同步電機；傅里葉級數；分布參數模型；磁鏈重構

0 引 言

永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)作為多變量、強耦合和強非線性的機電系統，其運行特性受到鐵心磁飽和和氣隙磁場空間諧波等諸多非理想因素影響。充分考慮電機實際運行情況，建立準確且可用的模型對車用PMSM優化控制和狀態監測十分重要。

針對上述問題，許多學者提出了相關研究方案。文獻[1-2]中提出通過求取氣隙磁場空間分布解析表達來建立PMSM解析模型的方法，但此方法以假設鐵心磁導無窮大為前提，沒有考慮鐵心的磁壓降和磁飽和。Dimitri Torregrossa[3]、Amir Khoobroo[4]、Weidong Zhu[5]和Umamaheshwar Krishnamurthy[6]等采用了基于傅里葉分解的磁場重構方法進行建模，但也沒有考慮磁飽和對電機的影響。重慶大學的李景燦和廖勇等[7]考慮了鐵心飽和與轉子磁場諧波的影響，建立了一種基于有限元的PMSMdq軸非線性模型，但表述上還是數值模型，并沒有給出真正意義上的解析模型。文獻[8-9]中，提出非線性時變等效磁路的方法，為計算轉矩隨轉子角度的周期性變化關系奠定基礎，但模型精確性和計算簡易性難以兼顧，磁阻網絡的劃分復雜，求解周期長。

為全面考慮PMSM的非理想因素，建立準確且可用的模型，本文提出了一種基于磁鏈重構的PMSM建模方法，構建PMSM分布參數模型并通過仿真和試驗驗證模型的可行性和準確性。

1 PMSM有限元仿真磁鏈提取分析

本文以一款PMSM樣機為建模研究對象。通過對PMSM的有限元仿真分析，獲取不同工況下的磁鏈，并將其作為PMSM分布參數模型的數據基礎和前提條件。

通過設定相電流激勵，可對PMSM不同穩態工作點(id,iq)進行仿真分析，由此可以獲得不同工作點下的三相磁鏈和電磁轉矩。通過坐標變換，即可得到dq軸下的磁鏈。

考慮到PMSM的實際工況，在仿真過程中，設定相電流幅值從0～300 A，等間隔為25 A，設定轉矩角從60°到165°，等間隔為15°，一共104個工作點。磁鏈仿真結果的變化情況如圖1所示(以d軸磁鏈為例)。

圖1 磁鏈有限元仿真分析結果

圖1中，橫坐標為θe，縱坐標為工作點X(id,iq)，可以看出不同電角位置和工作點下對應的磁鏈值。

圖2 d軸磁鏈隨電角度變化關系

圖1的前視圖反映磁鏈隨電角度的變化情況，其變化關系如圖2所示。由圖2可知，在同一個工作點，磁鏈隨電角度呈現周期性變化，其原因是氣隙磁場空間諧波等。

2 PMSM分布參數模型的建立

2.1PMSM磁鏈重構基本方法

由仿真結果可知，在每一個穩態工作點(id,iq)，交直軸磁鏈ψd、ψq都隨轉角θe呈現周期性變化，所以各ψd、ψq可以表示成θe的傅里葉級數。

式中：αk、βk——多項式對k次傅里葉系數ak和bk的擬合系數；

P(id,iq)——電流構成的正交多項式的基。

式中：C(θe)、S(θe)——余弦和正弦分量構成的向量，維數為(N+1)；

合適的維度既能保證模型的準確性，又能減少模型的復雜性。

2.2PMSM分布參數電壓和轉矩方程

dPd、dPq——電流多項式的正交基P(id,iq)對id，iq的求導。

式(7)中的電磁轉矩不包含永磁體與定子齒槽相互作用所產生的齒槽轉矩，所以在此基礎上需加入齒槽轉矩進行修正：

式(5)、式(6)和式(8)共同構成了PMSM的解析模型。在PMSM線性模型中，dq軸電壓方程基于集中參數(電感Ld、Lq和轉子磁鏈ψf)描述電壓、電磁轉矩兩者與電流的關系；由重構磁鏈推導的電壓方程和轉矩方程則以常系數矩陣Xd、Yd和Xq、Yq描述電壓與電流、轉角的關系，即為分布參數。

2.3PMSM分布參數模型誤差分析

本部分對分布參數模型描述電機特性的準確性進行評估，以有限元模型為標準。

對于給定的工作點，計算一個電周期內每個轉角下電磁轉矩瞬時值與有限元分析結果的相對誤差絕對值的平均值，用以評估在給定工作點下，電磁轉矩結果在一個電周期內的準確性。 對相電流幅值為零或者轉矩角為180°的工作點，有限元分析的電磁轉矩在零上下脈動，某些時刻其值幾近為零，相對誤差很大，但并不具有參考性，故剔除上述工作點。

