深海布放纜不同材料屬性下應力波自由傳播頻率特性影響研究

吳丞昊，楊建民，田新亮，胡智煥，彭 濤

(上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

深海布放纜不同材料屬性下應力波自由傳播頻率特性影響研究

吳丞昊，楊建民，田新亮，胡智煥，彭 濤

(上海交通大學 海洋工程國家重點實驗室高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海 200240)

在頻域對深海布放纜系統內應力波自由傳播特性進行了分析。在布放纜數學建模時使用了哈密頓原理，并在建模時考慮布放纜的曲率。計算過程中保留了纜繩曲率與其弧長坐標之間的非線性關系，并最后得到了其上傳播的應力縱波與應力橫波的特性。通過計算得到布放纜屬性和纜繩內豎直張力等參數對纜繩內自由傳播頻率特性的影響曲線。結果表明，這些因素對自由傳播應力波的頻率關系、色散關系、相速度與群速度影響顯著。對于應力縱波，整個頻域可被兩個截止頻率與一個行波截止頻率分成四個區域。除了通頻帶之外，在低頻時亦存在抑止帶和行波抑止帶。應力縱波僅能在通頻帶中以行波形式傳播，而應力橫波則可以在所有頻率范圍內以行波形式傳播。

應力波；深海布放；張緊松弛；突加載荷

隨著人類對深海資源開發的逐漸加速以及深海生產設備技術的進步，位于3500米及更深處的深海開發日益受到重視。為了適應大規模深海開發，各類深海開發裝備的質量與體積也與日俱增。布放回收裝置擔負著將所有水下系統安全、可靠、平穩地布放到海底以及將其從海底回收到水面的使命。國內外各項研究表明，在遇到復雜海情的情況下，纜繩系統可能出現高速傳播的突加應力，其大小甚至可能達到平均張力的十倍[1-2]，對系統整體安全造成了巨大威脅。相比現有的較淺的海洋設備布放系統，深海布放所需的纜線相對更長、所受載荷更重。目前世界上學者對深海布放系統基于疊加駐波的模態研究已經較為深入，然而對系統內應力波的傳播過程和衰減的研究則相對較少。由于深海長纜線中的應力傳播時間與系統特征時間同數量級，在這種條件下，應力波是一個不應被忽視的因素[3]。因此，為了設計更安全更經濟的布放纜線系統，了解深海布放長纜系統中應力波的產生和傳播特性顯得尤為重要。

Poisson S D[4]最先對固體介質中傳播的行波進行了理論研究，并發現在固體介質中可以傳播兩類行波(縱波與橫波)，A L B Cauchy 的經典著作[5]中亦得到了相同結論。K F Graff,et al.[6]在總結了前人對彈性行波研究的基礎上，沿用經典方法研究了在系泊纜與懸鏈線纜中的應力行波傳播。其計算中不僅考慮了纜繩的質量與曲率，同時考慮了浸沒液體中纜繩受到的水動力作用。M Behbahani-Nejad和N C Perkins 使用Hamilton原理推導了在小下垂率假設下的懸鏈纜線性控制方程，得到了自由傳播的結構波動態響應曲線[7]，并使用解析和數值方法分別在頻域與時域上研究了簡諧波在纜上傳播的響應特性[8]，研究發現，應力縱波在傳播過程中表現為高度色散，而應力橫波則表現出非色散特性，且初始張力擾動會導致兩列應力波以不同的速度進行傳播，而這點是傳統準靜態纜繩張力理論所不能預見的。W J Kim 和N C Perkins隨后對系泊浮標下的受拉張緊系泊纜進行了數學建模，將其線性化后得到了其頻域響應曲線[9]。他們也對一個彈性纜繩系統在流激勵下的共振響應進行了研究[10]。 張素俠等人研究了系泊纜在松弛-張緊變換狀態下的應力波在鋼纜上傳播的頻率響應[11]，發現纜繩頻率、群速度與頻散曲線沿纜繩弧長方向變化較大。Abedinnasab M H,et al分別研究了繩索中[12]和Euler-Bernoulli柱[13]在有限變形下的應力波色散曲線。近年來，王禮力等人在其著作中[3]全面地總結了應力波在不同介質中傳播的控制方程、推導過程及其時域頻域特征，為之后的研究者提供了良好的學習參考。