如圖3所示為各工作點下，電磁轉矩在一個電周期內各時刻的相對誤差絕對值的平均值。

圖3 各工作點下電磁轉矩一個電周期的相對誤差

從圖3可知，電磁轉矩在給定工作點的一個電周期內，平均相對誤差基本上在3%以內，分布參數模型的電磁轉矩方程能較準確地復現真實轉矩隨轉角的變化情況。

3 分布參數模型仿真及試驗驗證

3.13種PMSM模型的仿真結果對比分析

本文研究的PMSM的集中參數如表1所示。

表1 電機參數表

對于PMSM分布參數模型，綜合考慮模型的復雜程度及準確性，選取傅里葉級數次數N=6、擬合多項式的次數M=5，此時，表征PMSM特性的常數矩陣Xd、Yd、Xq和Yq維數為7×21。由式(6)和式(8)，在MATLAB/Simulink中搭建PMSM分布參數模型，模型輸入為電機電角度、電角速度及dq軸電壓，輸出為電磁轉矩、dq軸電流及三相電流。

在MATLAB/Simulink中搭建基于轉子磁場定向的矢量控制系統仿真模型。控制系統分別結合PMSM線性模型、分布參數模型和有限元模型進行仿真。

對上述采用不同電機模型的控制系統，設定相同的仿真條件如下：電機角速度ωr=50 rad/s，id=0、iq=213.7 A，仿真總時長0.16 s，仿真步長10-5s,dq軸電壓通過PI調節得到。

對比3種電機模型下控制系統的仿真結果，圖4、圖5為A相電流和電磁轉矩響應。

圖4 3種模型的閉環相電流仿真結果

圖5 3種模型的電磁轉矩響應對比

從圖4中可以看出，分布參數模型的電流跟隨情況與有限元模型結果高度吻合；線性模型電流波形相對光滑平整，響應超前于另兩者。以有限元模型為參考，分布參數模型相電流響應準確度高于線性模型。

從圖5可以看出，經過約1個電周期，3個模型的轉矩響應達到穩態。線性模型的轉矩結果偏大，誤差原因為線性模型不能反映大電流下磁飽和現象；線性模型的轉矩較為平滑，無法體現電機的轉矩脈動特性。分布參數模型的轉矩瞬態響應和穩態響應都與有限元結果幾乎重合，能準確地反映轉矩隨轉角位置的脈動特征。仿真結果表明，以有限元模型為標準，分布參數模型可以對電機真實電磁轉矩進行描述，能更好地反映PMSM在實際工況下的非線性特性。

3.2試驗驗證

對本文所研究的PMSM進行臺架試驗，采用磁場定向控制，測量轉矩的響應。將分布參數模型的磁場定向控制仿真結果與試驗測試結果作比較。

圖6給出了從零轉矩到15 N·m轉矩時，模型與試驗的轉矩響應情況對比。

從圖6的轉矩結果對比可以看到，分布參數模型的轉矩響應全過程都與試驗結果比較接近，動態過程誤差相對較大，主要原因有分布參數模型的自身誤差、轉矩傳感器的測量誤差，以及試驗臺架的動態特性和測功機的動態特性影響。

圖6 設定轉矩15 N·m下模型和試驗的轉矩響應對比

通過以上轉子磁場定向穩態轉矩控制試驗，比較模型的轉矩響應在穩態階段與試驗結果的吻合程度，初步驗證了分布參數模型的正確性。

4 結 語

本文基于磁鏈重構方法建立了包含電壓方程和電磁轉矩方程的PMSM分布參數模型，并分別通過與有限元仿真和臺架試驗所得電磁轉矩對比，驗證了該模型能準確描述PMSM飽和、高次諧波等非線性特性。因此，本文所提PMSM分布參數解析模型不僅為PMSM轉矩脈動抑制研究提供了理論基礎，同時還可用于故障診斷、控制算法優化等研究，具有較強的實用價值。

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ADistributedParameterModelofPermanentMagnetSynchronousMotor
BasedonFluxLinkageReconstruction*

ZHONGZaimin,QINYijin,ZHOUYingkun,JIANGShang

(School of Automotive Studies, Tongji University, Shanghai 201804, China)

Aiming at solving the problem that the linear lumped parameter model of permanent magnet synchronous motor (PMSM) based on inductance cannot describe the non-ideal characteristics, such as magnetic saturation and non-sine back electromotive force, a distributed parameter model of PMSM based on flux linkage reconstruction was presented, and the proposed model was verified with simulation and experiment. In detail, first of all, the flux linkage of different working points of the motor was obtained by finite element analysis (FEA). Secondly, the flux linkage was reconstructed by Fourier series expansion and polynomial fitting method, and then the distributed parameter model of PMSM was established according to the reconstructed flux linkage. Finally, simulation and experiment were carried out for verification. Simulation and experimental results showed that the model could accurately describe the nonlinear characteristics of PMSM in different working conditions.

permanentmagnetsynchronousmotor(PMSM);fourierseriesexpansion;distributedparametermodel;fluxlinkagereconstruction

國家科技支撐計劃(2015BAG17B00)；國家科技支撐計劃(2015BAG03B00)

秦一進(1993—)，男，碩士研究生，研究方向為永磁同步電機建模與控制。

TM 351

A

1673-6540(2017)10- 0072- 05

2017 -03 -03