除了使用解析方法對應力波的特征進行分析以外，應力波在不同條件下的數值計算也引起了研究者的廣泛興趣。Bezverkhii等人和Shul’ga等人在Hamilton原理基礎上進一步推出了一套纜繩中應力波傳播的連續-離散偏微分數值計算模型，并用該模型計算了系泊纜[14,15]和水下多纜拖曳系統[16-18]等情況下系統中的應力時域曲線。同時在該研究基礎上，又在公式中增加了對纜繩材料非線性影響的考慮[14,16]。然而其數值計算主要集中在時域上纜繩應力的動態響應分析，在頻域的相關分析稍顯不足。

本文用理論解析求解的方式分析深海布放纜線系統中應力波自由傳播的頻域特性，并引入纜內水平張力與纜單位長度濕重之比λ1、纜內豎直張力與纜單位長度濕重之比λ2來表現布放纜受到的水平與豎直張力對其上應力波的傳播影響，同時通過彈性模量與材料密度的變化(表現為cl的變化)表現不同纜繩屬性對應力波頻率特性的影響。計算中保留了纜繩曲率與其弧長坐標之間的非線性關系，并發現了非線性對應力橫波傳播特性的影響。結果以期為工程布放應用安全提供參考。

1 纜繩數學模型

圖1 平衡狀態布放纜模型χe與動態布放纜模型χdFig.1 Cable model in equilibrium configuration χe and in dynamic configuration χd

根據Perkins理論[19]， 可以視布放纜線為一個在三維空間中運動的可忽略彎曲剛度及扭轉剛度的一維彈性連續體，于此同時其內部編制結構對布放系統內應力波傳播的影響也被忽略，即將其考慮為一整根完整連續的一維彈性連續體。布放纜繩模型如圖1所示，其在平衡狀態下的構型為χe，而當應力波在其上傳播時，其平衡狀態會被打破，此時處于不穩定狀態下的布放纜構型為χd。布放纜運動可以被分解為3個方向：切向、法向與副法向，本文僅考慮其在面內的運動。定義切向位移為u1，法向位移為u2，它們對t的偏導數分別為u1,t，u2,t，即切向與法向運動速度對s的偏導數u1,s，u2,s分別為切向與法向應變。忽略纜繩在流體介質中的阻尼，其面內運動的運動方程為：

(1+Cm)ρlAu1,tt=[(P+EAε)(u1,s-κu2)+EAε],s-κ(P+EAε)(u2,s+κu1)+F1

(1)

(1+Cm)ρlAu2,tt=[(P+EAε)(u2,s+κu1)],s+κ[(P+EAε)(u1,s-κu2)+EAε]+F2

(2)

式中：s為纜繩的弧長坐標，A為纜繩的截面積，E為纜繩的彈性模量，P1為布放纜張力豎直方向分量，P0為布放纜張力水平方向分量，F1和F2為系統所受的外力。纜繩在s處的動態應變ε(s,t)、布放纜平衡張力P(s,t)及曲率κ(s,t)分別為：

式中：ρ=ρl-ρw，其中ρl為纜繩材料密度，ρw為流體介質密度，Cm為纜繩附加質量系數，g為重力加速度。

由式(4)、(5)可以發現，纜繩的曲率κ(s,t)與弧長坐標s之間呈現非線性的關系。為了更好地保留纜繩曲率對頻率特性的影響，在之后的計算中該非線性關系將被保留。

由于本文考慮應力波在深海布放纜線系統內的自由傳播特性，因此忽略式中外力F1與F2。將式(3)、(4)、(5)代入式(1)與(2)并保留線性項，可以得到：

(6)

(7)

式(6)與式(7)可用矩陣表示為：

2 應力波傳播特性

2.1頻率關系

(9)

式中：C.C.代表式(9)前一項的共軛復數。將其代入方程(8)并對其進行空間傅里葉變換，可以得到：

通過求解式(11)，可以得到特征頻率方程：

式中：

α1=(A1+A2)γ2-j(F1+F2)γ+C1+C2

通過求解式(12)可以獲得四個頻率解：縱波頻率ω1,2=±ωl和橫波頻率ω3,4=±ωt，其中：

2.2色散關系

纜線系統內傳播的應力波速度可分為相速度與群速度兩個速度。對于色散的波傳播系統，相速度與群速度將會分離，且波速依賴于頻率。

2.2.1 相速度

一般將c=ω/γ稱為相速度，將其代入頻率關系式(12)，可以得到色散方程：

D(c;ω,cl,ct)=β1c4+β2ωc3-β3ω2c2-β4ω3c+β5ω4=0

(15)

式中：

β1=ω4-(C1+C2)ω2+(C1C2+B1B2)

β2=j[(F1+F2)ω2-(C1F2+E1B2+B1E2+F1C2)]

β3=(A1+A2)ω2+(F1F2-A2C1-A1C2+E1E2)

β4=j(F1A2+A1F2)

β5=A1A2

2.2.2 群速度

通過對頻率關系式(12)進行直接微分，可以得到：

4ω3(dw)-(dα1)ω2-2α1ωdω+dα2=0

其中：

dα1=2γ(A1+A2)dγ-j(F1+F2)dγ

3 結果與討論

為了更好地展示纜繩屬性、纜繩受到的豎直與水平力等對纜繩內應力波傳播的頻率特性造成的影響，通過數值求解上述方程對其上應力波傳播特性進行分析。在計算分析中，為了更好地拓展研究范圍，本文在常見的工程應用布放纜材料屬性之上更進一步地擴展了各屬性的計算范圍。

本文參考的復合纜屬性為[20]：彈性模量E=12.4 GPa，密度ρl=1.44×103kg/m3。鋼纜系統參數為[15]：彈性模量E=200 GPa，纜繩密度ρl=8×103kg/m3，Cm=0.13，由于cl與且僅與纜繩屬性有關，為了覆蓋從復合纜到鋼纜的各種材料屬性，同時拓展計算范圍，本文在計算中取3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s來觀察不同材料屬性對應力波傳播特性的影響。水平與豎直方向張力與單位長度纜繩濕重之比的取值分別為λ1=500 m 及1 000≤λ2≤10 000 m。

3.1頻率極限情況

本文首先關注布放系統的截止頻率。在長波長/低頻率極限時，傳播常數γ→0，因此式(12)在低頻極限時趨向于：

通過求解方程(16)，可以得到：

圖2 兩個截止頻率實部((a)(b))及兩個截止頻率虛部((c)(d))(3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,0≤λ2≤10 000 m)Fig.2 Real parts of cut-off frequencies ((a)(b)) and Imaginary parts of cut-off frequencies ((c)(d)) (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,0≤λ2≤10 000 m)

從圖2(b)中可以發現，絕對值較小的截止頻率ωcut_off_2的實部并不隨著λ2的增加而單調減少，而是可以觀察到一個區域極大值。該極大值出現時所對應的λ2是區分該系統截止頻率是否為純實數的λ2臨界值，當布放系統的λ2大于該極大值對應的λ2時，該系統截止頻率不再是純實數，而是一個復數。截止頻率實部的極值出現時所對應的λ2的大小隨著cl的增大而增大，即其出現位置對應的λ2隨著布放纜彈性模量的增大而增大，隨著布放纜密度的增大而減小，但該極值的幅值大小隨著cl的增大而減小。當較小的截止頻率在越過極值點后單調遞減，且此時該截止頻率大小隨著cl的增大而增大。

圖3 實線: 行波截止頻率實部大小隨λ2變化曲線，虛線：截止頻率實部大小隨λ2變化曲線。橫軸λ2為對數坐標(3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,0≤λ2≤10 000 m)Fig.3 Real part of cut-off frequencies (dashed curves) and pass-band edge frequencies (solid curves).λ2 is set on a logarithmic scale(3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,0≤λ2≤10 000 m)

在Re(γ)→0，即波數趨向于0時，可以得到另一個極限解：行波截止頻率ωpde。只有大于該頻率的應力波才能以行波的形式在布放纜介質中傳播。圖3中分別以實線和虛線展示了行波截止頻率與截止頻率隨λ2的變化關系。

整個應力縱波的頻域因而被兩個截止頻率與行波截止頻率劃分成了四個部分。如圖4所示，當頻率大于行波截止頻率時，為通頻帶；行波抑止帶存在于ωcut_off_1與行波截止頻率之間，以及小于ωcut_off_2的頻率范圍；當兩個截止頻率為復數時，它們之間的區域仍然保持行波抑止帶，而當兩個截止頻率為純實數時，在它們之間的為抑止帶。

另一方面，在短波長-高頻極限，即γ→時，將式(12)左右分別除以γ4可以得到：

圖4 系統頻域上由截止頻率和行波截止頻率分成的四個不同頻段示意Fig.4 Different bands of the spectral domain divided by cut-off frequencies and pass-band edge

3.2頻率關系

根據式(13)與式(14)，可以計算得到纜繩內應力波的傳播常數與頻率的關系，計算得到的應力縱波、橫波與頻率關系分別如圖5、圖6所示。傳播常數為復數，其實部為波數，虛部為衰減常數的相反數。波數的正負分別代表了波傳播的兩個方向。衰減常數表征應力波衰減方向與衰減率的大小。

圖5顯示了在不同纜繩屬性的情況下，系統內縱波傳播常數與頻率的關系。可以發現，在通頻帶，兩個方向傳播的波數大小的絕對值及兩個衰減常數均相等。表明應力縱波在兩個方向上以相同的相速度傳播，同時應力波在弧長坐標系的負方向上衰減。而在行波抑止帶與抑止帶，γ為純虛數，意味著應力縱波在該頻段不能以行波的形式在纜繩內傳播。在行波抑止帶，能觀察到兩列近場衰減波以不同的衰減系數向弧長坐標系的負方向衰減；在抑止帶可以觀察到向纜繩兩個方向傳播的近場快速衰減波。從圖5中也可以發現，隨著布放纜材料的cl逐漸增大，即隨著布放纜彈性模量的增大和密度的減小，其行波截止頻率也隨之增大。并且隨著頻率ω的增大，各曲線的斜率均漸進趨向于張緊弦假設下的理論解γ=ω/c。

圖5 布放纜內應力縱波頻率關系曲線 (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)Fig.5 Frequency relation curves of longitudinal waves (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)

圖6 布放纜內應力橫波的頻率關系曲線(3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)Fig.6 Frequency relation curves of transversal waves (opposite numbers of attenuation constants) are plotted (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)

圖6展示了系統內橫波的頻率關系。與縱波不同的是，在所有頻率下，應力橫波均能夠在纜繩系統內傳播。相同頻率下，應力橫波的波數隨著cl的增加而增加。在λ2→時，曲線漸進趨向于張緊弦假設下的理論波速的直線，即γ→ωct。在較低頻率時，系統總體而言是色散的，其色散程度大小及色散頻率區間隨著cl的增加而增加。在cl→0或在高頻時，系統的頻率關系趨向于線性，系統逐漸趨向于非色散系統，該極限情況也與張緊弦理論解相符。

與Behbahani-Nejad M和 N C Perkins[8]通過將纜繩曲率與弧長坐標的關系線性化后計算得到的純實數結果所不同的是，在保留非線性的情況下，應力橫波的傳播常數為復數，意味著在傳播過程中其幅值會以相對應的衰減常數進行衰減，可以看到，隨著頻率的減小，其衰減常數隨之增加，且在低頻時，相同頻率下的應力橫波衰減常數隨著cl的增加而增加。

3.3色散關系

通過圖7(c)、7(d)可以發現當頻率大于行波截止頻率時，兩個相速度虛部相等，并且其幅值隨著頻率的減少而增大。而當頻率小于行波截止頻率時，系統有兩種可能情況，如圖4所示，如果ωcut_off是復數，則該頻段屬于抑止帶，此時從圖7(c)上可以看到一個相速度虛部在跨越截止頻率時會從正值跳躍到負值，此時在抑止帶可以觀察到兩列方向相反的近場衰減波；反之，如果ωcut_off為純實數，圖7(c)上的相速度并不會穿越零軸跳躍，此時該頻段為行波抑止帶，僅能觀察到單一方向的衰減波，在該頻段相速度的虛部會取到一個區域極大值，該極大值隨著Im(ωcut_off)的絕對值的增加而減小，并隨著布放纜的cl的減小而減小。另外從圖7上同時可以看到，在λ1、λ2相同時，在相同頻率，隨著cl的減小，行波截止頻率隨之變小，抑止頻帶或半通頻帶所占的頻率范圍也隨之減小。

圖7 布放纜內應力縱波色散關系 (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)Fig.7 Dispersion curves of longitudinal waves (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)

應力橫波色散曲線如圖8所示。橫波在任何頻率下均可以行波的形式傳播。其相速度實部在0 Hz時為0 m/s，隨后隨著頻率的增大而迅速增大，并漸進趨向于其漸進極限，即短波長/高頻極限為±ct。該極限并不受纜繩屬性cl的變化而變化，然而在中低頻區，cl越大，應力橫波的相速度則相對越小，更小的cl可使應力橫波的相速度更快地趨向于其短波長/高頻極限。

圖8 布放纜內應力橫波色散關系 (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)Fig.8 Dispersion curves of transversal waves (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)

3.4群速度

圖9展示了縱波群速度與縱波相速度之比。

圖9 布放纜內應力波群速度曲線 (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)Fig.9 Group velocity curves (3 000 m/s≤cl≤8 000 m/s,λ1=500 m,λ2=5 000 m)

由于只有位于通頻帶的應力縱波才能以行波的形式傳播，因此在非通頻帶群時，縱波群速度與相速度都逼近0。由于被除數出現了接近于0的項，為了更好地展現通頻帶群速度特性，在圖中僅展現通頻帶下的結果，非通頻帶下的該比例被設為0。

從圖9(a)、9(b)中可以看到，當縱波的頻率越過行波截止頻率時，其迅速達到1/3左右，并迅速單調遞增趨向于1。其表明，行波的群速度始終小于相速度，且在高頻時兩者趨向相等，在高頻時可以認為系統是非色散的。

圖9(c)、9(d)展示了橫波的群速度相速度之比。在低頻時，該比例非常高，隨著頻率的增加，該頻率迅速降低并最終趨向于1。由于其比例始終大于1，因此橫應力波的傳播特性為反常色散，高頻項會不斷向波前鋒聚集，最終在波前鋒形成一個強間斷波。隨著波的傳播，該前鋒處的應力應變變化率將會變得很大，對布放纜產生巨大的加載。因此在設計和布放時需要對該點額外注意，需要增加系統安全系數以避免低估傳播過程中逐漸集中的強間斷波對布放纜的應力應變作用。

4 結 語

從應力波在纜繩中傳播理論出發，研究了長布放纜系統中不同豎直張力下應力波的傳播特性，并保留布放纜弧度與該點弧長坐標之間的非線性關系。研究表明：

1) 整個頻域被兩個截止頻率與一個行波截止頻率分成四個區域。從低頻到高頻分別為行波抑止帶、抑止帶、行波抑止帶與通頻帶。

? 在通頻帶，應力縱波可以行波形式傳播，且在傳播時衰減，該系統為色散系統。

? 在行波抑止帶，應力縱波不能以行波的形式向外傳播。但是在應力突變源附近會產生雙向的近場衰減波。

? 在抑止帶，應力縱波不能以行波的形式向外傳播。但是在應力突變源附近會產生單向的近場衰減波。

? 應力橫波始終能夠以行波的形式向外傳播，不存在抑止帶。系統在考慮了布放纜弧度與該點弧長坐標之間的非線性關系時為色散系統。

2) 應力橫波與縱波的行波群速度在高頻時趨向于它們的相速度。然而應力橫波表現出了反常色散特性，因此高頻項會在傳播的過程中向波前鋒聚集，從而形成前間斷波，該點在進行布放纜設計考慮時特別需要留意。

? 布放纜內傳播的應力縱波較大的截止頻率與行波截止頻率均隨著cl的增大而增大，而較小的截止頻率在其內部豎直張力較大時也隨著cl的增大而增大。

? 值得注意的是，布放纜中應力橫波的波數隨著cl的增加而增加，該效應在較低頻率時更為顯著；且在中低頻區，隨著cl增大，應力橫波的相速度則相對減小，更小的cl可使應力橫波的相速度更快地趨向于短波長/高頻極限。

? 隨著cl的增加，應力縱波的群速度與相速度之比隨之下降，而應力橫波的群速度與相速度之比隨之增加。

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Study of characteristics of stress waves propagating freely in deep-sea deployment cables with different cable properties

WU Chenghao,YANG Jianmin,TIAN Xinliang,HU Zhihuan,PENG Tao

(Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep-Sea Exploration,State Key Lab.of Ocean Engineering,Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240,China)

The spectral responses of stress waves freely propagating along deep-sea deployment cables are investigated using an analytical method.Hamilton’s Principle is used for the modeling of the deployment system.The curvature of the cable is considered and both transversal and longitudinal propagating waves are taken into consideration.The relation between cable curvature and cable arc coordinate is kept nonlinear.The influence of cable’s property and the vertical stress inside cable on the characteristics of stress waves propagating freely in deep-sea deployment cable is calculated.Calculation shows that those factors have a great influence on two stress waves’ frequency,dispersion relations as well as phase velocities and group velocities.For longitudinal stress waves,four distinct frequency bands are identified by two cut-off frequencies and one pass-band-edge frequency.Partly-pass band and stop band exist at low frequencies.Longitudinal stress wave can only propagate in pass-band,however transversal stress waves may propagate at any frequency.

stress wave; deep-sea deployment; slack-taut; snap tension

P751

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2017.05.002

1005-9865(2017)05-0012-11

2016-10-17

國家重點研發計劃支持“深海多金屬結核采礦試驗工程”資助項目(2016YFC0304100)；國家自然科學基金支持資助項目(51239007，51509152，11632011)

吳丞昊(1992-)，男，碩士研究生，主要從事深海采礦水動力學特性及布放系統中應力波傳播研究。E-mail: Chenghao.wu@sjtu.edu.cn

楊建民。E-mail: jmyang@sjtu.edu.cn